Разработка урока алгебры в 8-м классе по теме «Решение уравнений методом замены переменной»
Разделы: Математика
Класс: 8.
Программа: для общеобразовательных учреждений, п/р А.Г. Мордковича.
Учебник: Алгебра 8, автор А.Г. Мордкович.
Тип урока: ознакомление с новым материалом.
Цели урока: сформировать умение решать уравнения, приводимые к квадратным, путем введения новой переменной, повторить способы решения неполных квадратных уравнений, формулы сокращенного умножения
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, индивидуальные доски, маркеры по доске.
Раздаточный материал: карточки с заданием для самостоятельной работы.
Ход урока
1. Оргмомент.
2. Сообщение темы урока и целей урока.
— Мы должны сегодня изучить новый метод решения уравнений. Он широко применяется при решении многих типов уравнений, которые мы будем изучать в старших классах. А сегодня мы рассмотрим, как применить его при решении уравнений, которые можно свести к квадратным. Что это за способ, вы узнаете немного позже, а сейчас проверим домашнее задание.
3. Проверка домашнего задания: (Приложение 1)
4. Подготовка к изучению нового материала (работа устно).
У каждого учащегося есть индивидуальная маркерная доска, на которой он пишет ответ на задание, появляющееся на экране.
— А сейчас вспомним то, что вы изучали раньше. (Приложение 1)
Слайд 4 Решить уравнение:
х 2 = 16 2х 2 = 50
х 2 + 9 = 0 х 3 — 4х = 0
Слайд 5 Разложить на множители:
- а 2 — 36 =
- 3в 2 — 12 =
- х 2 — 10х + 25 =
- х 3 — 49х =
Раскрыть скобки:
- (х 2 + 3х ) 2 =
- (7 — х 2 ) 2 =
- — (3х — 5у ) 2 =
5. Изучение нового материала.
— Сейчас попробуйте решить это уравнение:
Слайд 6 (х 2 — 3 ) 2 + 5 (х 2 — 3 ) + 6 = 0 (Проблема)
— Как? Если, как мы обычно делали, раскрывать скобки, то получится уравнение четвертой степени (вспомните устные упражнения ), а их мы решать не умеем. Значит, надо искать другие методы. Посмотрите внимательнее на это уравнение. Ничего необычного не замечаете?
Чаще всего, дети догадываются, что в уравнении встречается повторяющееся выражение.
— Мы всегда старались все упростить. И теперь давайте попробуем это сделать: заменим выражение х 2 — 3 какой-нибудь буквой, например, t , Посмотрите, что получили?
D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1
— Но мы нашли только t , нам нужно найти х. Что делать дальше ?
— Вы узнали новый метод решения уравнений, который называется » замена переменной». Это и есть тема нашего урока. Запишите. Слайд 8
— Итак, давайте попробуем сформулировать алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.
— Посмотрите решение еще одного примера.
— А сейчас в тетради решим подобные уравнения и поучимся оформлять их решение.
Пример 1 (3х — 4 ) 2 — 5(3х — 4 ) + 6 = 0
Сделаем замену переменной. Пусть 3х — 4 = t, получим
D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1
Вернемся к замене.
1) 3х — 4 = 3
2) 3х — 4 = 2 Ответ:
; 2.
Пример 2 2(х 2 + 3 ) 2 — 7 (х 2 + 3) 2 = — 3
Сделаем замену переменной. Пусть х 2 + 3 = t, получим
D = b 2 — 4ac = 49 — 24 = 25
Вернемся к замене:
1) х 2 + 3 = 3 х = 0
2) х 2 + 3 = х 2 =
нет корней
6. Закрепление изученного материала.
— Сейчас решите из учебника № 26.22 б ; 26.23 а.в ; дополнительно 26.25.
7. Подведение итогов и задание на дом.
— Что нового вы узнали на уроке?
— Каков алгоритм решения уравнений методом замены переменной?
— Ваше домашнее задание на экране.
— На следующем уроке вы узнаете, что такое биквадратные уравнения и научитесь их решать. А сейчас проверим. как вы научились решать уравнения методом замены переменной. У каждого есть карточка с заданием. Если у вас останется время, дополнительное задание на экране. Желаю успеха!
8. Самостоятельная работа. (Приложение 2)
Вариант 1 Вариант 2 Решить уравнения: 1) (х — 5 ) 2 — 2 (х — 5 ) = 8
2) (х 2 — 8 ) 2 + 3 (х 2 — 8 ) 2 — 4 = 0
Решить уравнения: 1) (2х + 3 ) 2 — 4 (2х + 3 ) = 5
2) (х 2 + х ) 2 — 11 (х 2 + х ) = 12
Вариант 3 Вариант 4 Решить уравнения: 1) (х 2 — 2х ) 2 + (х 2 — 2х ) = 12
2) (х 2 + 2 ) 2 — 5 (х 2 + 2 ) — 6 = 0
Решить уравнения: 1) (х 2 — х ) 2 — 8 (х 2 — х ) + 12 = 0
2) (х 2 — 1 ) 2 + 2 (х 2 — 1 ) = 15
Дополнительно.
- (х 2 + 4х )( х 2 + 4х — 17 ) + 60 = 0
- (х 2 — 5х )( х 2 — 5х + 10 ) = — 24
Конспект открытого урока по математике на тему «Решение рациональных уравнений при помощи замены неизвестного»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
ГКОУ РД «Арадинская СОШ Хунзахского района им. Галбацова Г.К.»
учитель математики Лабазанова Бика Мирзабеговна
Конспект урока: Решение рациональных уравнений при помощи замены неизвестного
Класс: 8класс алгебра. Автор С.М. Никольский
Необходимое оборудование : доска, компьютер, проектор, раздаточные материалы
Цель урока: закрепить умения решать уравнения способом замены неизвестного.
1. Оргмомент – 5 минут
2. Решение биквадратных уравнений – 7 минут
3. Презентация замены неизвестного при решении уравнений – 8 минут
4. Физкультминутка – 2 минуты
5. Работа в группах – 20 минут
6. Подведение итогов – 3 минуты
2. Устная работа
А) Что называется уравнением?
В) Что такое корень уравнения?
С) Что значит решить уравнение?
Д) Виды уравнений( квадратные , биквадратные, распадающиеся, уравнение одна часть которого алгебраическая дробь, другая –нуль, рациональные уравнения)
— Как решить линейное уравнение? (Все слагаемые с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
— Как решить квадратное уравнение? (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
2) Если надо решить биквадратное уравнение ах 4 + bx 2 + c =0, то вводим новую неизвестную, например, y = x 2 , получаем квадратное уравнение: ay 2 + by + c =0. Решив это уравнение, найдем корни y 1 и y 2 . Чтобы найти корни исходного уравнения, т.е. x 1 и x 2 , надо решить два уравнения 1) x 2 = y 1 и 2) x 2 = y 2 .
3. Обьяснение новой темы
Пример 1. Решим уравнение
( x 2 + x – 1) (2 x 2 +2 x + 3) – 7(1 – x – x 2 ) = 110 (1)
Раскрытие скобок приведет к уравнению четвертой степени, упростить решение помогает замена неизвестного.
Введем новое неизвестное t = x 2 + x – 1, тогда 2 x 2 +2 x + 3 = 2 ( x 2 + x – 1) +5,
1 – x – x 2 = — ( x 2 + x – 1) = — t . Поэтому уравнение (1) перепишется в виде:t (2 t + 5) + 7 t = 110 или 2 t 2 + 12 t – 110 = 0
Это уравнение имеет два корня t 1 = 5, t 2 = — 11
Поэтому корнями уравнения (1) являются корни двух уравнений:
1) x 2 + x – 1 = 5 и 2) x 2 + x – 1 = — 11
Решив каждое из уравнений 1) и 2), найдем все корни уравнения (1): x 1 = -3, x 2 = 2.
Пример 2. Решим уравнение
( x + 3) ( x – 5) ( x + 2) ( x – 4) = 60 (2) [2, 18]
Раскрытие скобок приведет к уравнению четвертой степени, упростить решение помогает замена неизвестного. Но сначала в левой части уравнения умножим первый множитель на второй и третий на четвертый, потому что суммы свободных членов этих многочленов в каждой паре одинаковы: 3 + (- 5) = 2 + (-4), получим равносильное уравнение
( x 2 — 2 x – 15) ( x 2 — 2 x – 8) = 60.
Введем новое неизвестное t = x 2 — 2 x – 15, тогда x 2 — 2 x — 8 = t + 7, поэтому уравнение перепишется в виде
t ( t + 7) = 60 или t 2 + 7 t – 60 = 0
Это уравнение имеет два корня t 1 = 5, t 2 = — 12
Поэтому корнями уравнения (2) являются корни двух уравнений:
1) x 2 — 2 x – 15 = 5 и 2) x 2 — 2 x – 15 = — 12
Решив каждое из уравнений 1) и 2), найдем все корни уравнения (2): x 1 = 1 —
Ответ. x 1 =1 —
А теперь перейдем к решению более сложных задач .Двое работают у доски, остальные в группах по четыре человека.
Задания для работающих у доски:
1 задание. Решите уравнение x 5 – 9 x 3 + 20 x = 0. Указание: вынесите x за скобки.
2 задание. Решите уравнение ( x 2 – 5 x ) ( x 2 – 5 x + 10) + 24 = 0. Указание: введите новое неизвестное x 2 – 5 x = t .
4. Закрепление нового материала
Задания для работы в группах:
1 задание. Решите уравнение ( x – 2) 2 ( x 2 – 4 x + 3) = 12. Указание: выражение в первых скобках возведите в квадрат.
2 задание. Решите уравнение ( x 2 – 7 x + 13) 2 – ( x – 3) ( x – 4) = 1. Указание: перемножьте выражения в скобках ( x – 3) ( x – 4).
Итак, сегодня на уроке мы с вами решали уравнения, используя метод замены неизвестного. Учебно-методическая газета “Математика” выходит под девизом: “Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием”, а вот для меня большая радость, если все, чему вы научились на уроках, можете использовать на экзаменах.
Урок 1. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Алгебра 8 класс.
Решение уравнений, приводящихся к квадратным. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Какое уравнение является биквадратным. Определение биквадратного уравнения. Как решать биквадратное уравнение. Как найти корни биквадратного уравнения. Уравнения, приводящиеся к квадратным путем замены переменной. Квадратные уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.
Урок 2. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Алгебра 8 класс.
Биквадратные уравнения. Уравнения 4-й степени. Замена переменной в уравнениях. Решение уравнений, приводящихся к квадратным, путем замены переменной. Какое уравнение является биквадратным. Определение биквадратного уравнения. Как решать биквадратное уравнение. Как найти корни биквадратного уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.
Урок 3. Замена переменной. Решение уравнений, приводящихся к квадратным. Алгебра 8 класс.
Решение уравнений, приводящихся к квадратным путем замены. Алгебра 8 класс. Замена переменной в уравнениях. Примеры с решением.
Урок 4. Замена переменной в уравнениях, приводящихся к квадратным.
Решение уравнений, приводящихся к квадратным путем замены. Алгебра 8 класс. Замена переменной в уравнениях. Примеры с решением.
Пример 1: Решите уравнение методом замены переменной:
Если необходимо решить уравнение вида (x+A)(x+B)(x+C)(x+D) = m где А, В, С, D и m — некоторые константы, то группируем попарно скобки таким образом, чтобы была равна сумма констант, входящих в эти скобки.
Например, если А+D = В+C, то записываем: (x+A)(x+D)(x+B)(x+C) = m
- Попарно раскрываем скобки: (x2+Ax+Dх + AD)(x2+Bx+Cх +DC) = m (x2+(A+D)х + AD)(x2+(B+C)х + DC) = m
- Делаем замену x2+(A+D)х = t Получаем уравнение (t + AD)(t + DC) = m
- После раскрытия скобок получим обычное квадратное уравнение.
Урок 5. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены.
Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в дробно-рациональном уравнении? Решение рационального уравнения заменой. Обратные числа. Какие числа называются взаимно обратными? Взаимно-обратные дроби. Как правильно сделать замену взаимно-обратных дробей. Примеры с решением. Задания с объяснением.
Урок 6. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной. Алгебра 8 класс.
Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Задания с *. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в дробно-рациональном уравнении? Как правильно возвести в квадрат при замене переменной. Как определить что заменять и какую замену делать. Решение рационального уравнения заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением.
Урок 7. Решение уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную?
Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную? Задания с *. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в рациональном уравнении? Уравнения 4-й степени. Понизить степень уравнения, сделав замену. Как определить что заменять и какую замену делать. Решение рационального уравнения заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением.
Урок 8. Замена переменной. Решение уравнений. Однородные уравнения.
Однородные уравнения второй степени. Определение однородного уравнения. Методы решения однородных уравнений. Как понять, что уравнение однородное. Решение однородных уравнений методом замены переменной. Решение уравнений методом замены переменной. Решить уравнение. Решить заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением. Алгебра 8 класс.
источники:http://infourok.ru/konspekt-otkrytogo-uroka-po-matematike-na-temu-reshenie-racionalnyh-uravnenij-pri-pomoshi-zameny-neizvestnogo-4985607.html
http://math.xfresh.info/index.php/8-klass/algebra-8-klass/50-zamena
; 2.
, x 2 = 1 +