РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.
19.1. Уравнение cos x = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравненияcosx=a.
При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)
2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).
Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда
Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,
Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,
Примеры решения задач
Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:
19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a
Объяснение и обоснование
1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a
Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке 
функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.
Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:
При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).
Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.
Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:
таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни
Примеры решения задач
Вопросы для контроля
- Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
- Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
- Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.
Упражнения
Решите уравнение (1-11)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)
«Простейшие тригонометрические уравнения» тесты с ответами
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Решите тригонометрические уравнения:
1. 2 sin 2 x – 5 sin x – 7 = 0
2 . 12sin 2 x + 20cos x – 19 = 0
3 . 3sin 2 x + 14sin x cos x + 8cos 2 x = 0
4 . 7 tg x – 10ctg x + 9 = 0
5 . 5sin 2 x – 14cos 2 x + 2 = 0
6 . 9cos 2 x – 4cos 2 x = 11sin 2 x + 9
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10 cos 2 x – 17 cos x + 6 = 0
2 . 2cos 2 x + 5sin x + 5 = 0
3 . 6sin 2 x + 13sin x cos x + 2cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 4ctg x + 8 = 0
5 . 6cos 2 x + 13sin 2 x = –10
6 . 2 sin 2 x + 6sin 2 x = 7(1 + cos 2 x )
Решите тригонометрические уравнения:
1. 3 sin 2 x – 7 sin x + 4 = 0
2 . 6sin 2 x – 11cos x – 10 = 0
3 . sin 2 x + 5sin x cos x + 6cos 2 x = 0
4 . 4 tg x – 12ctg x + 13 = 0
5 . 5 – 8cos 2 x = sin 2 x
6 . 7 sin 2 x + 9cos 2 x = –7
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10 cos 2 x + 17 cos x + 6 = 0
2 . 3cos 2 x + 10sin x – 10 = 0
3 . 2 sin 2 x + 9sin x cos x + 10cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 12ctg x + 5 = 0
5 . 10sin 2 x – 3sin 2 x = 8
6 . 11sin 2 x – 6cos 2 x + 8cos 2 x = 8
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10 sin 2 x + 11 sin x – 8 = 0
2 . 4sin 2 x – 11cos x – 11 = 0
3 . 4sin 2 x + 9sin x cos x + 2cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 8ctg x + 10 = 0
5 . 3sin 2 x + 8sin 2 x = 7
6 . 10sin 2 x + 11sin 2 x + 6cos 2 x = –6
Решите тригонометрические уравнения:
1. 3 cos 2 x – 10 cos x + 7 = 0
2 . 6cos 2 x + 7sin x – 1 = 0
3 . 3sin 2 x + 10sin x cos x + 3cos 2 x = 0
4 . 6 tg x – 14ctg x + 5 = 0
5 . 6 sin 2 x + 7sin 2 x + 4 = 0
6 . 7 = 7sin 2 x – 9cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 6 sin 2 x – 7 sin x – 5 = 0
2 . 3sin 2 x + 10cos x – 10 = 0
3 . 2sin 2 x + 11sin x cos x + 14cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 5ctg x + 14 = 0
5 . 10sin 2 x – sin 2 x = 8cos 2 x
6 . 1 – 6 cos 2 x = 2sin 2 x + cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 3 cos 2 x – 5 cos x – 8 = 0
2 . 8cos 2 x – 14sin x + 1 = 0
3 . 5sin 2 x + 14sin x cos x + 8 cos 2 x = 0
4 . 2 tg x – 9ctg x + 3 = 0
5 . sin 2 x – 5cos 2 x = 2sin 2 x
6 . 5 cos 2 x + 5 = 8sin 2 x – 6sin 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 6 sin 2 x + 11 sin x + 4 = 0
2 . 4sin 2 x – cos x + 1 = 0
3 . 3sin 2 x + 11sin x cos x + 6cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 8ctg x + 6 = 0
5 . sin 2 x + 1 = 4cos 2 x
6 . 14cos 2 x + 3 = 3cos 2 x – 10sin 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 4 cos 2 x + cos x – 5 = 0
2 . 10cos 2 x – 17sin x – 16 = 0
3 . sin 2 x + 6sin x cos x + 8 cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 6ctg x + 7 = 0
5 . 2 cos 2 x – 11sin 2 x = 12
6 . 2 sin 2 x – 3sin 2 x – 4cos 2 x = 4
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10 sin 2 x – 17 sin x + 6 = 0
2 . 5sin 2 x – 12cos x – 12 = 0
3 . 2sin 2 x + 5sin x cos x + 2cos 2 x = 0
4 . 7 tg x – 12ctg x + 8 = 0
5 . 3 + sin 2 x = 8cos 2 x
6 . 2 sin 2 x + 3cos 2 x = –2
Решите тригонометрические уравнения:
1. 2 cos 2 x – 5 cos x – 7 = 0
2 . 12cos 2 x + 20sin x – 19 = 0
3 . 5sin 2 x + 12sin x cos x + 4cos 2 x = 0
4 . 2 tg x – 6ctg x + 11 = 0
5 . 22 sin 2 x – 9sin 2 x = 20
6 . 1 4cos 2 x – 2cos 2 x = 9sin 2 x – 2
Решите тригонометрические уравнения:
1. 4 sin 2 x + sin x – 5 = 0
2 . 6sin 2 x + 7cos x – 1 = 0
3 . 4sin 2 x + 11sin x cos x + 6cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 6ctg x + 13 = 0
5 . 3 – 4sin 2 x = sin 2 x
6 . 10sin 2 x + 3cos 2 x = –3 – 14sin 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 8 cos 2 x – 10 cos x – 7 = 0
2 . 4cos 2 x – sin x + 1 = 0
3 . 3sin 2 x + 10sin x cos x + 8cos 2 x = 0
4 . 2 tg x – 12ctg x + 5 = 0
5 . 14sin 2 x – 11sin 2 x = 18
6 . 2 sin 2 x – 3cos 2 x = 2
Решите тригонометрические уравнения:
1. 3 sin 2 x – 5 sin x – 8 = 0
2 . 10sin 2 x + 17cos x – 16 = 0
3 . sin 2 x + 8sin x cos x + 12cos 2 x = 0
4 . 4 tg x – 9ctg x + 9 = 0
5 . 14sin 2 x – 4cos 2 x = 5sin 2 x
6 . 1 – 5 sin 2 x – cos 2 x = 12cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 8 cos 2 x + 14 cos x – 9 = 0
2 . 3cos 2 x + 5sin x + 5 = 0
3 . 2sin 2 x + 11sin x cos x + 5cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 3ctg x + 14 = 0
5 . 2 sin 2 x – 7sin 2 x = 16cos 2 x
6 . 14sin 2 x + 4cos 2 x = 11sin 2 x – 4
Решите тригонометрические уравнения:
1. 12 cos 2 x – 20 cos x + 7 = 0
2 . 5cos 2 x – 12sin x – 12 = 0
3 . 3sin 2 x + 13sin x cos x + 12cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 6ctg x + 7 = 0
5 . sin 2 x + 2sin 2 x = 5cos 2 x
6 . 13sin 2 x – 3cos 2 x = –13
Решите тригонометрические уравнения:
1. 3 sin 2 x – 10 sin x + 7 = 0
2 . 8sin 2 x + 10cos x – 1 = 0
3 . 4sin 2 x + 13sin x cos x + 10cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 3ctg x + 8 = 0
5 . sin 2 x + 4cos 2 x = 1
6 . 10cos 2 x – 9sin 2 x = 4cos 2 x – 4
Решите тригонометрические уравнения:
1. 6 cos 2 x – 7 cos x – 5 = 0
2 . 3cos 2 x + 7sin x – 7 = 0
3 . 3sin 2 x + 7sin x cos x + 2cos 2 x = 0
4 . 2 tg x – 4ctg x + 7 = 0
5 . sin 2 x – 22cos 2 x + 10 = 0
6 . 2 sin 2 x – 3sin 2 x – 4cos 2 x = 4
Решите тригонометрические уравнения:
1. 5 sin 2 x + 12 sin x + 7 = 0
2 . 10sin 2 x – 11cos x – 2 = 0
3 . 4sin 2 x + 13sin x cos x + 3cos 2 x = 0
4 . 6 tg x – 10ctg x + 7 = 0
5 . 14 cos 2 x + 5sin 2 x = 2
6 . 4 sin 2 x = 4 – cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 6 cos 2 x + 11 cos x + 4 = 0
2 . 2cos 2 x – 3sin x + 3 = 0
3 . 2sin 2 x + 7sin x cos x + 6cos 2 x = 0
4 . 4 tg x – 3ctg x + 11 = 0
5 . 9 sin 2 x + 22sin 2 x = 20
6 . 8 sin 2 x + 7sin 2 x + 3cos 2 x + 3 = 0
Решите тригонометрические уравнения:
1. 2 sin 2 x + 3 sin x – 5 = 0
2 . 10sin 2 x – 17cos x – 16 = 0
3 . 5sin 2 x + 13sin x cos x + 6cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 14ctg x + 1 = 0
5 . 10 sin 2 x + 13sin 2 x + 8 = 0
6 . 6 cos 2 x + cos 2 x = 1 + 2sin 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10 cos 2 x + 11 cos x – 8 = 0
2 . 4cos 2 x – 11sin x – 11 = 0
3 . 3sin 2 x + 8sin x cos x + 4cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 12ctg x + 11 = 0
5 . 5 sin 2 x + 22sin 2 x = 16
6 . 2 sin 2 x – 10cos 2 x = 9sin 2 x + 10
Решите тригонометрические уравнения:
1. 4 sin 2 x + 11 sin x + 7 = 0
2 . 8sin 2 x – 14cos x + 1 = 0
3 . 2sin 2 x + 9sin x cos x + 9cos 2 x = 0
4 . 6 tg x – 2ctg x + 11 = 0
5 . 8 sin 2 x – 7 = 3sin 2 x
6 . 11sin 2 x = 11 – cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 2 cos 2 x + 3 cos x – 5 = 0
2 . 6cos 2 x – 11sin x – 10 = 0
3 . sin 2 x + 7sin x cos x + 12cos 2 x = 0
4 . 7 tg x – 8ctg x + 10 = 0
5 . 9cos 2 x – sin 2 x = 4sin 2 x
6 . 7 sin 2 x + 3cos 2 x + 7 = 0
Решите тригонометрические уравнения:
1. 10 sin 2 x + 17 sin x + 6 = 0
2 . 3sin 2 x + 7cos x – 7 = 0
3 . 3sin 2 x + 11sin x cos x + 10cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 9ctg x + 12 = 0
5 . 3 sin 2 x + 5sin 2 x + 7cos 2 x = 0
6 . 12cos 2 x + cos 2 x = 5sin 2 x + 1
Решите тригонометрические уравнения:
1. 5 cos 2 x + 12 cos x + 7 = 0
2 . 10cos 2 x + 17sin x – 16 = 0
3 . 2sin 2 x + 9sin x cos x + 4cos 2 x = 0
4 . 4 tg x – 6ctg x + 5 = 0
5 . 8 sin 2 x + 3sin 2 x = 14cos 2 x
6 . 2sin 2 x – 7cos 2 x = 6sin 2 x + 7
Решите тригонометрические уравнения:
1. 12 sin 2 x – 20 sin x + 7 = 0
2 . 3sin 2 x + 5cos x + 5 = 0
3 . 3sin 2 x + 13sin x cos x + 14cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 4ctg x + 11 = 0
5 . 8 cos 2 x + 7sin 2 x + 6sin 2 x = 0
6 . 1 – cos 2 x = 18cos 2 x – 8sin 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 4 cos 2 x + 11 cos x + 7 = 0
2 . 10cos 2 x – 11sin x – 2 = 0
3 . 2sin 2 x + 13sin x cos x + 6cos 2 x = 0
4 . 3 tg x – 2ctg x + 5 = 0
5 . 7 sin 2 x + 2 = 18cos 2 x
6 . 13sin 2 x + 13 = –5cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 8 sin 2 x + 14 sin x – 9 = 0
2 . 2sin 2 x + 5cos x + 5 = 0
3 . sin 2 x + 9sin x cos x + 14cos 2 x = 0
4 . 2 tg x – 5ctg x + 9 = 0
5 . 7 sin 2 x + 5sin 2 x + 3cos 2 x = 0
6 . 2sin 2 x + 9sin 2 x = 10cos 2 x + 10
Решите тригонометрические уравнения:
1. 3 cos 2 x – 7 cos x + 4 = 0
2 . 8cos 2 x + 10sin x – 1 = 0
3 . 3sin 2 x + 13sin x cos x + 4cos 2 x = 0
4 . 5 tg x – 14ctg x + 3 = 0
5 . 7 sin 2 x = 22sin 2 x – 4
6 . cos 2 x + 8sin 2 x = 1 – 18cos 2 x
Решите тригонометрические уравнения:
1. 8 sin 2 x – 10 sin x – 7 = 0
2 . 2sin 2 x – 3cos x + 3 = 0
3 . 2sin 2 x + 11sin x cos x + 12cos 2 x = 0
4 . 4 tg x – 14ctg x + 1 = 0
5 . 4 sin 2 x + 10cos 2 x = 1
6 . 11sin 2 x – 7cos 2 x = 11
3 . – arctg 3 + n ; – arctg 2 + k
3 . – arctg 2 + n ; – arctg 4 + k
3 . – arctg 2 + n ; – arctg 6 + k
3 . – arctg 4 + n ; – arctg 3 + k
3 . – arctg 2 + n ; – arctg 7 + k
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 594 004 материала в базе
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
- 28.09.2016
- 1114
- 27
- 28.09.2016
- 4109
- 63
- 28.09.2016
- 996
- 1
- 28.09.2016
- 671
- 0
- 28.09.2016
- 1155
- 10
- 28.09.2016
- 493
- 0
- 28.09.2016
- 913
- 3
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 28.09.2016 9554
- DOCX 224 кбайт
- 44 скачивания
- Рейтинг: 5 из 5
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Янишевская Инна Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 5 лет и 10 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 13496
- Всего материалов: 18
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи
Время чтения: 1 минута
Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов
Время чтения: 3 минуты
Школы смогут вносить данные в портфолио школьника в «МЭШ»
Время чтения: 2 минуты
Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии
Время чтения: 3 минуты
Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс
Разделы: Математика
Класс: 10
«Уравнения будут существовать вечно».
Цели урока:
- Образовательные:
- углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
- сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
- Воспитательные:
- воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
- формирование умения анализировать поставленную задачу;
- способствовать улучшению психологического климата в классе.
- Развивающие:
- способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
- способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;
Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.
1 урок
I. Актуализация опорных знаний
Устно решить уравнения:
1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –
6) sin
7) tgx =
8) cos 2 x – sin 2 x = 0
; 
; 
; 1) х = 2
2) х = ±
3) х =±
4) х =
5) х = (–1)
6) х = (–1)
7) х =
8) х =
+ 2
+ 2
II. Изучение нового материала
– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).
Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.
Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.
(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)
1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители
sin 4x = 3 cos 2x
Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 
= 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.
2x = 
+ 
к, к 
Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 
1
x = 
+ к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.
2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение
cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.
Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin 
= 2 sin 
сos
cos 3x + 2 sin 
сos 
= 0,
сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,
cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит 
Ответ:
3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.
Для решения уравнения воспользуемся формулой 
Ответ: 
4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям
3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,
Пусть sin x = t, где | t |
. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,
. Таким образом 
. 
не удовлетворяет условию | t |.
Значит sin x = 
. Поэтому 
.
Ответ: 
III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова
1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. 
(преобразование произведения в сумму)
(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)
№ 164 (а)
2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t 
= – 1, t
= . Откуда 
Ответ: –
.
№ 167 (а)
3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.
Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.
Ответ: 
№ 168 (а )
Ответ: 
№ 174 (а )
Ответ: 
Решить уравнение: 
Ответ: 
2 урок (урок-лекция)
IV. Изучение нового материала (продолжение)
– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.
5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений
Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.
sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.
Получим tg x – 1 = 0.
Ответ: 
Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.
sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.
tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.
Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.
тогда 
Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.
В итоге x = arctg 2 + 
, x = 
Ответ: arctg 2 + ,
Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).
Ответ: arctg 2 + k,
6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений
Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.
Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде: 
Учитывая, что 
и
, получим:
Ответ: 
7 способ. Введение дополнительного аргумента
Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:
.
(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)
Введём дополнительный аргумент – угол 
такой, что 
Тогда 
Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.
Учтём, что 
. Тогда получим 
0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что 
, т.е. = arcsin 0,6. Далее получим 
Ответ: – arcsin 0,8 + +
8 способ. Уравнения вида Р 
Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .
Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.
Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = 
. Следовательно получим:
t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим 
= 1, 
=
.
sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =
Ответ: 
9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.
Решить уравнение: 
В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида
, запишем систему, равносильную исходному уравнению:
Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.
1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.
Условию 
удовлетворяют только решения
Ответ: 
10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.
Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе: 
Решение системы 
Ответ:
V. Итог урока
Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.
(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )
Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).
http://infourok.ru/prosteyshie-trigonometricheskie-uravneniya-testi-s-otvetami-1218673.html
http://urok.1sept.ru/articles/593441