Решение простейших тригонометрических уравнений теория

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $=<180>/<π>≈57$ градусов

Значения тригонометрических функций некоторых углов

• Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

• Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($π/2$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos (90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos (90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Вычислить $cos 840°$

У косинуса период повторения $2π$ или $360°$, мы можем из угла вычитать количество градусов кратное периоду.

$cos 840°=cos(720°+120°)=cos 120°$

По формуле приведения представим $120°$ как $90°+30°$

$cos(90°+30°) = -sin30= — 0.5$

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс, нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

3. $sin^ <2>α+cos^ <2>α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ — это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус.

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения.

Арккосинус

Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = <π>/<2>+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Найдите наименьший положительный корень уравнения сos $<2πx>/<3>=-<√3>/<2>$

Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на $<2π>/<3>$

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо к целые значения

Нам подходит $1.25$ – это и есть результат

Арксинус

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-<π>/<2>;<π>/<2>]$, синус которого равен $а$.

$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

1. $t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-<π>/<2>;<π>/<2>]$, тангенс которого равен $а.$

$arctg(-a)= — arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

Простейшие тригонометрические уравнения (задание 5) и неравенства

\(\blacktriangleright\) Стандартные (простейшие) тригонометричекие уравнения — это уравнения вида
\(\sin x=a,\quad \cos x=a,\quad \mathrm\,x=b,\quad \mathrm\,x=b\) , которые имеют смысл при \(-1\leq a\leq 1,\quad b\in \mathbb\) .

Для решения данных уравнения удобно пользоваться единичной окружностью (радиус равен \(1\) ).

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Решить уравнение \(\sin x=\dfrac12\) .

Найдем на оси синусов точку \(\dfrac12\) и проведем прямую параллельно оси \(Ox\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, синус которых равен \(\dfrac12\) . Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\) . Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac<\pi>6\) и \(\dfrac<5\pi>6\) . Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным углам \(2\pi\cdot n\) , где \(n\) — целое число (т.е. поворотом от данных на целое число полных кругов).

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac<\pi>6+2\pi n,\ x_2=\dfrac<5\pi>6+2\pi n, \ n\in \mathbb\) .

Пример 2. Решить уравнение \(\cos x=-\dfrac<\sqrt2><2>\) .

Найдем на оси косинусов точку \(-\dfrac<\sqrt2><2>\) и проведем прямую параллельно оси \(Oy\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, косинус которых равен \(-\dfrac<\sqrt2><2>\) . Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\) . Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac<3\pi>4\) и \(-\dfrac<3\pi>4\) . Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\) , где \(n\) — целое число.

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac<3\pi>4+2\pi n,\ x_2=-\dfrac<3\pi>4+2\pi n, \ n\in \mathbb\) .

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm\,x=\dfrac<\sqrt3>3\) .

Найдем на оси тангенсов точку \(\dfrac<\sqrt3>3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, тангенс которых равен \(\dfrac<\sqrt3>3\) .Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\) . Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac<\pi>6\) и \(-\dfrac<5\pi>6\) . Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\) , где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pi n\) .

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac<\pi>6+\pi n, \ n\in \mathbb\) .

Пример 4. Решить уравнение \(\mathrm\,x=\sqrt3\) .

Найдем на оси котангенсов точку \(\sqrt3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, котангенс которых равен \(\sqrt3\) . Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\) . Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac<\pi>6\) и \(-\dfrac<5\pi>6\) . Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\) , где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pi n\) .

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac<\pi>6+\pi n, \ n\in \mathbb\) .

\(\blacktriangleright\) Решения для любого стандартного тригонометрического уравнения выглядят следующим образом: \[\begin \hline \text <Уравнение>& \text <Ограничения>& \text<Решение>\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin \begin &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end \end \right. \ \ , \ n\in \mathbb\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm\, x=b & b\in \mathbb & x=\mathrm\, b+\pi n, \ n\in \mathbb\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm\,x=b & b\in \mathbb & x=\mathrm\, b+\pi n, \ n\in \mathbb\\&&\\ \hline \end\] Иногда для более короткой записи решение для \(\sin x=a\) записывают как \(x=(-1)^k\cdot \arcsin a+\pi k, \ k\in \mathbb\) .

\(\blacktriangleright\) Любые уравнения вида \(\mathrm\,\big(f(x)\big)=a\) , (где \(\mathrm\) — одна из функций \(\sin, \ \cos, \ \mathrm,\ \mathrm\) , а аргумент \(f(x)\) — некоторая функция) сводятся к стандартным уравнениям путем замены \(t=f(x)\) .

Пример 5. Решить уравнение \(\sin<(\pi x+\dfrac<\pi>3)>=1\) .

Сделав замену \(t=\pi x+\dfrac<\pi>3\) , мы сведем уравнение к виду \(\sin t=1\) . Решением данного уравнения являются \(t=\dfrac<\pi>2+2\pi n, n\in\mathbb\) .

Теперь сделаем обратную замену и получим: \(\pi x+\dfrac<\pi>3=\dfrac<\pi>2+2\pi n\) , откуда \(x=\dfrac16+2n,\ n\in\mathbb\) .

Если \(n\) точек, являющихся решением уравнения или системы, разбивают окружность на \(n\) равных частей, то их можно объединить в одну формулу: \(x=\alpha+\dfrac<2\pi>n,\ n\in\mathbb\) , где \(\alpha\) — один из этих углов.

Рассмотрим данную ситуацию на примере:

Пример 6. Допустим, решением системы являются \(x_1=\pm \dfrac<\pi>4+2\pi n, \ x_2=\pm \dfrac<3\pi>4+2\pi n, \ n\in\mathbb\) . Отметим эти точки на окружности:

Заметим, что длины дуг \(\buildrel\smile\over, \buildrel\smile\over, \buildrel\smile\over, \buildrel\smile\over\) равны \(\dfrac<\pi>2\) , то есть эти точки разбили окружность на \(4\) равных части. Таким образом, ответ можно записать в виде одной формулы: \(x=\dfrac<\pi>4+\dfrac<\pi>2n, \ n\in\mathbb\) .

где \(\lor\) — один из знаков \(\leq,\ ,\ \geq\) .

Пример 7. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\sin x >\dfrac12\) .

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\sin x =\dfrac12\) . Это точки \(A\) и \(B\) . Все точки, синус которых больше \(\dfrac12\) , находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\) , а конец — \(B\) .

Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac<\pi>6\) . Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac<\pi>6\) , но ближайший к нему, и чтобы синус этого угла также был равен \(\dfrac12\) . Это угол \(\dfrac<5\pi>6\) . Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac<\pi>6;\dfrac<5\pi>6\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(\dfrac<\pi>6+2\pi n;\dfrac<5\pi>6+2\pi n\right), n\in\mathbb\) , т.к. у синуса период \(2\pi\) .

Пример 8. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\cos x .

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\cos x =\dfrac12\) . Это точки \(A\) и \(B\) . Все точки, косинус которых меньше \(\dfrac12\) , находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\) , а конец — \(B\) .

Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac<\pi>3\) . Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac<\pi>3\) , но ближайший к нему, и чтобы косинус этого угла также был равен \(\dfrac12\) . Это угол \(\dfrac<5\pi>3\) . Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac<\pi>3;\dfrac<5\pi>3\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(-\dfrac<5\pi>3+2\pi n;-\dfrac<\pi>3+2\pi n\right), n\in\mathbb\) , т.к. у косинуса период \(2\pi\) .

Пример 9. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm\, x \geq \dfrac<\sqrt<3>>3\) .

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm\, x = \dfrac<\sqrt<3>>3\) . Это точки \(A\) и \(B\) . Все точки, тангенс которых больше или равен \(\dfrac<\sqrt<3>>3\) , находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них тангенс не определен.

Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over\) . Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\dfrac<\pi>2\) , тогда начало дуги — это угол \(\dfrac<\pi>6\) (угол должен быть меньше \(\dfrac<\pi>2\) , но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac<\pi>6;\dfrac<\pi>2\Big)\) . А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac<\pi>6+\pi n;\dfrac<\pi>2+\pi n\Big), n\in\mathbb\) , т.к. у тангенса период \(\pi\) .

Пример 10. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm\, x \leq \sqrt<3>\) .

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm\, x = \sqrt<3>\) . Это точки \(A\) и \(B\) . Все точки, котангенс которых меньше или равен \(\sqrt<3>\) , находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них котангенс не определен.

Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over\) . Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\pi\) , тогда начало дуги — это угол \(\dfrac<\pi>6\) (угол должен быть меньше \(\pi\) , но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac<\pi>6;\pi\Big)\) . А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac<\pi>6+\pi n;\pi+\pi n\Big), n\in\mathbb\) , т.к. период котангенса \(\pi\) .

Геометрический способ (по окружности).
Этот способ заключается в том, что мы отмечаем решения всех уравнений (неравенств) на единичной окружности и пересекаем (объединяем) их.

Пример 11. Найти корни уравнения \(\sin x=-\dfrac12\) , если \(\cos x\ne \dfrac<\sqrt3>2\) .

В данном случае необходимо пересечь решения первого уравнения с решением второго уравнения.

Решением первого уравнения являются \(x_1=-\dfrac<\pi>6+2\pi n,\ x_2=-\dfrac<5\pi>6+2\pi n,\ n\in \mathbb\) , решением второго являются \(x\ne \pm \dfrac<\pi>6+2\pi n,\ n\in\mathbb\) . Отметим эти точки на окружности:

Видим, что из двух точек, удовлетворяющих первому уравнению, одна точка \(x= -\dfrac<\pi>6+2\pi n\) не подходит. Следовательно, ответом будут только \(x=-\dfrac<5\pi>6+2\pi n, n\in \mathbb\) .

Вычислительный способ.
Этот способ заключается в подстановке решений уравнения (системы) в имеющиеся ограничения. Для данного способа будут полезны некоторые частные случаи формул приведения: \[\begin &\sin<(\alpha+\pi n)>=\begin \sin \alpha, \text <при >n — \text< четном>\\ -\sin \alpha, \text <при >n — \text < нечетном>\end\\ &\cos<(\alpha+\pi n)>=\begin \cos \alpha, \text <при >n — \text< четном>\\ -\cos \alpha, \text <при >n — \text <нечетном>\end\\ &\mathrm\,(\alpha+\pi n)=\mathrm\,\alpha\\ &\mathrm\,(\alpha+\pi n)=\mathrm\,\alpha\\ &\sin<\left(\alpha+\dfrac<\pi>2\right)>=\cos\alpha\\ &\cos<\left(\alpha+\dfrac<\pi>2\right)>=-\sin \alpha\\ &\,\mathrm\,\left(\alpha+\dfrac<\pi>2\right)=-\,\mathrm\,\alpha\\ &\,\mathrm\,\left(\alpha+\dfrac<\pi>2\right)=-\,\mathrm\,\alpha \end\]

Пример 12. Решить систему \(\begin \cos x=\dfrac12\\ \sin x+\cos x>0\end\)

Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac<\pi>3+2\pi n,\ x_2=-\dfrac<\pi>3+2\pi n,\ n\in\mathbb\) . Подставим в неравенство \(\sin x+\cos x>0\) по очереди оба корня:

\(\sin x_1+\cos x_1=\dfrac<\sqrt3>2+\dfrac12>0\) , следовательно, корень \(x_1\) нам подходит;
\(\sin x x_2+\cos x_2=-\dfrac<\sqrt3>2+\dfrac12 , следовательно, корень \(x_2\) нам не подходит.

Таким образом, решением системы являются только \(x=\dfrac<\pi>3+2\pi n,\ n\in\mathbb\) .

Алгебраический способ.

Пример 13. Найти корни уравнения \(\sin x=\dfrac<\sqrt2>2\) , принадлежащие отрезку \([0;\pi]\) .

Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac<\pi>4+2\pi n, \ x_2=\dfrac<3\pi>4 +2\pi n, \ n\in\mathbb\) . Для того, чтобы отобрать корни, решим два неравенства: \(0\leq x_1\leq\pi\) и \(0\leq x_2\leq\pi\) :

\(0\leq \dfrac<\pi>4+2\pi n\leq\pi \Leftrightarrow -\dfrac18\leq n\leq\dfrac38\) . Таким образом, единственное целое значение \(n\) , удовлетворяющее этому неравенству, это \(n=0\) . При \(n=0\) \(x_1=\dfrac<\pi>4\) — входит в отрезок \([0;\pi]\) .

Аналогично решаем неравенство \(0\leq x_2\leq\pi\) и получаем \(n=0\) и \(x_2=\dfrac<3\pi>4\) .

Для следующего примера рассмотрим алгоритм решения линейных уравнений в целых числах:

Уравнение будет иметь решение в целых числах относительно \(x\) и \(y\) тогда и только тогда, когда \(c\) делится на \(НОД(a,b)\) .

Пример: Уравнение \(2x+4y=3\) не имеет решений в целых числах, потому что \(3\) не делится на \(НОД(2,4)=2\) . Действительно, слева стоит сумма двух четных чисел, то есть четное число, а справа — \(3\) , то есть нечетное число.

Пример: Решить уравнение \(3x+5y=2\) . Т.к. \(НОД(3,5)=1\) , то уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(x\) через \(y\) :

Число \(\dfrac<2-2y>3\) должно быть целым. Рассмотрим остатки при делении на \(3\) числа \(y\) : \(0\) , \(1\) или \(2\) .
Если \(y\) при делении на \(3\) имеет остаток \(0\) , то оно записывается как \(y=3p+0\) . Тогда \[\dfrac<2-2y>3=\dfrac<2-2\cdot 3p>3=\dfrac23-2p\ne \text<целому числу>\]

Если \(y\) при делении на \(3\) имеет остаток \(1\) , то оно записывается как \(y=3p+1\) . Тогда \[\dfrac<2-2y>3=\dfrac<2-2(3p+1)>3=-2p=\text<целому числу>\]

Значит, этот случай нам подходит. Тогда \(y=3p+1\) , а \(x=\dfrac<2-2y>3-y=-5p-1\) .

Ответ: \((-5p-1; 3p+1), p\in\mathbb\) .

Перейдем к примеру:

Пример 14. Решить систему \[\begin \sin \dfrac x3=\dfrac<\sqrt3>2\\[3pt] \cos \dfrac x2=1 \end\]

Решим первое уравнение системы:

\[\left[ \begin \begin &\dfrac x3=\dfrac<\pi>3+2\pi n\\[3pt] &\dfrac x3=\dfrac<2\pi>3 +2\pi m \end \end \right.\quad n,m\in\mathbb \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin \begin &x=\pi+6\pi n\\ &x=2\pi +6\pi m \end \end \right.\quad n,m\in\mathbb\]

Решим второе уравнение системы:

\[\dfrac x2=2\pi k, k\in\mathbb \quad \Leftrightarrow \quad x=4\pi k, k\in\mathbb\]

Необходимо найти корни, которые удовлетворяют и первому, и второму уравнению системы, то есть пересечь решения первого и второго уравнений.
Найдем целые \(n\) и \(k\) , при которых совпадают решения в сериях \(\pi+6\pi n\) и \(4\pi k\) :

\[\pi + 6\pi n=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 4k-6n=1\]

Т.к. \(НОД(4,6)=2\) и \(1\) не делится на \(2\) , то данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Найдем целые \(m\) и \(k\) , при которых совпадают решения в сериях \(2\pi +6\pi m\) и \(4\pi k\) :

\[2\pi +6\pi m=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 2k-3m=1\]

Данное уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(k=\frac<3m+1>2=m+\frac2\) .

Возможные остатки при делении \(m\) на \(2\) — это \(0\) или \(1\) .
Если \(m=2p+0\) , то \(\frac2=\frac<2p+1>2=p+\frac12\ne \) целому числу.
Если \(m=2p+1\) , то \(\frac2=\frac<2p+1+1>2=p+1= \) целому числу.

Значит, \(m=2p+1\) , тогда \(k=3p+2\) , \(p\in\mathbb\) .

Подставим либо \(m\) , либо \(k\) в соответствующую ему серию и получим окончательный ответ: \(x=4\pi k=4\pi (3p+2)=8\pi+12\pi p, p\in\mathbb\) .

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a>=cos \varphi`, ` \frac b> =sin \varphi`, `\frac c>=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt <3^2+4^2>`, получим:

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac <1+cos x>=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.