Решение простейших уравнений содержащих уравнение второй степени

Электронный конспект урока алгебры в 8 классе «Решение простейших систем уравнений, содержащих уравнение второй степени»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок алгебры в 8 классе с углубленным изучением математики Автор разработки: учитель математики МБОУ СШ №10 г.Павлово Леонтьева Светлана Ивановна Ни одна наука так не укрепляет веру в силу человеческого разума, как математика. Гуго Штейнгауз

Приветствую вас на уроке алгебры в 8 классе Уроки №90-91 31.01.17г.

Девиз урока Успешного усвоения учебного материала Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять. Рене Декарт

Отчёт по выполнению ДР в группе

1.Теория. §31. Выучить справочные таблицы для решения квадратного уравнения, формулу разложения квадратного трёхчлена на множители, схему решения биквадратных уравнений. Разобрать задачи, решенные в классе. 2.Практика. Стр.146, №539 Стр.133, №484,485** ДР№44 на 31.01.17 КР№ 4 – 10 февраля.

Пусть одна сторона равна хм, тогда вторая равна х+5(м), а площадь равна х(х+5)м² или 84м² Имеем уравнение: х(х+5)=84 х²+5х — 84=0 Проверьте решение в паре. Назовите ответ задачи № 539

Пусть один катет равен хм, тогда второй равен х+31(м), а площадь треугольника равна или 180м² Имеем уравнение: Проверьте решение в паре. Назовите ответ задачи № 484

Проверьте решение в паре. Назовите ответ задачи № 485

Оцените своё выполнение ДР

КР 31.01.17 Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени. §32

Цели урока: Вспомнить основные способы решения линейных систем уравнений, рассмотреть эти способы для решения систем уравнений, содержащих уравнения второй степени. Закреплять решение задач. Продолжить формирование культуры устной и письменной математической речи и культуры общения.

Решение задач в парах и группах. Задачи на движение по реке. Задача 1. Проанализировать задачу. Заполнить таблицу. Составить уравнение.

Задача 1. Собственная скорость катера- Скорость Время Расстояние По течению Против течения

Задача 1. Собственная скорость катера- Скорость Время Расстояние По течению50 км Против течения 36 км

Задача 1. Собственная скорость катера- Скорость Время Расстояние По течению50 км Против течения36 км

Решение задач в парах и группах. Задача 2. Проанализировать задачу. Заполнить таблицу. Какая дополнительная строка будет в таблице? течения

Решение задач в парах и группах. Задача 2. течения Скорость Время Расстояние По течению Против течения По озеру

Решение задач в парах и группах. Задача 2. течения Скорость Время Расстояние По течению36км Против течения48км По озеру90км

Решение задач в парах и группах. Задача 2. Собственная скорость лодки Решаем уравнение Скорость Время Расстояние По течению36км Против течения48км По озеру90км

Решение Задача 2. Собственная скорость лодки НОЗ: Назовите НОЗ и дополнительные множители для каждой дроби

Решение Задача 2. Собственная скорость лодки НОЗ: Записываем равенство для новых числителей, выполнив частично умножение.

Решение Задача 2. Собственная скорость лодки НОЗ: Раскрываем скобки

Решение Задача 2. Собственная скорость лодки НОЗ: Приводим подобные

Решение Задача 2. Собственная скорость лодки НОЗ: Делим обе части на -6

Решение Задача 2. Собственная скорость лодки НОЗ: Найдите корни уравнения по любой формуле

Решение Задача 2. Собственная скорость лодки 3 45 3 15 Какое значение из корней не может быть значением скорости?

Решение Задача 2. Собственная скорость лодки 3 45 3 15 — 9 не может быть значением скорости Ответ:

Решить задачи в парах и группах. Заполните в таблице все ячейки и составьте уравнение Задачи на движение по реке.

Стр.135, §32 Задача 1. Разобрать до системы уравнений .

Какие способы решения системы линейных уравнений вы знаете?

Способы решения системы линейных уравнений: Способ подстановки 2. Способ алгебраического сложения 3. Графический способ

Стр.137, №492(1,3) Как нужно изменить запись второго уравнения?

Стр.137, №492(1,3) Какой способ решения системы выбираем? Решение:

Стр.137, №492(1,3) ×(-2) + Решение:

Стр.137, №492(1,3) ×(-2) + Решение:

Стр.137, №492(1,3) ×(-2) + Решение:

Стр.137, №492(1,3) ×(-2) + Решение:

Стр.137, №492(1,3) ×(-2) + Решение:

Стр.137, №492(1,3) ×(-2) + Решение:

Стр.137, №492(1,3) ×(-2) + Ответ: (4;5) Решение:

Стр.137, №492(3) Как нужно изменить запись каждого уравнения?

Стр.137, №492(3) Каким способом будем решать? Решение:

Стр.137, №492(3) Решаем способом подстановки Решение:

Стр.137, №492(3) Решение:

Стр.137, №492(3) Решение:

Стр.137, №492(3) Решение:

Стр.137, №492(3) Решение:

Стр.137, №492(3) Решение:

Стр.137, №492(3) Решение:

Стр.137, №492(3) Решение:

Стр.137, №492(3) Решение:

Ответ: (-5;11) Стр.137, №492(3) Решение:

Стр.137, №493(1) 1.Проанализируйте уравнения 1 и 2 систем. 2. Какой способ из известных нужно использовать? 3. Решаем систему 1. Решение:

Стр.137, №493(1) Решение:

Стр.137, №493(1) Решение:

Стр.137, №493(1) Решение:

Стр.137, №493(1) Подберите корни по теореме, обратной теореме Виета Решение:

Стр.137, №493(1,3) Решение:

Стр.137, №493(1) Решение:

Стр.137, №493(1) Решение: Ответ: (-3;3);(7;13)

Стр.137, №493(3) Что особенного заметили в записи уравнений системы? Какой способ удобнее применить? Из какого уравнения удобнее вычитать?

Стр.137, №493(3) — Как найти корни?

Стр.137, №493(3) — Ответ: (3;-1);(-5;3)

Подводим итоги работы на уроке: Кто на уроке был лучшим? Решал в основном успешно и самостоятельно -»5», Использовал подсказки – «4», Испытывал проблемы -…

Какие задания выполняли на уроке. Как вы думаете, изменятся ли способы решения систем, содержащих уравнения второй степени?

1.Теория. §32. Знать справочные таблицы для решения квадратного уравнения, формулу разложения квадратного трёхчлена на множители, схему решения биквадратных уравнений, схему решения рассмотренных задач Разобрать задачи, решенные в классе. 2.Практика. Стр.137, №№492(2,4), 493(2,4), 498,499 ДР№45 на 02.01.17 КР№ 4 – 10 февраля.

дискриминант нет действительных корней один корень два различных действительных корня Справочные материалы по квадратному уравнению

дискриминант общая формула корней квадратного уравнения Приведенное квадратное уравнение Квадратное уравнение Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом Формула корней квадратного уравнения с четным 2 коэффициентом Теорема Виета: Если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения, то х1+х2 =-p; х1∙х2=q Формулы корней приведенного квадратного уравнения

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 213 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Алимов Ш.А. и др.

§ 32. Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 16.04.2018
• 461
• 7

• 16.04.2018
• 463
• 7

• 16.04.2018
• 449
• 5

• 16.04.2018
• 1015
• 7

• 16.04.2018
• 602
• 7

• 16.04.2018
• 351
• 6

• 16.04.2018
• 616
• 5

• 16.04.2018
• 553
• 12

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 16.04.2018 849
• PPTX 2.4 мбайт
• 11 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Леонтьева Светлана Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 421728
• Всего материалов: 407

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Простейшие системы, содержащие уравнения 2-ой степени

Конспект урока «Простейшие системы, содержащие уравнения 2-ой степени»

Просмотр содержимого документа
«Простейшие системы, содержащие уравнения 2-ой степени»

Тема урока: Решение задач на тему «простейшие системы, содержащие уравнения второй степени».

Тип урока: урок систематизации знаний умений и навыков.

образовательная – закрепить знания по решению систем уравнений; вспомнить способы решения уравнений;

развивающая – развитие мышления, развитие творческого мышления, развитие памяти;

воспитательная – формирование учебно-коммуникативных, учебно-интеллектуальных умений, воспитание интереса к изучению математики.

умение решать системы уравнений;

умение выбирать рациональный способ решения систем;

умения правильно применять способы решения систем;

умения высказывать свое мнение, делать выводы;

Развивать: мышление, творческое мышление, память, математический язык, умение осуществлять самостоятельную деятельность на уроке.

по источнику знаний: беседа, упражнения;

по характеру познавательной деятельности: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный.

Формы обучения: фронтальная.

1. Организационный момент (1 мин).
2. Актуализация опорных знаний и способов действий (5 мин).
3. Закрепление изученного материала (35 мин).
4. Постановка домашнего задания (1 мин).
5. Подведение итогов урока (3 мин).

— Здравствуйте ребята, присаживайтесь.

Учащиеся рассаживаются, слушают учителя.

Актуализация опорных знаний и способов действий

— Итак, начнем. Откройте тетради, запишите число, классная работа.

— На прошлом уроке мы изучали методы решения систем, в которых содержатся уравнения второй степени. Сегодня мы закрепим полученные знания. Поэтому записываем тему урока: «Простейшие системы, содержащие уравнения второй степени».

-Скажите, какими способами мы можем решить систему уравнений?

Учитель заранее записал на доске системы уравнений.

1)

2)

Задает вопросы ученикам

— Обратите внимание, на доске записаны системы уравнений.

— Проанализируем первую систему уравнений. Какой алгоритм решения имеет данная система?

— Как называется такой способ?

— Проанализируем вторую систему уравнений. Как можно её решить?

— Какой алгоритм решения имеет данная система уравнений, если решать способом сложения?

Записывают в тетради число, классная работа.

Слушают учителя и записывают тему урока

-Методом алгебраического сложения, методом подстановки, по обратной теореме Виета, графическим методом.

Отвечают на вопросы учителя

— Из второго уравнения выражаем х. Подставляем полученное выражение в уравнение второй степени, получается уравнение с одной переменной. Решаем получившееся уравнение с одной переменной. Тем самым найдем у, полученное значение подставляем во второе уравнение и находим х.

— Такой способ называется способом подстановки.

— Данную систему можно решить способом подстановки и способом сложения.

— В первую очередь нужно выбрать, от какой переменной мы избавимся. Если при сложении уберем , то необходимо второе уравнение умножить на -2, чтобы оно было равносильно первому уравнению. При сложении двух уравнений, получится линейное уравнение. Решив его, найдем корни и подставим в любое из уравнений.

Закрепление изученного материала

— Алгоритм решения мы проговорили, теперь решим эти две системы уравнений. Записываем в тетрадь первую систему уравнений. К доске пойдёт…

Учитель вызывает одного ученика к доске.

— Решая систему уравнений, проговаривай каждое действие.

Изящные способы решения систем уравнений с двумя переменными второй степени

Разделы: Математика

Цели урока:

рассмотреть интересные способы решения систем уравнений с двумя переменными второй степени;
• продолжить работу по формированию у учащихся умений решать системы уравнений с двумя переменными различными способами;
• развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу.

Ход урока

Решение систем, содержащих два уравнения с двумя переменными второй степени весьма трудная задача, но в некоторых случаях системы могут быть решены с помощью простых и изящных приемов. Открыть некоторые из них – это цель сегодняшнего урока.

I. Проверка домашнего задания.

Решить систему уравнений способом подстановки и графически.

Первый ученик показывает решение системы уравнений:

(1)

— способом подстановки.

1) ху=-3;
2)

умножим обе части уравнения на ,получим:пусть и 0,тогда по теореме, обратной теореме Виета, получим:

Если z =9,то ,

z =1, то

-3,-1,1,3 отличны от нуля, значит, они являются корнями уравнения

3) Если то	то
то	то

Ответ:(3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3)-решения системы (1).

Второй ученик показывает решение системы уравнений:

— графическим способом.

В одной системе координат построим графики уравнений: и ху= -3.

-графиком этого уравнения является окружность с центром в точке (0;0) и радиусом .

В треугольнике АВС,АВС =90°, АВ=1, ВС=3, АС=.

Длину отрезка АС= возьмем за радиус окружности .

ху=3; у=; — графиком этого уравнения является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных углах.

Графики изображены на рисунке 1.

Графики и пересекаются в четырех точках (они обозначены буквами А, В, С, Д), следовательно, данная система уравнений имеет четыре решения:

Интересно заметить, что решения данной системы симметричны. Точки С и В и А и Д симметричны относительно начала координат. Точки С и А и Д и В симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (прямой у=х), поэтому их координаты “меняются местами”.

II. “Открытие” новых способов решения этой же системы.

Для решения этой системы есть более изящные и красивые способы. Открыть их, понять и научиться применять — это цель нашего урока. Поставив цель мы в конце урока должны подвести итог нашей работе, для этого мы будем использовать идею Эдварда де Боно, которую он назвал “Шесть шляп — шесть способов мышления”- они нам и помогут с разных позиций проанализировать урок, работая в группах.

Работа в группах.

Решить систему новым способом (на работу 5-7мин.).

Свое решение на доске показывает одна из групп:

(1)

Система (1) “распадается” на две более простые системы:

(2)

(3)

Каждое решение системы (1) является решением хотя бы одной из систем (2) или (3).И каждое решение системы (2) и (3) является решением системы (1).

Системы (2) и (3) является симметричными, решим каждую из них:

(1)

(2)

Пусть и корни уравнения	Пусть и корни уравнения
и его корни, решения системы (1).	и его корни, решения системы (2)

Для того чтобы понять содержательную сторону приведенного решения, обратимся к графической иллюстрации. На рис.2 в одной системе координат показано графическое решение систем.

и

Каждая прямая х+у =2 и х+у =-2 пересекает гиперболу ху=-3 в двух точках, а всего мы имеем четыре точки пересечения (они обозначены буквами А, В, С, Д). Это те же точки, которые получились при пересечение гиперболы и окружности (смотри рис.1).

Еще один способ решения данной системы представил один из учеников, для которого это было домашнее индивидуальное задание.

Сложим почленно первое уравнение системы сначала с уравнением 2ху=-6,а затем с уравнением -2ху=6.Получим систему:

Из первого уравнения получаем, что

Из второго уравнения получаем, что

Рассматривая каждое уравнение первой строки совместно с каждым уравнение второй строки приходим к четырем системам линейных уравнений:

Решив каждую из них получим следующие решения исходной системы:

Решение проиллюстрировано графически на рис.3.

Теперь мы видим, что четыре прямые при попарном пересечении указывают нам те же самые точки, которые получились при пересечении окружности и гиперболы (смотри рис.1).

И еще разберем один из способов решения системы

Данная система является симметричной и решается она очень красиво с помощью введения новых переменных. Пусть , и учитывая, что ,получим:

Если u=-3, то или тогда получим:

и

Полученные системы тоже являются симметричными системами, которые мы уже решали. Итак,(3;1), (-1;3), (-3;1),(1;-3)-решения данной системы.

Мы рассмотрели пять различных способов решения одной и той же системы уравнений. Каждый выберет для себя способ, который ему больше всего понравился, самое главное — что каждый из Вас научился решать системы такого вида и поэтому эпиграфом урока могли служить слова Б.В.Гнеденко: “Ничто так не содействует усвоению предмета, как действие с ним в разных ситуациях”.

1 задание. Решить систему уравнений:

2 задание. На рисунке 4 построены: окружность парабола и прямая у=2х+10.Составьте всевозможные системы двух уравнений с двумя переменными и укажите их решения.

3 задание. Система уравнений. где b-произвольное число, может иметь одно, два, три или четыре решения, а также может не иметь решений. Запишите конкретную систему, которая имела бы два решения. Проиллюстрируйте решение системы, графически на рисунке 5.

1 задание. Решить систему уравнений:

2 задание. На рисунке 6 построены кубическая парабола у=х, гипербола у= и прямая у=2х.

Составьте всевозможные системы двух уравнений с двумя переменными и укажите их решения.

3 задание. Система уравнений где b- произвольное число, может иметь одно, два, три или четыре решения, а также может не иметь решений. Запишите конкретную систему, которая имела бы одно решение. Проиллюстрируйте решение графически на рисунке 5.

IV. Подведение итогов урока.

Для анализа урока мы будем использовать идею Эдварда де Боно, которую он назвал “Шесть шляп”.

Зелёная шляпа-символ свежей листвы, изобилия и плодородия. Она символизирует творческое начало и расцвет новых идей.

Итак, первая группа ответит на вопросы: пригодятся ли нам знания, полученные на уроке, умения исследовать и находить различные способы решения систем уравнений?

Жёлтая шляпа — солнечный, жизнеутверждающий цвет. Она полна оптимизма, под ней живёт надежда и позитивное мышление.

Итак, вторая группа отметит какие положительные моменты были на уроке и обоснует свой оптимизм.

Белая шляпа — белый цвет беспристрастен и объективен. В ней “варятся” мысли, “замешанные” на цифрах и фактах.

Итак, третья группа должна изложить происходящее на уроке опираясь и подкрепляя свой ответ цифрами и фактами.

Красная шляпа-символ восприятия действительности на уровне чувств. В ней можно отдать себя во власть эмоций.

Итак, четвёртая группа постарается высказать свои эмоции по поводу данного урока.

Чёрная шляпа — черный цвет мрачный, зловещий, словом — недобрый. Это критика, доходящая до въедливости.

Итак, пятая группа должна высказать свое мнение о том, что получилось на уроке или что требует доработки.

Синяя шляпа — синий цвет холодный, это цвет неба. Синяя шляпа связана с организацией, обобщением того, что достигнуто.

Итак, шестая группа при подведении итогов урока должна указать, на что необходимо обратить внимание при изучении данной темы?

V. Домашнее задание.

А.П. Ершова, В.В. Голобородько “Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса” (разноуровневые дидактические материалы). С-9,стр. 19 (по уровням сложности)