Решение сду через характеристическое уравнение называется

Системы дифференциальных уравнений

Этот раздел мы решили посвятить решению систем дифференциальных уравнений простейшего вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , в которых a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 — некоторые действительные числа. Наиболее эффективным для решения таких систем уравнений является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме.

Решением системы дифференциальных уравнений будет являться пара функций x ( t ) и y ( t ) , которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.

Рассмотрим метод интегрирования системы ДУ d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Выразим х из 2 -го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию x ( t ) из 1 -го уравнения:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t — b 2 y — c 2

Выполним дифференцирование 2 -го уравнения по t и разрешим его уравнение относительно d x d t :

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 — b 2 d y d t

Теперь подставим результат предыдущих вычислений в 1 -е уравнение системы:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 — b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t — b 2 y — c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 — ( a 1 + b 2 ) · d y d t + ( a 1 · b 2 — a 2 · b 1 ) · y = a 2 · c 1 — a 1 · c 2

Так мы исключили неизвестную функцию x ( t ) и получили линейное неоднородное ДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения y ( t ) и подставим его во 2 -е уравнение системы. Найдем x ( t ) . Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.

Найдите решение системы дифференциальных уравнений d x d t = x — 1 d y d t = x + 2 y — 3

Начнем с первого уравнения системы. Разрешим его относительно x :

x = d y d t — 2 y + 3

Теперь выполним дифференцирование 2 -го уравнения системы, после чего разрешим его относительно d x d t : d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 — 2 d y d t

Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в 1 -е уравнение системы ДУ:

d x d t = x — 1 d 2 y d t 2 — 2 d y d t = d y d t — 2 y + 3 — 1 d 2 y d t 2 — 3 d y d t + 2 y = 2

В результате преобразований мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами d 2 y d t 2 — 3 d y d t + 2 y = 2 . Если мы найдем его общее решение, то получим функцию y ( t ) .

Общее решение соответствующего ЛОДУ y 0 мы можем найти путем вычислений корней характеристического уравнения k 2 — 3 k + 2 = 0 :

D = 3 2 — 4 · 2 = 1 k 1 = 3 — 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Теперь найдем частное решение линейного неоднородного ДУ y

d 2 y d t 2 — 3 d y d t + 2 y = 2

Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде y

= A , где А – это неопределенный коэффициент.

Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства d 2 y

= 2 :
d 2 ( A ) d t 2 — 3 d ( A ) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Таким образом, y

= 1 и y ( t ) = y 0 + y

= C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Одну неизвестную функцию мы нашли.

Теперь подставим найденную функцию во 2 -е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно x ( t ) :
d ( C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 ) d t = x + 2 · ( C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 ) — 3 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t — 1 x = — C 1 · e t + 1

Так мы вычислили вторую неизвестную функцию x ( t ) = — C 1 · e t + 1 .

Ответ: x ( t ) = — C 1 · e t + 1 y ( t ) = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

Филипп Лыкошин 5 лет назад Просмотров:

1 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается что число равно числу неизвестных функций Например система двух первого имеет вид: d dz f( z 0 d d d dz f( z 0 d d Решение этой состоит в нахождении функций ( и z z( удовлетворяющих обоим уравнениям нормальной (НСДУ Нормальной системой называется система первого разрешённых относительно производной: f( ; f ( ; f ( где х независимая переменная ( неизвестные функции ( решения Решением называется совокупность функций ( удовлетворяющих каждому уравнению этой частного решения Частным решением СДУ называется решение удовлетворяющее заданным начальным условиям: ( 0 0 ( 0 0 ( 0 0 где заданные постоянные числа

2 Метод исключения неизвестных решения НСДУ Теорема о связи дифференциального уравнения -го с нормальной СДУ Одно дифференциальное уравнение -го разрешённое относительно старшей ( ( производной: f ( всегда можно свести к нормальной системе Теорема о связи дифференциального уравнения -го с нормальной СДУ Нормальную систему можно привести методом исключения неизвестных к одному уравнению порядок которого меньше или равен числу нормальной Алгоритм применения метода исключения неизвестных Дифференцируем первое уравнение по переменной х: ( f + ( f + ( f + + ( f Производные в правой части этого равенства заменяем их выражениями из НСДУ Получим уравнение F ( ( ( F + ( F + ( F + + ( F Производные в правой части этого равенства заменяем их выражениями из НСДУ Получим уравнение F 3( И так далее ( F ( Полученные таким образом дифференциальные уравнения объединяем в систему: f( F ( F3 ( ( F ( Первые решаем относительно переменных ( выражая их через переменные Подставляя полученные выражения в последнее уравнение придём к уравнению относительно одной неизвестной

3 Замечание Порядок последнего уравнения может быть меньше если при его получении были использованы не все уравнения Метод выделения интегрируемых комбинаций Получают из такие уравнения которые можно проинтегрировать и найти первый интеграл Если найдены независимых первых интегралов НСДУ то их совокупность дает общий интеграл этой Для выделения интегрируемых комбинаций из НСДУ её записывают в так называемой симметрической форме: d d d d f( f ( f ( и используют следующее свойство равных дробей: если u u u γ v v v то при любых имеет место соотношение u + u + + u γ ( v + v + + v Значения подбираются таким образом чтобы числитель в ( был полным дифференциалом знаменателя или же числитель и знаменатель были равны нулю Нормальная линейная однородная система -го (НЛОС Тип Нормальная линейная однородная система -го (НЛОС Вид Коэффициенты линейных комбинаций искомых функций зависят от аргумента Признак Уравнения записаны явно относительно первых производных; правые части представляют собой линейные комбинации искомых функций Метод решения Метод исключения неизвестных (см НСДУ Фундаментальной системой решений НЛОС называется совокупность произвольных линейно независимых решений ( ( ( ( Y ( ( ( ( Если Y фундаментальная система частных решений ЛОС то общее решение имеет вид Y C Y где C C C произвольные постоянные

4 Нормальная линейная однородная система -го с постоянными коэффициентами Тип Вид Признак + Нормальная линейная однородная система -го с постоянными коэффициента ми + + Коэффициенты линейных комбинаций искомых функций постоянны a a a A a a a a a a А матрица из коэффициентов при искомых функциях Уравнения записаны явно относительно первых производных; правые части представляют собой линейные комбинации искомых функций Метод решения Матричный метод Из характеристического уравнения det( A λ E 0 находят различные корни λ λ и для каждого корня λ (с учетом его кратности определяют соответствующее ему частное решение ( Y λ Общее решение имеет вид ( λ Y CY При этом если а λ действительный корень кратности (один то ( λ ξ ( λ ( λ ( λ λ ξ λ Y Y e e ( λ ξ (λ где Y собственный вектор матрицы A соответствующий собственному значению λ то есть ( λ AY ( λ ( λ λy Y 0 Если б λ комплексный корень кратности (один тогда корнем характеристического уравнения является также сопряженное с λ число λ Вместо комплексных частных ( решений Y λ ( и Y λ следует взять действительные частные решения ( λ ( λ Y ReY ( ( λ ( λ и Y ImY λ s

5 Если в λ корень кратности r то соответствующее этому корню решение ищут в виде вектора ( ( ( r r ( ( ( r r ( λ λ Y ( e ( коэффициенты которого ( ( ( r r ( j i i j r определяются из линейных получающихся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях в результате подстановки вектора ( в исходную систему План решения нормальной линейной однородной (НЛО СДУ с постоянными коэффициентами Составить характеристическое уравнение det( A λ E 0 ; Найти собственные числа λ λ λs и соответствующие им собственные векторы Y Y Ys ; 3 Составить фундаментальную систему частных решений Y ( λ 4 Составить общее решение Y C Y ( λ ξ i λ ξ i λi Yi e e i ; ξ 5 Для решения задачи Коши использовать данные начальные условия в соответствии с которыми найти значения произвольных постоянных C ; 6 Записать частное решение подставив в общее решение найденные значения произвольных постоянных нормальной линейной неоднородной СДУ Нормальной линейной неоднородной СДУ называется система ДУ называется система где по крайней мере одна из функций f ( не равна тождественно нулю ( : + + f f Замечание В силу теорем о связи нормальных систем ДУ с линейными ДУ го теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши о структуре общего решения однородных и неоднородных ДУ остаются справедливыми и для нормальных систем + f