Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения
Дробно-рациональные уравнения – уравнения, которые можно свести к виду \(\frac
Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе. Пример не дробно-рациональных уравнений: Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным. Алгоритм решения дробно-рационального уравнения: Выпишите и «решите» ОДЗ. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут. Запишите уравнение, не раскрывая скобок. Решите полученное уравнение. Проверьте найденные корни с ОДЗ. Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7. Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам. Пример. Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac Сначала записываем и «решаем» ОДЗ. По формуле сокращенного умножения : \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Значит, общий знаменатель дробей будет \((x-2)(x+2)\). Умножаем каждый член уравнения на \((x-2)(x+2)\). Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение. Приводим подобные слагаемые Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ \(x≠2\). Значит первый корень — посторонний. В ответ записываем только второй. Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения \(\frac Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем квадратный трехчлен \(x^2+7x+10\) на множители по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение. Приводим подобные слагаемые Находим корни уравнения Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень. Разделы: Математика Класс: 8 Цели урока: Тип урока: урок – объяснение нового материала. Ход урока 1. Организационный момент. Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему? Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений». 2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом. А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы: 3. Объяснение нового материала. Решить в тетрадях и на доске уравнение №2. Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5). х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6 х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8 Решить в тетрадях и на доске уравнение №4. Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6). Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов. Содержание: два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют. Так, например, равносильными будут уравнения Уравнения — не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9. Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения. 1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному; 2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному; 3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному. Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями. Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями. В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным. Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе. Напомним, что когда Решите уравнение Решение: С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду где и — целые рациональные выражения. Имеем: Окончательно получим уравнение: Чтобы дробь равнялась нулю, нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю. Тогда откуда При знаменатель Следовательно, — единственный корень уравнения. Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так: Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно: 1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду 2) приравнять числитель к нулю и решить полученное целое уравнение; 3) исключить из его корней те, при которых знаменатель равен нулю, и записать ответ. Если то где Решите уравнение Решение: Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Имеем: то есть ОДЗ переменной содержит все числа, кроме 1 и 2. Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: получив пропорцию: По основному свойству пропорции имеем: Решим это уравнение: откуда Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем. Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так: Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно: 1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении; 2) привести уравнение к виду 3) записать целое уравнение и решить его; 4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ. Решите уравнение Решение: Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители: Областью допустимых значений переменной будут те значения при которых то есть все значения кроме чисел А простейшим общим знаменателем будет выражение Умножим обе части уравнения на это выражение: Получим: а после упрощения: то есть откуда или Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем. Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12. Решая дробное рациональное уравнение, можно: 3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель; 4) решить полученное целое уравнение; 5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ. Являются ли равносильными уравнения Решение: Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений. Первое уравнение имеет единственный корень а второе — два корня (решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными. Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению: где — натуральное число, В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: кг. Как понимать смысл записи Рассмотрим степени числа 3 с показателями — это соответственно В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим: Число должно быть втрое меньше числа равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Равенство справедливо для любого основания при условии, что Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть при Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа записано число Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно Следовательно, Рассуждая аналогично получаем: и т. д. Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем: если натуральное число, то http://urok.1sept.ru/articles/559882 http://www.evkova.org/ratsionalnyie-uravneniya\) \(=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — выражения с иксом (или другой переменной).
Как решаются дробно-рациональные уравнения?
Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс
Рациональные уравнения с примерами решения
Рациональные уравнения. Равносильные уравнения
Применение условия равенства дроби нулю
Пример №202
Использование основного свойства пропорции
Пример №203
Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей
Пример №204
Пример №205
Степень с целым показателем