Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.
С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2
В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)
Решить систему уравнений
Немного теории.
Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\< \begin
Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Пара (1;4) — решение системы
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
Решение систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\< \begin
Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \( x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \( 11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\( -3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \( x=11; y=-9 \) или \( (11; -9) \)
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Урок алгебры в 8-м классе по теме «Метод подстановки»
Разделы: Математика
Образовательная: формирование навыков решения дробно-рациональных уравнений методом подстановки.
Развивающая: развитие памяти, любознательности, познавательного интереса учащихся, умения преодолевать трудности при решении задач.
Воспитательная: воспитание аккуратности, наблюдательности, настойчивости в учёбе, умения видеть красивое и удивительное вокруг нас.
1) таблицы «Этапы решения уравнения»; «Схема решения биквадратного уравнения»;
2) плакат со словами В. Гюго о математике и поэзии: «Дух человеческий открывается тремя ключами: это – число, буква, нота»;
3) карточки с заданием для самостоятельной работы;
4) карточки для блиц-опроса;
5) ключи из картона, на которых написаны методы решения дробно-рациональных уравнений.
I. Ознакомление с темой урока, постановка цели.
— Сегодня на уроке мы продолжаем знакомиться с техникой решения дробных рациональных уравнений. Какие методы решения дробных рациональных уравнений вам известны?
— Итак, ребята, в наших руках теперь есть «связка ключей» к решению уравнений, содержащих переменную в знаменателе [1].
Ключ 1. Условие равенства дроби нулю.
Ключ 2. Условие равенства двух дробей с одинаковыми знаменателями.
Ключ 3. Критерий равенства двух дробей или основное свойство пропорции.
Ключ 4. Свойство равенства.
— У кого любимый «ключ» 1, 2, 3, 4?
А кто применяет разные «ключи» в зависимости от ситуации?
II. Проверка домашнего задания.
— Проверим домашнее задание. Дома необходимо было решить уравнение, используя все названные методы. Ответ: х=0.
— Прежде, чем расстаться с данным уравнением, хочу обратить внимание на одну его особенность. При любом способе решения вы переходили от дробного уравнения к целому уравнению . Как вы считаете, равносильны ли данные уравнения? (Нет!)
— Почему? (Корни целого уравнения х=0 и х=2. Но х=2 не является корнем дробного уравнения).
— То есть, дробные уравнения надо решать с осторожностью.
III. Изучение нового материала.
Напомню, что, как и решение любой задачи, решение уравнения состоит из ряда этапов.
Этапы решения уравнения.
- Анализ уравнения.
- Составление плана решения.
- Реализация этого плана.
- Проверка решения.
- Анализ метода решения и систематизация опыта.
— Итак, проанализируем уравнение. Прежде всего, отвечаем на вопрос, встречались ли мы с уравнениями такого вида ранее? (Да! Встречались! Это дробное рациональное уравнение).
— Известны ли методы решения дробно-рациональных уравнений? (Да! Известны! У нас есть связка ключей).
— Какой ключ надо использовать?
— Вывод! Если перебрать все ключи к решению дробно-рациональных уравнений, то окажется, что все они приведут к достаточно громоздкому целому уравнению. В нём будут слагаемые, содержащие от первой до четвёртой степени х! Такие громоздкие уравнения мы пока не решали. Можно попытаться всё-таки найти решение этого «тяжёлого» уравнения, а можно вернуться к исходному уравнению и ещё раз проанализировать его.
Попытайтесь выделить некоторые элементы уравнения, установить общие свойства у этих элементов, т. е. найти ещё один «ключ» к решению дробно-рациональных уравнений.
— Верно! Числители и знаменатели содержат выражение . Чтобы сделать структуру уравнения более обозримой, заменим выражение одной буквой, например, буквой t.
— Говорят, что произведена замена переменной.
Как вы считаете, целесообразна ли такая замена? Удастся ли решить новое уравнение? Удастся ли найти х по t? Попробуйте решить это уравнение (желающий ученик работает у доски).
или
Вернёмся к исходной переменной.
— Итак, мы решили уравнение методом замены переменной. В нашей связке появился ещё один «ключ». При этом мы действовали так:
- Выделили выражение в уравнении и обозначили его буквой t.
- Выполнили подстановку, получив при этом более простое уравнение относительно t.
- Нашли корни нового уравнения.
- Вернулись к «старой» переменной и получили два уравнения, решив которые нашли корни исходного уравнения.
— Нет ли других замен переменных, позволяющих решить данное уравнение? (Есть).
IV. Домашнее задание:
1) решить уравнение, используя метод подстановки:
Решить уравнение с помощью той подстановки, которая вам представляется более рациональной.
2) А можете ли вы подобрать замену в решении такого уравнения?
V. «Пора отвлечься!»
(решение нестандартной задачи «Замок с секретом» объясняет заранее подготовленный ученик).
Замок с секретом.
В одном учреждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскивался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться, нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определённое слово. Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробовать все комбинации букв в кружках. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени. Можно ли надеться, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней?
Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробовать. Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно 36х36=36І.
К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую букву из третьего кружка. Поэтому трёхбуквенных комбинаций возможно 36Іх36=36і. Таким же образом определяем, что четырёхбуквенных комбинаций может быть 36іх36 , а пятибуквенных 36іх36І. , или 60466176, чтобы составить эти 60.000.000 с лишним комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую, 3х60.466.176=181.398.328 секунд. Это составляет более 50.000 часов, или почти 6.300 восьмичасовых рабочих дней–более 20 лет.
Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течение ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6.300, или 1 из 630. Эта очень малая вероятность.
VI. Обобщение нового материала.
— Ребята! Мы рассмотрели, как применяется метод замены переменной на примере решения конкретного уравнения.
В математике существуют целые классы уравнений, которые можно решать с помощью данного метода [2].
Например: биквадратные уравнения.
При анализе выделяются 2 элемента и . Связь между ними проста: . Поэтому напрашивается замена .
Уравнение после замены принимает вид .
Изобразим схематично этапы решения такого уравнения
Можно ли решить уравнение , применяя подстановку ?
Самостоятельная работа на карточках с заданием.
VIII. Итоги урока.
Блиц-опрос. Ученики по очереди подходят к столу учителя, берут карточку и отвечают на вопрос.
IX. Заключительное слово учителя.
Спасибо за урок! Желаю, чтобы связка «ключей» пополнялась по мере изучения математики! Как сказал В. Гюго, «дух человеческий открывается тремя ключами: это – число, буква, нота».
- Алгебраические дроби/ Э.Г. Гельфман, Л.М. Алфутова, М.С. Бухтяк и др. – Томск: Изд-во Томского университета, 2000. – 240 с.
- Квадратные уравнения/ Э.Г. Гельфман, Ю.Ю. Вольфенгаут, И.Э. Гриншпон и др. – Томск: Изд-во Томского университета, 1999. – 248 с.
- Ю.Н. Макарычев и др. Алгебра, 8 кл. – М.: Просвещение, 2001-2004.
Системы уравнений
Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:
x — 4y = 2 | |
3x — 2y = 16 |
Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.
Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.
Способ подстановки
Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.
Рассмотрим решение системы уравнений:
x — 4y = 2 | |
3x — 2y = 16 |
Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:
Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:
3x | — 2y = 16; |
3( 2 + 4y ) | — 2y = 16. |
Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.
3(2 + 4y) — 2y = 16; |
6 + 12y — 2y = 16; |
6 + 10y = 16; |
10y = 16 — 6; |
10y = 10; |
y = 10 : 10; |
y = 1. |
Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:
x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.
Способ сравнения
Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.
Например, для решение системы:
x — 4y = 2 | |
3x — 2y = 16 |
найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):
x — 4y = 2 | 3x — 2y = 16 |
-4y = 2 — x | -2y = 16 — 3x |
y = (2 — x) : — 4 | y = (16 — 3x) : -2 |
Составляем из полученных выражений уравнение:
2 — x | = | 16 — 3x |
-4 | -2 |
Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:
| ||||||
2 — x = 32 — 6x | ||||||
—x + 6x = 32 — 2 | ||||||
5x = 30 | ||||||
x = 30 : 5 | ||||||
x = 6 |
Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:
x — 4y = 2 | 3x — 2y = 16 |
6 — 4y = 2 | 3 · 6 — 2y = 16 |
-4y = 2 — 6 | -2y = 16 — 18 |
-4y = -4 | -2y = -2 |
y = 1 | y = 1 |
Способ сложения или вычитания
Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.
x — 4y = 2 | |
3x — 2y = 16 |
Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:
x — 4y = 2 | |
-6x + 4y = -32 |
Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
+ | x — 4y = 2 |
-6x + 4y = -32 | |
-5x = -30 |
Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.
Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.
Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:
(x — 4y) · 3 = 2 · 3
3x — 12y = 6 | |
3x — 2y = 16 |
Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
— | 3x — 12y = 6 |
3x — 2y = 16 | |
-10y = -10 |
Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:
3x — 2y = 16 |
3x — 2 · 1 = 16 |
3x — 2 = 16 |
3x = 16 + 2 |
3x = 18 |
x = 18 : 3 |
x = 6 |
Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:
Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.
http://urok.1sept.ru/articles/506563
http://izamorfix.ru/matematika/algebra/sistema_uravn.html