Решение симметричных систем линейных уравнений

Симметрические системы уравнений и системы, содержащие однородные уравнения

Разделы: Математика

Цели урока:

• образовательная: обучение решению систем уравнений, содержащих однородное уравнение, симметрических систем уравнений;
• развивающая: развитие мышления, внимания, памяти, умения выделять главное;
• воспитательная: развитие коммуникативных навыков.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Используемые технологии обучения:

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

За неделю до урока учащиеся получают темы творческих заданий (по вариантам).
I вариант. Симметрические системы уравнений. Способы решения.
II вариант. Системы, содержащие однородное уравнение. Способы решения.

Каждый ученик, используя дополнительную учебную литературу, должен найти соответствующий учебный материал, подобрать систему уравнений и решить её.
По одному учащемуся от каждого варианта создают мультимедийные презентации по теме творческого задания. Учитель при необходимости проводит консультации для учащихся.

Содержание урока

I. Мотивация учебной деятельности учащихся

Вступительное слово учителя
На предыдущем уроке мы рассматривали решение систем уравнений методом замены неизвестных. Общего правила выбора новых переменных не существует. Однако, можно выделить два вида систем уравнений, когда есть разумный выбор переменных:

• симметрические системы уравнений;
• системы уравнений, одно из которых однородное.

II. Изучение нового материала

Учащиеся II варианта отчитываются о проделанной домашней работе.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Системы, содержащие однородное уравнение» (презентация 1).

Учащиеся записывают в тетради:

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся II варианта объясняет соседу по парте решение системы, содержащей однородное уравнение.

Отчёт учащихся I варианта.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Симметрические системы уравнений» (презентация 2).

Учащиеся записывают в тетради:

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся I варианта объясняет соседу по парте решение симметрической системы уравнений.

III. Закрепление изученного материала

Работа в группах (в группу по 4 ученика объединяются учащиеся, сидящие за соседними партами).
Каждая из 6 групп выполняет следующее задание.

Определить вид системы и решить её:

Учащиеся в группах анализируют системы, определяют их вид, затем, в ходе фронтальной работы обсуждают решения систем.

симметрическая, введем новые переменные x+y=u, xy=v

содержит однородное уравнение.

Пара чисел (0;0) не является решением системы.

IV. Контроль знаний учащихся

Самостоятельная работа по вариантам.

Решите систему уравнений:

Учащиеся сдают тетради учителю на проверку.

V. Домашнее задание

1. Выполняют все учащиеся.

Решите систему уравнений:

2.Выполняют «сильные» учащиеся.

Решите систему уравнений:

VI. Итог урока

Вопросы:
С какими видами систем уравнений вы познакомились на уроке?
Какой способ решения систем уравнений применяется при их решении?

Сообщение оценок, полученных учащимися в ходе урока.

Симметрические системы уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Симметрические системы уравнений
Автор: Гончаровская Алина
учащаяся 11 класса
МОУ Рощинской СОШ
«Образовательный центр»

Руководитель: Пятовская Людмила Петровна – учитель математики высшей категории
2008-2009 учебный год

1. Введение
2. Понятие симметрии, её основные виды
3. Решение задач при помощи симметрии
4. Симметрические системы
5. Способы решения симметрических систем. Метод замены переменных
6. Теоремы, используемые при решении симметрических систем
7. Заключение
8. Список используемой литературы

Введение
Проблема моего проекта заключается в том, что для успешной сдачи ЕГЭ требуется умение решать различные системы уравнений, а в курсе средней школы им отведено недостаточно времени, необходимого познать этот вопрос глубже.
Цель работы: подготовиться к успешной сдачи ЕГЭ.
Задачи работы:
Расширить свои знания в области математики, связанные с понятием «симметрия».
Повысить свою математическую культуру, используя понятие «симметрия» при решении систем уравнений, называемых симметрическими, а также других задач математики.

Понятие симметрии.
Симме́три́я — (др.-греч. συμμετρία), в широком смысле — неизменность при каких-либо преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы. Двусторонняя симметрия означает, что право и лево относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Симметрия бывает:
двусторонняя;
симметрия n-порядка;
аксиальная;
сферическая;
трансляционная

Решение задач при помощи симметрии.
Задача №1
Двое по очереди кладут одинаковые монеты на круглый стол, причём монеты не должны накрывать друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Иначе говоря, у какого из игроков есть выигрышная стратегия?)
Решение. При правильной игре выигрывает тот, кто начинает — первый игрок. Вот его стратегия. Первым ходом он кладёт монету в центр стола. Затем после каждого хода второго первый кладёт монету симметрично монете, только что положенной вторым, относительно центра стола (рис. 1). Очевидно, если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, первый игрок побеждает.

Задача №2
На плоскости дана прямая l и точки A и B по одну сторону от неё. Нужно найти на прямой такую точку C, чтобы сумма длин отрезков AC и BC была минимальна.
Решение. Построим точку A’, симметричную A относительно прямой l. Заметим, что для любой точки C, лежащей на прямой l, AC=A’C. Поэтому
AC+BC=A’C+BC.
В силу неравенства треугольника сумма A’C+BC минимальна тогда и только тогда, когда точка C лежит на отрезке A’B (рис. 2). Итак, C=A’B l.

Задача №3
На плоскости дан правильный n-угольник A1A2. An, точка O — его центр (рис. 3). Найти вектор .
Решение. Введём обозначения: φ= A1OA2, — поворот на угол φ с центром в точке O (т. е. есть вектор, полученный из вектора указанным поворотом). Тогда, поскольку многоугольник A1A2. An правильный,
Как известно, сложение векторов и поворот перестановочны: если сумму нескольких векторов повернуть на угол φ и, наоборот, каждый из векторов-слагаемых повернуть на тот же угол, а затем сложить, результат будет один и тот же. Кроме того, сумма векторов не зависит от их порядка. Поэтому:
Итак, вектор не меняется при повороте на угол 0o х) система принимает вид
— х + у + у 2 = 3,
— х + 1 + у – 1 = 2,
или
— х + у + у 2 = 3,
х – у = — 2,
откуда находим х 1 = — 3, у 1 = — 1, х 2 = — 1, у 2 = 1. Вторая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. е. является решением данной системы.

Если х ≥ 1, то:
а) х > у и у у и у ≥ 1 система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
х – 1 + у – 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 4,
откуда находим х = 1, у = 3. Эта пара чисел не принадлежит рассматриваемой области;

в) при х ≤ у (тогда у ≥ 1) система принимает вид
— х + у + у 2 = 3,
х – 1 + у – 1 = 2,
или
— х + у + у 2 = 3,
х + у = 4,
откуда находим х 1 = 5 + √8, у 1 = — 1 — √8;
х 2 = 5 — √8, у 2 = — 1 + √8. Эти пары чисел не принадлежат рассматриваемой области.
Таким образом, х 1 = — 1, у 1 = 1; х 2 = 1, у 2 = — 1.
Ответ: ( — 1; 1); ( 1; — 1).

Заключение
Математика развивает мышление человека, учит посредством логики находить разные пути решения. Так, научившись решать симметрические системы, я поняла, что использовать их можно не только для выполнения конкретных примеров, но я для решения разного рода задач.
Я думаю, что проект может принести пользу не только мне. Для тех, кто так же захочет ознакомиться с этой темой, моя работа будет являться хорошим помощником.

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Стандартные итерационные методы

В разделах Метод исключения Гаусса и Методы решения систем с симметричными матрицами процедуры решения систем алгебраических уравнений были связаны с разложением матрицы коэффициентов \( A \). Методы такого типа называются прямыми методами. Противоположностью прямым методам являются итерационные методы. Эти методы порождают последовательность приближенных решений \( \ < x^<(k)>\> \). При оценивании качества итерационных методов в центре внимания вопрос от том, как быстро сходятся итерации \( x^ <(k)>\).

Итерации Якоби и Гаусса — Зейделя

Простейшей итерационной схемой, возможно, являются итерации Якоби. Они определяются для матриц с ненулевыми диагональными элементами. Идею метода можно представить, используя запись \( 3 \times 3 \)-системы \( Ax = b \) в следующем виде: $$ \begin x_1 &= (b_1 — a_<12>x_2 — a_<13>x_3) / a_<11>, \\ x_2 &= (b_2 — a_<21>x_1 — a_<23>x_3) / a_<22>, \\ x_3 &= (b_3 — a_<31>x_1 — a_<32>x_2) / a_<33>. \\ \end $$ Предположим, что \( x^ <(k)>\) — какое-то приближение к \( x = A^<-1>b \). Чтобы получить новое приближение \( x^ <(k+1)>\), естественно взять: $$ \begin x_1^ <(k+1)>&= (b_1 — a_<12>x_2^ <(k)>— a_<13>x_3^<(k)>) / a_<11>, \\ x_2^ <(k+1)>&= (b_2 — a_<21>x_1^ <(k)>— a_<23>x_3^<(k)>) / a_<22>, \\ x_3^ <(k+1)>&= (b_3 — a_<31>x_1^ <(k)>— a_<32>x_2^<(k)>) / a_<33>. \\ \end $$

Эти формулы и определяют итерации Якоби в случае \( n = 3 \). Для произвольных \( n \) мы имеем $$ \begin \tag <7>x_i^ <(k+1)>= \left( b_i — \sum_^ a_x_j^ <(k)>— \sum_^ a_x_j^ <(k)>\right)/a_, \quad i = 1, 2, \ldots, n. \end $$

Заметим, что в итерациях Якоби при вычислении \( x_i^ <(k+1)>\) не используется информация, полученная в самый последний момент. Например, при вычислении \( x_2^ <(k+1)>\) используется \( x_1^ <(k)>\), хотя уже известна компонента \( x_1^ <(k+1)>\). Если мы пересмотрим итерации Якоби с тем, чтобы всегда использовать самые последние оценки для \( x_i \), то получим: $$ \begin \tag <8>x_i^ <(k+1)>= \left( b_i — \sum_^ a_x_j^ <(k+1)>— \sum_^ a_x_j^ <(k)>\right)/a_, \quad i = 1, 2, \ldots, n. \end $$ Так определяется то, что называется итерациями Гаусса — Зейделя.

Для итераций Якоби и Гаусса — Зейделя переход от \( x^ <(k)>\) к \( x^ <(k+1)>\) в сжатой форме описывается в терминах матриц \( L, D \) и \( U \), определяемых следующим образом: $$ \begin L &= \begin 0 & 0 &\cdots & \cdots & 0 \\ a_ <21>& 0 &\cdots & \cdots & 0 \\ a_ <31>& a_ <32>& 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ a_ & a_ & \cdots & a_ & 0 \end, \\ D &= \mathrm(a_<11>, a_<12>, \ldots, a_), \\ U &= \begin 0 & a_ <12>&a_ <13>& \cdots & a_ <1n>\\ 0 & 0 & a_ <23>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &\vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_ \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end. \end $$ Шаг Якоби имеет вид \( M_J x^ <(k+1)>= N_J x^ <(k)>+ b \), где \( M_J = D \) и \( N_J = -(L+U) \). С другой стороны, шаг Гаусса — Зейделя определяется как \( M_G x^ <(k+1)>= N_G x^ <(k)>+ b \), где \( M_G = (D+L) \) и \( N_G = -U \).

Процедуры Якоби и Гаусса — Зейделя — это типичные представители большого семейства итерационных методов, имеющих вид $$ \begin \tag <9>M x^ <(k+1)>= N x^ <(k)>+ b, \end $$ где \( A = M-N \) — расщепление матрицы \( A \). Для практического применения итераций (9) должна «легко» решаться система с матрицей \( M \). Заметим, что для итераций Якоби и Гаусса — Зейделя матрица \( M \) соответственно диагональная и нижняя треугольная.

Сходятся ли итерации (9) к \( x = A^<-1>b \), зависит от собственных значений матрицы \( M^<-1>N \). Определим спектральный радиус произвольной \( n \times n \)-матрицы \( G \) как $$ \rho(G) = \max \< |\lambda| :\ \lambda \in \lambda(G) \>, $$ тогда если матрица \( M \) невырожденная и \( \rho(M^<-1>N) —>