Решение рациональных дробей уравнений 8 класс

Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели урока:

• формирование понятия дробных рационального уравнения;
• рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
• рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
• обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
• проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
• развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
• развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
• развитие критического мышления;
• развитие навыков исследовательской работы.

• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
2. Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
3. Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

Основные сведения о решении дробно-рациональных уравнений

Определение основных понятий по теме

Рациональным выражением является такое выражение в алгебре, в состав которого включены числа и переменная х, а также операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с натуральным показателем. Если пара рациональных выражений объединены знаком равенства, то перед нами рациональное уравнение.

Дробно-рациональное уравнение представляет собой не имеющее знак корня рациональное уравнение, в котором обе части записаны в виде дробных выражений.

В дробно-рациональном уравнении имеется как минимум одна дробь, содержащая в знаменателе переменную.

Например, дробно-рациональными уравнениями являются:

9 x 2 — 1 3 x = 0

1 2 x + x x + 1 = 1 2

6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1

Уравнения, которые нельзя отнести к дробно-рациональным:

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений

В процессе решения дробно-рациональных уравнений требуется правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Когда корни уравнения найдены, следует проверить их на соответствие ОДЗ и выяснить, какие являются допустимыми. В противном случае образуются посторонние решения, что автоматически делает ответ неверным.

Предусмотрен стандартный алгоритм действий для поиска корней дробно-рациональных уравнений:

1. Выписать и определить ОДЗ.
2. Вычислить общий знаменатель дробей.
3. Найти произведение каждого члена уравнения и общего знаменателя. После чего следует сократить полученные дроби, чтобы избавиться от знаменателей.
4. Записать уравнение со скобками.
5. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
6. Найти корни уравнения, которое получилось после раскрытия скобок.
7. Сверить найденные корни с ОДЗ.
8. Решения, которые успешно прошли проверку, записать в ответ.

Примеры решения задач

Требуется найти корни дробно-рационального уравнения:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

Рассмотрим уравнение из условия задания:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

Определим область допустимых значений:

x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )

В таком случае, общим знаменателем является следующее выражение:

Согласно стандартной последовательности действий, найдем произведение каждого члена уравнения и ( x — 2 ) ( x + 2 ) : x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )

x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8

x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8

Затем следует привести подобные слагаемые:

Решениями получившегося квадратного уравнения являются следующие корни:

Сравним результат вычислений с ОДЗ. Зная, что x ≠ 2 , исключим первый корень, как посторонний. Запишем в ответ второй корень.

Для закрепления материала и знаний метода решения дробно-рациональных уравнений попробуем решить еще одно задание с объяснением действий. Подобные задачи нередко приходится решать на уроках алгебры в восьмом классе.

Решить дробно-рациональное уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

Рассмотрим уравнение из условия задания:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

Определим область допустимых значений:

x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

D = 49 — 4 · 10 = 9

x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2

x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5

Воспользуемся способом разложения квадратного трехчлена на множители:

a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )

Преобразуем квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 с учетом найденных x 1 и x 2 :

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

В результате общий знаменатель равен:

Умножим все части уравнения на общий знаменатель:

x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 — — ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Выполним сокращение дробей:

x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0

Избавимся от скобок:

x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0

Приведем подобные слагаемые:

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Тогда получим корни уравнения:

Соотнесем решения с областью допустимых значений, которую определили ранее. Первый корень является посторонним, что выявлено с помощью контрольной проверки. По этой причине в ответ следует записать только второй корень.

Задания для самостоятельной работы

Найти корни уравнения:

x — 1 2 + 2 x 3 = 5 x 6

x — 1 2 + 2 x 3 = 5 x 6

3 x — 3 + 4 x 6 = 5 x 6

Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5

x 2 — 3 x — 10 = 0

Вычислить корни уравнения:

33 + x 2 9 — x 2 + 7 + x x — 3 = — 2 + 4 — x x + 3

33 + x 2 9 — x 2 + 7 + x x — 3 = — 2 + 4 — x x + 3

— 33 — x 2 + ( 7 + x ) · ( x + 3 ) = — 2 ( x 2 — 9 ) + ( 4 — x ) · ( x — 3 )

Согласно ОДЗ, первый вариант решения не подходит:

Урок по алгебре для 8 класса «Решение дробных рациональных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ открытый урок.doc

МОУ «Ракитянская средняя общеобразовательная школа № 3

имени Н.Н. Федутенко»

«Решение дробных рациональных уравнений»

Тип урока: Закрепление знаний и способов действий

Формы работы: Парная, индивидуальная, групповая

Оборудование: 1. Презентация урока

2. Тексты заданий к проверке домашнего задания, работе

в группах, рефлекия

3. Оценочный лист

4. Открытки – мозаика

5. Отрывок песни «Русскому солдату»

Способствовать выработке умений и навыков решать дробные рациональные уравнения, созданию условий для взаимоконтроля, самоконтроля усвоения знаний и умений;

способствовать закреплению навыка решения линейных уравнений и квадратных уравнений по формуле;

применять приемы: обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;

содействовать воспитанию интереса к математике, активности, организованности, умения общаться, любви к родному краю.

Ребята, сегодня урок алгебры буду вести я. Меня зовут Светлана Николаевна. Я надеюсь, что урок пройдет в теплой дружеской атмосфере и мы, не смотря на все трудности, вместе добьемся цели.

«Уравнение – это золотой ключ,

открывающий все математические

И вы наверное поняли, чтобы проникнуть во все математические сезамы, необходимо научиться решать уравнения.

Ребята, тема урока «Дробные рациональные уравнения». Основными задачами являются:

1. Закрепление решения дробных рациональных уравнений, попутно повторить решение квадратных и линейных уравнений.

Я предлагаю следующую последовательность урока:

1. На этапе проверки домашнего задания проведем тестирование по теории и практике.

2. Актуализация знаний пройдет в форме фронтального опроса.

3. Затем Вас ожидает разноуровневая самостоятельная работа.

4. Итогом урока является оформление оценочного листа и выставление полученных Вами оценок.

Проверка домашнего задания.

Для проверки домашнего задания я предлагаю вам ТЕСТ, в котором вы проверите себя по основным правилам. (работа в парах). Каждой паре предлагается 1 задание. Букву правильного ответа вписываем на доске в таблицу.

Укажите правильный ответ на вопрос: «Из каких чисел можно извлечь точный квадратный корень?»

а) 64; 0,25; — 4; 7; 1.

Укажите квадратное уравнение, записанное в стандартном виде:

а) ах 2 + b х + с = 0;

б) b х + ах 2 + с = 0.

3. Назовите коэффициенты квадратного уравнения 5х 2 – 13х + 9 = 0

х) a = 5 , b = — 13 , c = 9

б) a = 5 , b = 9 , c = — 13

4. Правильно ли составлено уравнение, у которого первый коэффициент

3, второй коэффициент (- 5), свободный член 17:

5. Какое из уравнений является дробным рациональным:

а)

р) .

6. Каков общий знаменатель у дробей: и

а) (х + 2); б) (х – 2); н) (х + 2) (х – 2)

7. Какова область допустимых значений выражения

а) х б) х и х

8. Каковы корни уравнения х (х + 4) = 0

б) х = 0 и х = 4; я) х = 0 и х = — 4.

Задания при проверке показывают на экране.

Учащиеся работают в тетрадях. Получилось слово «Сахарная». Может кто –то знает эту улицу? Сейчас это улица Федутенко в поселке Ракитное -1 (Сахзавод), она получила это название в 1985 году к 40 –летию Победы в ВОВ, в честь Героя Советского Союза, летчицы, Надежды Никифоровны Федутенко, которая жила на этой улице, училась в нашей школе и в 2008 году школе присвоено ее имя. Я рассказала вам об этом не только потому, что я живу на этой улице, работаю в этой школе. А может вы скажите почему я об этом заговорила? Потому, что в этом году будет праздноваться 65 – летие Победы в ВОВ. Я очень хотела бы, чтобы вы об этом вспомнили и не забыли поздравить ветеранов, живущих рядом с вами..

Актуализация опорных знаний

Чтобы успешно справиться со следующим заданием давайте напомним алгоритм решения квадратных уравнений. (Фронтальный опрос)

Памятка для решения дробных рациональных уравнений

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Задать ОДЗ (область допустимых значений). Для этого приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.

Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

Найти дополнительные множители к дробям.

Решить получившееся целое уравнение.

Исключить из корней те, которые обращают общий знаменатель в нуль.

В. Для вычисления квадратов чисел от 10 до 99 какой таблицей будем пользоваться?

О. Таблицей квадратов натуральных чисел, которая находится на форзаце учебника

Работа в группах

У вас на столе находятся карточки с заданиями разных уровней: красный цвет – 5; зеленый – 4; желтый – 3. Вы выбираете сами себе уравнение. Решаете его самостоятельно. Можно в группе решить уравнение и другого уровня. Итог этой работы заключается в следующем: группой решить все уравнения и по ответам собрать свою мозаику. Приклеить ее на лист. Т.к. вы работаете в группах, то друг другу помогаете и по ответам, полученным при решении уравнений вы должны собрать мозаику, где обозначены пейзажи нашего поселка.

Карточка 1 (красная)

= =

Карточка 2 (зеленая)

а) = =

б) = =

Карточка 3 (желтая)

а) = =

б) = =

Домашнее задание: п.24, повторить п.21, № 595 (а) – 1вариант, (б) – 2 вариант, № 641 (а, б) по вариантам, № 665 *

(МУЗЫКА В РЕФЛЕКСИИ)

Какие фотографии у вас получились я прошу прикрепить их на доску. Подводя итог этой проделанной работе я хотела бы напомнить вам о той дате, которую мы будем праздновать 9 Мая и Желаю вам быть патриотами Родины и настоящими гражданами России.

Подведем итог своей деятельности.

Учащиеся подсчитывают количество баллов и поставьте оценку в оценочный лист. Эти листы сдается учителю.

Оценка «5» — от 8 баллов и выше

Оценка «4» — 7 баллов

Оценка «3» — 4 – 6 баллов

Урок подходит к концу. Спасибо огромное за работу. Мне было легко работать с вами. А что вы можете сказать об уроке, о вашем состоянии на уроке? Прошу найти на столе карточки с рефлексией и назвать одним предложением ваше настроение. Достигли ли мы целей урока, все ли было понятно, и т.д. (по 1 ученику от группы)

Я успеваю улыбнуться

Сколько слов и надежд

Давайте горевать и плакать откровенно

Ой, как хорошо, хоть песни пой

Доволен я своей судьбой

Неприятность эту мы переживём

Ах, зачем же этот день кончается

Не надо зла таить

Всё пока ещё в полном порядке

Кап-кап-кап из глаз на платье

Проверка домашнего задания

Работа по карточкам

Выбранный для просмотра документ презентация.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Тема урока «Решение дробных рациональных уравнений»

1. Проверка домашнего задания 1. Укажите правильный ответ на вопрос: «Из каких чисел можно извлечь точный квадратный корень?» а) 64; 0,25; — 4; 7; 1. с) 64; 0,25; 1. 2. Укажите квадратное уравнение, записанное в стандартном виде: а) ах2 + bх + с = 0; б) bх + ах2 + с = 0.

3. Выпишите коэффициенты квадратного уравнения 5х2 – 13х + 9 = 0 х) a = 5, b = — 13, c = 9 б) a = 5, b = 9, c = — 13 4. Правильно ли составлено уравнение, у которого первый коэффициент 3, второй коэффициент ( — 5), свободный член 17: б) — 5х2 + 3х + 17 = 0; а) 3х2 – 5х + 17 = 0

5. Какое из уравнений является дробным рациональным: а) р) . 6. Каков общий знаменатель у дробей: и а) (х + 2); б) (х – 2); н) (х + 2) (х – 2)

7. Какова область допустимых значений выражения а) х ≠ 0 б) х ≠ 0 и х ≠ 2 8. Каковы корни уравнения х (х + 4) = 0 б) х = 0 и х = 4; я) х = 0 и х = — 4.

АЛГОРИТМ Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Задать ОДЗ (область допустимых значений). Для этого приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. Найти дополнительные множители к дробям. Решить получившееся целое уравнение. Исключить из корней те, которые обращают общий знаменатель в нуль.

Групповая работа красный цвет – 5; зеленый – 4; желтый – 3.

Оценка знаний Оценка «5» — от 8 баллов и выше Оценка «4» — 7 баллов Оценка «3» — 4 – 6 баллов

Рефлексия Я успеваю улыбнуться Сколько слов и надежд Давайте горевать и плакать откровенно Ой, как хорошо, хоть песни пой Доволен я своей судьбой Неприятность эту мы переживём Ах, зачем же этот день кончается Не надо зла таить Всё пока ещё в полном порядке Кап-кап-кап из глаз на платье

Пожелания друзьям Желаю вам цвести, расти, Копить, крепить здоровье, Оно для дальнего пути Главнейшее условие. Пусть каждый день и каждый час Вам новое добудет, Пусть добрым будет ум у вас, И сердце умным будет. Вам от души желаю я, Друзья, всего хорошего. А все хорошее, друзья, Дается нам недешево. С. Маршак

Краткое описание документа:

«Описание материала:

Данный урок дает возможность вовлечения каждого учащегося в активный познавательный процесс, обучение каждого учащегося на уровне его возможностей и способностей и применение на практике различными группами учащихся приобретенных знаний.Мы начали изучение главы «Квадратные уравнения», изучили в этой главе определение квадратного уравнения, неполные квадратные уравнения, научились решать квадратные уравнения с применением формул корней квадратного уравнения, Теоремы Виета и 3 урок учимся решать дробные рациональные уравнения.

Эпиграф урока настроил учащихся на рабочий лад, ребятам объяснен ход проведения урока. Работа учащихся оценивалась в количественном балле, которые выставлялись в оценочные листы в течение всего урока. Проверка домашнего задания осуществлялась в форме тестов (парная форма работы) (задания всем предоставлены индивидуальные). Актуализация опорных знаний была проведена в форме устного опроса по памяткам решения дробных рациональных уравнений. Закрепление знаний, умений и навыков учащихся проводится в групповой форме. Учащимся были предложены дифференцированные задания, они выбирали себе их самостоятельно.

Если правильно решены уравнения, то по ответам получается пейзаж поселка Ракитное. (Реализация цели: любовь к родному краю). На этапе подведения итогов урока учащиеся сами оценили свой труд на уроке (шкала перевода баллов была представлена в презентации). В оценочный лист выставлены оценки.

Весь материал урока работал на главную цель урока: