Решение рациональные уравнения приводимые к квадратным

2 .

Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:

1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.

2. Перемножаем каждую пару скобок.

3. Из каждого множителя выносим за скобку х.

4. Делим обе части уравнения на .

5. Вводим замену переменной.

В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :

Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :

Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение:

Ответ:

3 .

Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение относительно переменной t:

Ответ:

4 .

Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .

Чтобы его решить,

1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:

2. Сгруппируем слагаемые таким образом:

3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:

4. Введем замену:

5. Выразим через t выражение :

Отсюда

Получим уравнение относительно t:

Ответ:

5. Однородные уравнения.

Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.

Однородные уравнения имеют такую структуру:

В этом равенстве А, В и С — числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень ( в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.

Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на

Или на

Или на

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Пойдем первым путем. Получим уравнение:

Сократим дроби, получим:

Теперь мы вводим замену переменной:

И решаем квадратное уравнение относительно замены:

.

При решении уравнения я обычно придерживаюсь такой тактики: нужно уменьшить количество различных выражений, в состав которых входит неизвестное ( принцип «бритвы Оккама» — не нужно множить сущности без нужды), а для этого помогает разложить выражения с неизвестным на множители. Разложим выражение, стоящее в правой части уравнения на множители.

Перенесем все влево, получим:

Теперь мы видим, что перед нами однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на , предварительно проверив, что х=1 не является корнем исходного уравнения.

Теперь самое время ввести замену переменной:

Получим квадратное уравнение:

Ответ:

6 .

Это уравнение имеет такую структуру:

Решается с помощью введения вот такой замены переменной:

В нашем уравнении ,тогда . Введем замену:

Теперь возведем каждую скобку в четвертую степень, используя треугольник Паскаля:

Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:

Ответ: или

7 .

Это уравнение имеет такую структуру:

Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.

Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.

Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно

Теперь прикинем, что нам удобнее иметь — квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:

Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:

[/pmath]

Введем замену:

Получим квадратное уравнение:

Ответ:

Решение уравнений, приводимые к квадратным

Разделы: Математика

Цель: Обобщить и систематизировать знания о целых уравнениях и методах их решений.

Форма проведения: игра “Математик-бизнесмен”

Оборудование: карточки- задания, “Правила игры”

Ход урока.

I. Сообщение темы и цели урока.

Учитель: Одна из важнейших тем математики — это уравнения. Начиная с начальных классов рассматриваются самые разнообразные уравнения. Мы с вами изучали линейные уравнения, дробно- рациональные уравнения. Для всех, уже умевших решать эти уравнения, желанным было бы решать уравнения 3-ей степени и выше. Сегодня рассмотрим некоторые методы решения уравнений высших степеней. Урок проведем в форме игры “Математик- бизнесмен”. Для этого класс разбиваем на 4 группы. Каждая группа представляет финансово-кредитное учреждение, которое осуществляет денежные расчеты и наращивает “капитал”. Каждая команда объявляет название банка, называет управляющего банком и наблюдателя. Управляющий банком представляет членов банка.

— Слово предоставляется ученикам.

Названия банков:

1. “Альфа- банк”
2. “Плюс-банк”
3. “Би-банк”
4. “Омега-банк”

Учитель: Ознакомимся с правилами игры.

1. Каждый банк получает стартовый капитал в размере 10 тыс. рублей.
2. Каждый банк имеет наблюдателя, который заносит результаты всех видов работы каждого члена правления банка в таблицу. Таблицы наблюдателей лежат на столах, где указаны все виды работ.
3. Выигрывает тот банк, который набрал наибольшее количество денег.

II. Ход игры.

1. Домашнее задание.

Учитель: Вам было задано на дом задание – работать со словарем и выяснить значения слов: банк, кредит, капитал, банкир.

Ожидаемый ответ учащихся:

Банк – крупное финансово-кредитное учреждение.

Кредит – предоставление в долг товаров или денег.

Капитал – стоимость, которая в результате ее использования дает прибыль.

Банкир – банковский делец, владелец или крупный акционер банка.

За каждый правильный ответ член правления банка получает 2000 рублей. Наблюдатели заносят результаты в таблицу, отмечая при этом фамилии отвечающих.

Учитель: проверим надежность вашего партнера. Для этого вы должны ответить на несколько вопросов. За каждый правильный ответ дается 3000 рублей.

а) что такое целое уравнение? (Левая и правая части уравнения-целые выражения)

б) Что такое степень уравнения? (P(x)=0, где P(x)- многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения).

в) Что такое биквадратное уравнение? (Уравнение четвертой степени, имеющее вид )

г) Методы решения целых уравнений? (Введение новой переменной, разложение на множители, группировка слагаемых, графический)

д) Сколько корней может иметь уравнение первой степени? (один корень при )

е) Сколько корней может иметь уравнение второй степени? (Зависит от дискриминанта, если D>0, то два корня, если D=0,то один корень, если D

Подведение итога, объявление результатов игры.

Таким образом, на сегодняшнем уроке мы с вами вспомнили методы решения целых уравнений.

Д/з: подготовиться к контрольной работе, дидактические материалы К-2, в-I (1,2 задания)

Урок «Решение уравнений , приводимых к квадратным» (11 класс)

Французский писатель Анатолий Франс заметил: «Что учиться можно только весело. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом». Последуем совету писателя: будем на уроке активными, внимательными, будем «поглощать» знания с большим желанием, ведь они вам понадобятся для сдачи экзаменов и для выполнения централизованного тестирования.

Перед нами стоит задача: повторить типы, методы и особенности решения уравнений, приводимых к квадратным:

Просмотр содержимого документа
«Урок «Решение уравнений , приводимых к квадратным» (11 класс)»

Вернисаж педагогических идей

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, ПРИВОДИМЫХ К КВАДРАТНЫМ

Тараченко Людмила Владимировна

первая квалификационная категория,

2.Основная часть. 4 -8

3.Список использованной литературы. 9

Французский писатель Анатолий Франс заметил: «Что учиться можно только весело. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом». Последуем совету писателя: будем на уроке активными, внимательными, будем «поглощать» знания с большим желанием, ведь они вам понадобятся для сдачи экзаменов и для выполнения централизованного тестирования.

Перед нами стоит задача: повторить типы, методы и особенности решения уравнений, приводимых к квадратным:

На протяжении всего урока наблюдается высокая активность учащихся, учитель имеет возможность опросить всех учащихся класса, а некоторых даже не один раз.

Для осуществления поставленных на уроке целей выбраны следующие методы и формы обучения:

методы: наглядный; практический; словесный; частично-поисковый;

формы: общеклассная; индивидуальная; парная; групповая.

На уроке создаются условия для работы на различных уровнях сложности.

Как правило, урок проходит в быстром темпе, работоспособность учащихся — высока.

Эпиграф к уроку:

Пусть математика сложна,

Ее до края не познать,

Откроет двери всем она,

В них только надо постучать.

— повторение и систематизация знаний учащихся при решении уравнений различных видов, приводимых к квадратным;

— повторение основных сведений о квадратных уравнениях (дискриминант, наличие корней, определение вида квадратных уравнений: полное, неполное, квадратное);

— повторение знания алгоритмов решения уравнений методом замены переменной;

-развитие логического мышления, памяти, внимания, познавательного интереса, развитие речи учащихся, аккуратности, трудолюбия;

— воспитание уважения друг другу, взаимопонимания, взаимопомощи. уверенности в себе, самостоятельности.

Вид урока: урок комплексного применения знаний, умений и навыков

Тип урока: практикум

Роль учителя: направить познавательную активность учащихся на выработку умений самостоятельно применять знания в комплексе для выбора нужной подстановки в каждом типе уравнений, приводящей к квадратному .

1. Организационный момент.

2. Устные упражнения.

3.Решение уравнений, приводимых к квадратным:

5. Решение уравнений, приводимых к квадратным:

6. Подведение итогов урока.

7. Задание на дом.

1. Организационный момент.(2 мин.)

(Сообщить тему урока, цель, план урока). Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических, показательных, иррациональных уравнений, рациональные уравнения.

2. Устные упражнения (10 мин.)

1)Уравнения– это золотой ключ, открывающие все математические сезамы .

Вопросы предлагаемые учащим:

1) Уравнение вида ax²+bx+c=0 называется …
2) Дискриминант находится по формуле D= …
3) Если D 0, то квадратное уравнение имеет …
4) Если D =0, то уравнение имеет …
5) Если D 6) Уравнение ax²+bx+c=0 примет вид линейного, если…

7) Назвать квадратное уравнение , если с=-8, в= -2, а=3
8) Уравнение вида x² + px + q=0 называется…
9) Уравнения вида ax²=0, ax²+bx=0, ax²+c=0, где а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0 называются…

10) Если х1 и х2 – корни уравнения х²+рх+q=0, то справедливы формулы х1 +х2= … и х1· х2 =…

Учитель раздает памятки учащим. Предолгая заполнить таблицу.

2)Учитель предлагает задания на которые учащиеся должны ответить устно.

Какие из уравнений являются:

А) неполными квадратными уравнениями;

Б) приведенными квадратными уравнениями;

В)уравнениями, у которых нет корней.

3) Укажите коэффициенты квадратных уравнений?

4) Замените уравнение равносильным ему приведенным квадратным уравнением.

4) 10х² — 20x +30 = 0.

5) Имеет ли квадратное уравнение корни, если имеет то сколько; рациональными или иррациональными числами являются корни?