Решение сингулярных интегральных уравнений примеры

К ОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.

Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ

Предметом настоящей книги являются приближенные методы

решения слабосингулярных и сингулярных интегральных уравне-

Теория интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра ак-

тивно развивается начиная с конца XIX столетия, причем одно временно с развитием теории развивались и численные методы.

В настоящее время одним из основных направлений в приближен ных методах решения интегральных уравнений является развитие оптимальных по точности и сложности методов решения слабосин гулярных интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма.

Первая часть книги посвящена изложению этих методов (в основном для многомерных интегральных уравнений).

Теория сингулярных интегральных уравнений зародилась в на чале XX века в трудах выдающихся математиков Д. Гильберта и А.Пуанкаре и бурно развивалась в течение всего ХХ столетия.

Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений (без регуляризации) начали исследоваться значитель но позже. Первой работой в этом направлении была работа М.А.

Лаврентьева, датируемая 1932 г., в которой было предложено два метода решения сингулярных интегральных уравнений первого рода, описывающих задачу обтекания воздушным потоком кры ла конечного размера.

Начиная с середины 50-х г. прошлого столетия, начался «ис следовательский бум» в области численных методов решения син гулярных интегральных уравнений, который продолжается и по сегодняшний день. Этим исследованиям посвящены многие сотни статей и десятки монографий. За эти годы оформилось несколь ко направлений в численных методах решения сингулярных инте гральных уравнений, основанных на различных идеях и подходах.

Во второй части книги излагаются основные результаты, полу ченные в одном из направлений приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений.

Книга в первую очередь адресована специалистам в области вы числительной математики и математической физики. Она также может быть полезна инженерам-исследователям, сталкивающим ся в своей деятельности с необходимостью решения интегральных уравнений. Отдельные параграфы книги могут быть использова ны в качестве учебного пособия по дисциплине «Граничные инте гральные уравнения» для студентов специальности «Прикладная математика». Для удобства читателей в книге приведены необхо димые сведения из теории приближений, функционального анали за, теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений.

Исследования автора по приближенным методам решения слабо сингулярных и сингулярных интегральных уравнений и их прило жениям были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 94-01-00653, 97-01-00621), Министерством образования РФ (гранты по вычислительной математике 1996 гг. и 1998 2000 гг.) и Российским гуманитарным научным фондом (грант 01-02-00147а).

ВВЕДЕНИЕ 1. Постановка задачи оптимизации Настоящая книга посвящена построению и обоснованию вы числительных схем приближенного решения слабосингулярных и сингулярных интегральных уравнений различных видов. Рассма триваются приближенные методы решения слабосингулярных ин тегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма и одномерных, по лисингулярных и многомерных сингулярных интегральных урав нений различных видов. Особое внимание уделяется построению оптимальных по точности и сложности методов решения инте гральных уравнений.

В настоящее время под обоснованием приближенных методов ре шения задач математического анализа (дифференциальных и ин тегральных уравнений, граничных задач математической физики и др.) понимается [91] их теоретическое исследование, при котором в порядке возрастающей точности и трудности встают следующие три вопроса:

а) установление осуществимости и сходимости алгоритма;

б) исследование быстроты сходимости;

в) эффективная оценка погрешности.

Как правило, для решения каждого класса уравнений можно по строить достаточно большое число приближенных методов, осно ванных на различных идеях и подходах. Поэтому возникает необ ходимость в сравнении этих методов. В качестве критериев срав нения различных методов могут быть взяты определения опти мальности алгоритмов.

В работе будут использованы критерии оптимальности по точ ности и сложности, основанные на восходящей к П. Л. Чебышеву минимаксной концепции.

В настоящее время имеется ряд различных определений опти мальности алгоритмов по точности и сложности (см. [6], [80], [147], [149], [155], [156] ).

Нами используется определение Н. С. Бахвалова оптимальных по точности алгоритмов решения задач математической физики [6].

Опишем, следуя [6], постановку задачи построения оптималь ных по точности алгоритмов численного решения интегральных уравнений на примере уравнения b Kx x(t) + h(t, )x( )d = f (t). (1.1) a Для сингулярных интегральных уравнений (с.и.у.) постановка за дачи аналогична.

Пусть принадлежит классу достаточно гладких функций H, а классу достаточно гладких функций F. Пусть класс вектор-функционалов, определенных на H, а класс вектор функционалов, определенных на F. Пусть M множество алгорит мов в смысле Маркова, и пусть R = R(K, h, f, A, N, N, t) 1 означает результат приближенного решения уравнения (1.1) с по мощью алгоритма A M, использующего инфоpмацию об h, за данную не более чем N 2 значениями v (h), v = 1, 2. N 2, вектор — функционалов v и использующего инфоpмацию об f, за данную не более чем N значениями v (f ), v = 1, 2. N, вектор функционалов v.

Введем обозначения v(K, h, f, A, N, N ) = (x, R), 1 2 v(K, H, F, A, N, N ) = sup v(K, h, f, A, N, N ), 1 1 1 f F,hH 2 v(K, H, F, M, N, N ) = inf v(K, H, F, A, N, N ), 1 1 1 AM vN (K, H, F, M,, ) = v(K, H, F, M, N, N ), inf 1 N,N 1 2 v(K, H, F, N, N ) = inf v(K, H, F, A, N, N ), 1 1 1 A vN (K, H, F,, ) = v(K, H, F, N, N ), inf 1 N,N 1 v(K, H, F, N, N ).

vN (K, H, F ) = inf 1 N,N 1 Здесь (x, R) означает меру погрешности точного решения x (t) уравнения ( 1.1 ), а vN (K, H, F,, ) и vN (K, H, F ) соответ ственно, нижнюю грань по всем алгоритмам, использующим ин формацию из классов,, и по всем способам задания функцио налов. Алгоритм A, использующий информацию < v >N, < v >N 1, называется оптимальным, асимптотически оптимальным, оптимальным по порядку, если v(K, H, F, A, < v >N, < v >N ) 1 = 1, 1, vN (K, H, F,, ) соответственно.

При постановке задачи построения оптимальных по сложности алгоритмов решения задачи = S(f ), где S линейный или нели нейный оператор, будем следовать книге [155]. В качестве набора простейших операций возьмем набор P = <арифметические опера ции, вычисление значения функции>.

Пусть информационный оператор, допустимый по отноше нию к P, A алгоритм, использующий допустимую информацию. Элемент (f ) называется информацией об f. Через comp((f )) обозначается информационная сложность вычисления (f ). Это означает, что если (f ) требует выполнения простейших опера k ций p1, p2. pk, то comp((f )) = comp(pi ).

i= Пусть A линейный или нелинейный оператор. Для вычисле ния A((f )) следует вычислить y = (f ) и A(y). Пусть вычисле ние A(y) требует выполнения простейших операций q1, q2. qk.

Величина k comp(A(y)) = comp(qi ) называется комбинаторной сложностью i= вычислений A(y).

Пусть E1 и E2 линейные пространства, E0 множество в линейном пространстве E1, S : E0 E2 линейный или не линейный оператор, 0 вещественное число. Задача состо ит в отыскании -приближения x = x(f ) к решению задачи = S(f ) : x для всех f E0. В задаче = S(f ) S назы вается оператором решения, f элементом задачи, элементом решения. Обозначим через (f ) = про образ в E0 элемента y = (f ). Радиусом информации для задачи S называется величина r(, S) = sup inf sup S(f ).

E2 f E0 f (f ) Погрешностью алгоритма A называется величина e(A) = sup A((f )) S(f ).

f E Пусть r(, S) для некоторого допустимого. Обозначим че рез () класс всех допустимых алгоритмов, для которых e(A).

Будем считать класс () непустым. Так как набор простейших операций фиксирован, зависимость сложности от P не рассматри вается.

Сложность алгоритма определяется равенством comp() = sup (comp((f )) + comp(((f )))).

f E Определение 1.1 [155]. Величина comp(, S, ), задаваемая формулой inf comp(), если r(, S) и () =, comp(, S, ) = (), в противном случае, называется -сложностью задачи S при использовании информа ции.

В книге [155] дано определение оптимального по сложности алго ритма. Распространим это определение на асимптотически опти мальные и оптимальные по порядку алгоритмы.

Определение 1.2. Алгоритм oc () называется оптималь ным, асимптотически оптимальным, оптимальным по порядку по сложности алгоритмом для задачи S при использовании информа ции, если comp(oc ) = comp(, S, ), comp(oc ) comp(, S, ), comp(oc ) comp(, S, ), соответственно.

Приведем исторически более раннее определение оптимальных по сложности алгоритмов, которым неоднократно будем пользо ваться на протяжении всей работы. При этом для определенности остановимся на уравнениях вида b x(t) + h(t, )x( )d = f (t). (1.2) a Предполагается, что в уравнении (1.2) минимальное расстояние от 1 до собственного значения уравнения больше d (d 0).

Пусть (n) множество всех приближенных методов решения уравнения (1.2), при которых производится не больше чем n ариф метических действий.

Введем, следуя [80], величину x (t) x (t) E(n, 1, 2, d) = inf sup C, n (n) h1,f где 1, 2 классы функций;

x (t) точное решение уравнения (1.2), x (t) приближенное решение уравнения (1.2), требующее n n арифметических действий.

Введем функционал n () = suph1,f 2 x (t) x (t) C, где n x (t) приближенное решение уравнения (1.2) по алгоритму (n), n требующему не более n арифметических операций.

Приближенный метод (n) (n) назовем оптимальным, асим птотически оптимальным, оптимальным по порядку по сложности на классах 1, 2, если E(n, 1, 2, d) = 1, 1, 1.

n () Выше было дано определение оптимальных по сложности ал горитмов в предположении, что в качестве простейших операций взяты арифметические операции и операции вычисления функций.

Как будет показано в главе II, сложность решения интегральных уравнений существенным образом зависит от набора простейших операций.

Ниже, следуя [130], на примере уравнения (1.1) дадим определе ния сложности и кардинальности решений интегральных уравне ний.

Пусть X банахово пространство, F класс функций, H мно жество линейных непрерывных операторов, действующих из X в X и таких, что уравнение Kx x + Hx x(t) + h(t, )x( )d = f (t), (1.3) t = (t1. tl ), = (1. l ), l 2, однозначно разрешимо при любых H H и f F. Класс таких уравнений будем, следуя [130], обозначать [H, F ].

Исследуем сложность нахождения приближенных решений урав нений (1.3) для некоторых классов [H, F ]. Постановка задачи и терминология заимствованы из монографии [155].

Следуя [155, с. 101], к простейшим операциям условимся отно сить арифметические операции и операции вычисления значений различных линейных функционалов, определенных на H и F. При этом, как и в [155, с. 28, 101], каждой простейшей операции ста вится в соответствие число comp() 1, называемое сложностью операции. Сложность арифметических операций принимается равной 1, а сложность операции вычисления значения линейного функционала не превышает фиксированного числа d 1.

Пусть T = N некоторый набор линейно-независимых ли i= нейных непрерывных функционалов i, из которых 1. k опре делены на множестве H, а k+1. N на множестве F X.

Каждому уравнению (1.3) из [H, F ] ставится в соответствие век тор T (H, f ) = (1 (H). k (H), k+1 (f ). N (f )), (1.4) который будем называть информацией об уравнении (1.3), а набор функционалов T способом задания информации. Число линейно не зависимых функционалов i, образующих набор T, обозначим card(T ). Информационной сложностью вычисления T (H, f ), как и в [155, с. 28], назовем величину k N comp(T (H, f )) = comp(i (H)) + comp(i (f )), i=1 i=k+ где comp(i (H)) сложность выполнения простейшей операции, состоящей в нахождении значения функционала i на элементе H;

обозначение comp(i (f )) имеет аналогичный смысл. Ясно, что при сделанных выше предположениях для любого способа задания ин формации T = comp(T (H, f )) dcard(T ), (1.5) где card (T ) кардинальность информации T.

Напомним, следуя [155, c. 41] определение кардинальности card () информационного оператора.

Пусть E1 и E2 линейные пространства, ( : E1 E2 ) ин формационный оператор и пусть ker () = ядро.

Определение 1.3 [155]. Кардинальностью информации на зывается величина card(), определяемая по формуле card() = = codimker.

Под алгоритмом A приближенного решения уравнений из [H, F ] будем понимать оператор, сопоставляющий информации (1.4) в качестве приближенного решения уравнения (1.3) функцию A(T, H, f ) X. При этом для построения A(T, H, f ) требуется выполнить лишь некоторое число простейших операций 1, 2. j. Следуя [155, с. 29], величину comp(T (H, f )) = comp(1 ) +. + comp(j ) назовем комбинаторной сложностью вычисления A(T, H, f ), а величину comp(A) = sup (comp(T (H, f )) + comp(A(T (H, f ))) сложно HHf F стью алгоритма A.

При фиксированном способе задания информации T множество алгоритмов, использующих для построения приближенных реше ний уравнений (1.3) информацию (1.4), обозначим через A(T ), а множество алгоритмов A A(T ), для которых eX ([H, F ], A) = sup z A(T, H, f ), X z+Hz=f,HH,f F через AX (T, ).

Определение 1.4 [155, с. 32]. Пусть — некоторое множе ство способов задания информации. Если хоть одно из множеств AX (T, ) = = при T, то величина compX ([H, F ],, ) = infT infAAX (T,) comp(A) называется -сложностью решения уравнений из [H, F ] в про странстве X при информации из. Если = U множество всевозможных способов задания информации вида (1.4), то вели чина compX ([H, F ], ) = compX ([H, F ], U, ) называется -сложностью решения уравнений из [H, F ] в X.

Определение 1.5 [155, с. 103]. Пусть U, N =, EN (|H, F ], X, ) = infT N infAA(T ) eX ([H, F ], A).

Назовем -кардинальностью задачи нахождения решений уравне ний (1.3) из [H, F ] в пространстве X при информации из вели чину N ([H, F ],, X) = min.

При любом множестве способов задания информации выпол няется неравенство [155, с. 104] N ([H, F ],, X) сcompX ([H, F ],, ), где постоянная c зависит лишь от сложно сти простейших операций.

2. Классы функций Класс W r (M ;

a, b) состоит из функций, заданных на отрез ке [a, b], непрерывных и имеющих непрерывные производные до r 1-го порядка включительно и кусочно-непрерывную производ ную r-го порядка, удовлетворяющую на этом отрезке неравенству |f (r) (x)| M.

Класс функций Гельдера H (M ;

a, b)(0 1) состоит из заданных на отрезке [a, b] функций f (x), удовлетворяющих во всех точках x и x этого отрезка неравенству |f (x ) f (x )| M |x x |.

0 1) обозначен класс функций f (x), имеющих на отрезке [a, b] производные r порядка, удовлетворяющие условию |f (r) (x ) f (r) (x )| M |x x | при всех x и x из [a, b].

Если из контекста ясно, о каком отрезке [a, b] идет речь, вме сто класса функций Гельдера H (M ;

a, b)(0 1) будем писать H (M )(0 1). Это замечание относится и к остальным опре делениям.

Говорят, что функция f (x) удовлетворяет интегральному усло (r+) вию Гельдера f Hp (A, ), r = 0, 1. ;

0 1, если 1/p |f (r) (t + h) f (r) (t)|p dt A|h|.

a, b)(1 p ) состоит из функций, заданных на [a, b], имеющих абсолютно непрерывную производную порядка r 1 и производную f (r) (x) порядка r, обладающую тем свойством, что 1/p b dx (r) p |f (x)| M, a где интеграл понимается в смысле Лебега.

r r Для простоты обозначений ниже вместо WLp будем писать Wp.

a, b) обозначен класс периодических с периодом r (b a) функций, входящих в класс Wp (M ;

Через H1 2 (D) обозначен класс определенных на D = функций f (x, y), таких, что для любых точек (x, y ) и (x, y ) из D |f (x, y ) f (x, y )| 1 (|x x |) + 2 (|y y |), где 1 () и 2 () заданные модули непрерывности. В случаях, когда i (x) = xi (i = 1, 2), используется обозначение H1 2 (D).

W r,s H1 2 (D) означает класс определенных на D функций f (x, y), имеющих производные f (,) = + f (x, y)/x y ( r, s), причем f (,) H1 2.

Через Clr (1) обозначен класс функций l независимых перемен ных, у которых существуют и ограничены по модулю единицей все частные производные до r-го порядка включительно.

В работе К.И.Бабенко [4] введен класс функций Qr (, М ).

Определение 2.1. Пусть = [1, 1]l, l = 1, 2. Функция (x1. xl ) принадлежит классу Qr (, M ), если выполнены усло вия max | |v| (x1. xl )/xv1 · · · xvl | M при 0 |v| r, 1 l x | |v| (x1. xl )/xv1 · · · xvl | M/((x, Г ))|v|r при r |v| 2r+1, 1 l где x = (x1. xl ), v = (v1. vl ), |v| = v1 + · · · + vl, (x, Г ) расстояние от точки x до границы Г области, вычисляемое по формуле (x, Г ) = min1il min(| 1 xi |, |1 xi |).

Приводимые ниже классы функций Qr, (, M ), Br, () явля ются обобщением класса Qr (, M ).

Определение 2.2 [33]. Пусть = [1, 1]l, l = 1, 2.

Функция (x1. xl ) принадлежит классу Qr, (, M ), если выпол нены условия max | |v| (x)/xv1 · · · xvl | M при 0 |v| r, 1 l x | |v| (x)/xv1 · · · xvl | M/((x, Г ))vr при r |v| s, 1 l где s = r +, = 0, если r + целое;

s = r + [] + 1, = = [] + µ, 0 µ 1, = 1 µ, если r + нецелое.

Определение 2.3 [33]. Пусть = [1, 1]l, l = 1, 2 · · ·, r = = 1, 2. 0 1. Функция f (x1. xl ) принадлежит Br, (), если выполнены условия max | |v| (x1. xl )/xv1 · · · xvl | A|v| |v||v| при 0 |v| r, 1 l x | |v| (x1. xl )/xv1 · · · xvl | A|v| |v||v| /((x, Г ))|v|r1+ 1 l при r |v|.

Определение 2.4 [53]. Пусть = [0, T ]l, l = 1, 2. Через Q (, M ) обозначим класс функций f (t1. tl ), определенных на r, и удовлетворяющих следующим условиям:

max |f (v) (t)| M при 0 |v| r, t |f (v) (t)| M/((t, 0 ))|v|r при r |v| s, где t = (t1. tl );

v = (v1. vl ), |v| = v1 +· · ·+vl ;

s = r+, = 0, если – целое;

s = r + [] + 1, = [] + µ, 0 µ 1, = 1 µ, если – нецелое;

(t, 0 ) расстояние от точки t до пересечения 0 границы области с координатными осями, вычисляемое по формуле (t, 0 ) = min |ti |;

f (v) (t) = |v| f (t1. tl )/tv1 · · · tvl.

1 l i Замечание. При l = 1 через 0 обозначается точка t = 0.

Определение 2.5 [53]. Пусть = [0, T ]l, l = 1, 2. Через Q (, M ) обозначим класс функций f (t1. tl ), определенных на r, и удовлетворяющих следующим условиям:

max |f (v) (t)| M при 0 |v| r, t |f (v) (t)| M/((t, 0))|v|r при r |v| s, где t = (t1. tl );

v = (v1. vl ), |v| = v1 +· · ·+vl ;

s = r+, = 0, если – целое;

s = r + [] + 1, = [] + µ, 0 µ 1, = 1 µ, если – нецелое;

(t, 0) расстояние от точки t до начала координат, вычисляемое по формуле (t, 0) = t2 + · · · + t2. 1 l Замечание. Очевидно, что в одномерном случае (l = 1) классы Q (, M ) и Q (, M ) совпадают.

r, r, Определение 2.6 [53]. Пусть = [0, T ]l, l = 1, 2. 0 1, r = 1, 2. Функция f (t1. tl ) Br, (), если выполнены усло вия |v| f (t1. tl )/tv1 · · · tvl A|v| |v||v| при 0 |v| r, C 1 l | |v| f (t1. tl )/tv1 · · · tvl | A|v| |v||v| /((t, 0 ))|v|r1+ 1 l при r |v|, где константа A не зависит от |v|.

Определение 2.7 [53]. Пусть = [0, T ]l, l = 1, 2. r = = 1, 2. 0 1. Функция f (t1. tl ) Br, (), если выпол нены условия:

|v| f (t1. tl )/tv1 · · · tvl A|v| |v||v| при 0 |v| r, C 1 l | |v| f (t1. tl )/tv1 · · · tvl | A|v| |v||v| /((t, 0))|v|r1+ 1 l при r |v|, где константа A не зависит от |v|.

Замечание. В одномерном случае (l = 1) классы Br, () и Br, () совпадают.

Определение 2.8. Пусть = [0, T ]l, l = 1, 2. Функция f (t1. tl ) принадлежит классу A(), если выполнены условия | |v| f (t1. tl )/tv1 · · · tvl | M |v| |v||v| при 0 |v|, 1 l где константа M не зависит от |v|.

3. Вспомогательные предложения и обозначения В данном параграфе приводится ряд известных фактов из ли нейной алгебры и анализа, а также некоторые обозначения, кото рыми будем пользоваться на протяжении книги.

На протяжении третьей и четвертой глав неоднократно исполь зуется теорема Адамара [65, стр. 406] об обратимости матриц.

n Теорема Адамара. Если выполняется условие |cjj | |cjk |, k=0,k=j то система линейных алгебраических уравнений Cx = b, где C = = j,k=0,n, x = (x1. xn ), b = (b1. bn ), имеет единственное решение.

На протяжении книги используются следующие обозначения.

Через [] обозначена целая часть числа.

Через S x будем обозначать сингулярный интеграл 1 x( ) S x = d, i t взятый по контуру.

Через S12 x обозначен бисингулярный интеграл 1 x(1, 2 )d1 d S12 x = 2.

1 2 (1 t1 )(2 t2 ) Через U (h(t, )x( )) обозначен интеграл U (h(t, )x( )) = h(t, )x( )d.

Через U12 (x) обозначен интеграл U12 (x) = x(1, 2 )d1 d2.

1 Пусть = [a, b], c [a, b]. Через Tr (,, c) обозначен отрезок ряда Тейлора (r) (c) (c) (t c)r.

Tr (,, c) = (c) + (t c) + · · · + 1! r!

a2, b2 ], c. Через Tr (,, c) обозначим 1 отрезок ряда Тейлора Tr (,, c) = (c) + 1! d(c) + · · · + r! dr (c).

Обозначим через Dr (t) периодическую, с периодом единица, функцию Dr (t) = 2r1 r r v=1 v r cos(2vt 2 ).

Через Kr обозначена константа Фавара 4 (1)k(r+1) Kr =, r = 0, 1.

k=1 (2k + 1)r+ 4. Элементы теории приближений В данном параграфе приводится ряд известных фактов из тео рии приближений, которыми будем пользоваться на протяжении книги. Прежде всего напомним некоторые классические результа ты конструктивной теории функций. При изложении этих резуль татов будем следовать монографиям [1], [78], [126].

4.1. Полиномы наилучшего приближения Пусть f (x) функция, определенная на сегменте [a, b]. Обозна чим через Hn множество полиномов степени не выше n, т. е. полиномов вида Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 +. + an xn, а через Hn множество тригонометрических полиномов вида n a0 + ak cos kx + bk sin kx.

k= Рассмотрим произвольный полином Pn (x) и положим (Pn ) = max | Pn (x) f (x) |.

x[a,b] Число (Pn ) называется отклонением полинома Pn (x) от функ ции f (x). Если будем изменять полином Pn (x), заставляя его про бегать все множество Hn, то величина (Pn ) также будет изме няться, но так как она остается неотрицательной, то множество ее значений ограничено снизу и имеет точную нижнюю границу En = En (f ) = inf <(Pn )>.

Pn Hn Величина En (f ) называется наименьшим отклонением полино мов из Hn от f (x) или наилучшим приближением к f (x) полино мами из Hn.

Теорема 4.1 (Теорема Бореля). Для всякой функции f (x) C[a, b] в множестве Hn существует такой полином P (x), что (P ) = En (f ).

Следует отметить, что для всякой функции f (x) C[a, b] в мно жестве Hn существует единственный полином наилучшего при ближения. Это утверждение следует из теоремы Бореля и чебы шевского альтернанса.

Приведем оценки наилучших приближений к f (x) полиномами из Hn. Вначале дадим формулировки классических теорем Джек сона.

Теорема 4.2. Для любой функции f C2 справедлива оценка En (f ) 12.

n Теорема 4.3. Пусть f (x) есть непрерывная 2-периодическая функция, имеющая непрерывные производные f (x), f (x). f (r) (x).

Если r () модуль непрерывности r-й производной f (r) (x), то 12r+1 r n En (f ).

nr Если функция f (x) приближается алгебраическими полинома ми, то теоремы Джексона формулируются следующим образом.

Теорема 4.4. Если f (x) C[a, b], то ba En (f ) 12.

2n Теорема 4.5. Если f (x) C[a, b] имеет р непрерывных произ водных, причем модуль непрерывности f (p) = p (), то для n p справедлива оценка Cp (b a)p b a En (f ) p, np 2(n p) где Cp зависит только от p.

Наряду с оценками наилучших приближений тригонометриче скими и алгебраическими полиномами различных классов функ ций, т.е. прямыми теоремами конструктивной теории функций, нам понадобятся обратные теоремы конструктивной теории функ ций, позволяющие по числовым характеристикам EN (f ) судить о классах функций, к которым принадлежат функции f (x).

Предварительно приведем неравенства С.Н. Бернштейна и А.А. Маркова, которыми также будем неоднократно пользоваться в третьей и четвертой главах.

Теорема 4.6. Если n T (x) = A + (ak cos kx + bk sin kx) k= тригонометрический полином порядка n, то справедлива оценка |T (x)| n max |T (x)|.

Теорема 4.7. Если полином Pn (x) = a0 +a1 x+. +an xn степени не выше n на сегменте [a, b] удовлетворяет неравенству |Pn (x)| M, то на том же сегменте |Pn (x)| 2M n2 /(b a).

Обратные теоремы конструктивной теории функций принадле жат С.Н. Бернштейну и формулируются следующим образом [126].

Теорема 4.8. Пусть f (x) C2 и для любого n наилучшее приближение полиномами из Hn En An. Тогда если 0 1, T то f (x) H, а если = 1, то f (x) Z.

Теорема 4.9. Пусть f (x) C2 и En ее наилучшее прибли A T жение полиномами из Hn. Если En nr+, где r натуральное число, а 0 1, то у функции f (x) существуют непрерывные производные f (x), f (x). f (r) (x), причем f (r) H, если 1, и f (r) Z, если = 1.

Напомним, что через Z обозначен класс функций Зигмунда, определенный следующим соотношением: для модуля непрерыв ности () справедливо неравенство () A(1 + |ln|), где А не зависит от.

Изложенные выше результаты принадлежат в основном класси кам конструктивной теории функций: П.Л. Чебышеву, С.Н. Берн штейну, Д. Джексону, и относятся к первому периоду в теории приближений. Как уже отмечалось выше, их подробное изложение имеется в [1], [78], [126]. В 50-е — 70-е гг. прошлого столетия в кон структивной теории функций были получены новые результаты, многие из которых являются неулучшаемыми. Не имея возмож ности остановиться на этих результатах, приведем теорему типа Джексона об оценках наилучших приближений.

Теорема 4.10 [99, с.237]. Для любой функции f C, f const, справедливы неравенства En (f )c (f, ), n = 1, 2. причем не n зависящая от f и от n константа 1 перед (f, ) не может быть n уменьшена.

Современное состояние конструктивной теории функций и точ ные оценки приближений полиномами, отрезками рядов и сплай нами изложены в монографиях и обзорах [4], [99] [101], [148], [153].

4.2. Элементы теории сплайнов На протяжении всей книги будут неоднократно использовать ся методы сплайн-интерполяции и сплайн-коллокации. Напомним определения сплайнов, необходимые в дальнейшем.

Функция f (x), заданная на сегменте [a, b], называется сплайном порядка m (m = 0, 1, · · ·) с узлами tk, k = 1, 2. N, a t t2 · · · tN b, еcли в каждом сегменте [a, t1 ], [t1, t2 ]. [tN, b] функция f (x) является алгебраическим полиномом степени m и в каждой из точек tk, k = 1, 2. N, некоторая производная f (v) (x), 0 v m, имеет разрыв.

Говорят, что сплайн f (x) порядка m имеет дефект rk (1 rk m) в узле xk, k = 1, 2. N, если в точке xk непрерывны функ ции f (x), f (x). f (mrk ) (x), а производная f (mrk +1) (x) в точке xk терпит разрыв.

Число r = max rk называется дефектом сплайна.

1kN Будем говорить, что в узле xk, k = 1, 2. N, сплайн f (x) имеет дефект m + 1, если в этом узле функция f (x) имеет разрыв непре рывности. В этом случае будем говорить, что сплайн f (x) имеет дефект m + 1.

5. Элементы функционального анализа В параграфе приводятся сведения из функционального анализа, используемые во второй, третьей и четвертой главах. При изло жении этого материала мы следуем книге [117].

5.1. Нормирование пространства Рассмотрим некоторое множество Е, в котором введены две опе рации: сложение элементов и умножение на число, удовлетворяю щие следующим условиям:

1) x + y = y + x (коммутативность сложения);

2) (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

3) (x + y) = x + y, ( + µ)x = x + µx два закона дистри бутивности;

4) (µx) = (µ)x (ассоциативность умножения);

5) в Е существует нулевой элемент 0, такой, что x + 0 = x для любого x E;

6) для каждого элемента x E существует однозначно опреде ленный элемент того же множества (x), такой, что x + (x) = 0.

Элемент 0 называется нулевым элементом или нулем множества E, элемент x называется элементом, противоположным элементу x.

Множество Е, удовлетворяющее перечисленным свойствам, на зывается линейным пространством (вещественным, если числа вещественные, или комплексным, если комплексные).

Предположим, что каждому x E поставлено в соответствие неотрицательное число х (норма х ), удовлетворяющее условиям:

а) х = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

б) x = || x (однородность нормы);

в) x + y x + y (неравенство треугольника).

Линейное пространство, в котором введено понятие нормы, на зывается линейным нормированным пространством.

Линейное нормированное пространство Е называется полным или банаховым пространством, если из того, что xn xm E при n, m, следует сходимость последовательности xk к неко торому элементу x E по норме пространства E, т.е. limk x xk E = 0.

Банаховы пространства будем обозначать буквой B.

Полное линейное нормированное пространство называется гиль бертовым пространством (H-пространством), если в нем введено скалярное произведение (. ), обладающее свойствами:

a) (x, y) = (y, x) (в частности, (x, x) вещественное число);

б) (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y);

в) (x, y) = (x, y) для любого комплексного числа ;

г) (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.

При этом скалярное произведение связано с нормой равенством (x, x) = x 2.

5.2. Линейные операторы Пусть B1 и B2 банаховы пространства. Отображение A из B1 в B2 называется линейным оператором, если A(x+y) = Ax+Ay для любых чисел, и любых элементов x, y B1.

Оператор А называется непрерывным, если он каждую сходя щуюся (по норме в B1 ) последовательность элементов (xn ) перево дит в сходящуюся (по норме в B2 ) последовательность элементов (Axn ).

Оператор A называется ограниченным, если можно указать та кое положительное число K, что для x B Ax K x.

Наименьшее из значений K, при которых выполняется предыду щее неравенство, называется нормой оператора A и обозначается A. Отметим, что A = sup x =1 Ax.

Множество линейных ограниченных операторов, действующих из B пространства X в B пространства Y, обозначается через B[X, Y ] или [X, Y ].

Замкнутое линейное подмножество банахова пространства на зывается его подпространством. Говорят, что пространство B рас падается в прямую сумму подпространств B1 и B2, B = B1 B2, если каждый элемент x B допускает единственное представле ние в виде x = x1 + x2, где x1 B1, x2 B2. Каждое из подпро странств B1, B2 называется прямым дополнением друг друга.

В пространстве B можно ввести следующую норму: x = x + + x2, где x = x1 +x2, x1 B1, x2 B2, B = B1 B2. Введенная таким образом норма называется максимальной.

При исследовании линейных операторов в гильбертовых про странствах часто наряду с оператором A рассматривают его дей ствительную и мнимые части AR = ReA = (A + A )/2 и Aj = ImA = (A A )/2. Здесь через A обозначен оператор, сопряжен ный с A. В случае если A матрица, то A матрица, комплексно сопряженная с A. Оператор A называется самосопряженным, если A = A.

Пусть B комплексное банахово пространство. Точка ком плексной плоскости называется регулярной точкой оператора A, если существует оператор R = (A I)1. Множество (A) всех регулярных точек открыто. Его дополнение называется спектром оператора A и обозначается символом (A). Спектр (A) всегда замкнут, непуст и лежит в круге | (A) | A.

Комплексное число называется собственным значением опера тора A в комплексном банаховом пространстве B, если существует такой x B( x = 0), что Ax = x. Элемент x, удовлетворяющий этому равенству, называется собственным элементом оператора A, отвечающим собственному значению.

Множество E X называется множеством первой категории, если E можно представить в виде объединения счетного множества нигде не плотных множеств.

Множество E X, не являющееся множеством первой катего рии, называется множеством второй категории (в X).

Пусть X нормированное пространство, X0 его подпростран ство.

Объединим элементы из X в классы, относя два элемента x1 и x2 в один класс, если x1 x2 X0. При этом, очевидно, различные классы не содержат общих элементов и каждый элемент x X входит в один и только один класс. Пусть x один из классов и x x. Тогда x = x + X0.

В множестве X/X0 всех классов можно ввести арифметические операции, полагая x + y = x + y + X0, x = x + X0.

Эти определения не зависят от выбора элементов x и y пред ставителей классов x и y. Поэтому X/X0 является линейным про странством, которое называется фактор-пространством.

Напомним несколько утверждений из функционального анализа, которыми будем неоднократно пользоваться.

Теорема 5.3 (Банах) [117]. Пусть X B пространство и U B[X, X]. Тогда если U q 1, (5.1) то оператор I U имеет непрерывный обратный, причем (I U )1. (5.2) 1q Доказательство. Обозначим через V сумму ряда V = I + U + U2 +. + Un +. (5.3) Так как U 1, то ряд (5.3) мажорируется сходящимся чи словым рядом 1+ U + U 2 +. U n +.

Так как пространство X полно, то ряд (5.3) сходится. Нетрудно видеть, что V (I U ) = (I + U +. + U n +. )(I U ) = = (I + U +. + U n +. ) (U + U 2 +. + U n +. ) = I.

Аналогично, (I U )V = I. Следовательно, V = (I U )1.

Оценим норму V Un VI + U +. + +.

1 + q + q2 +. + qn +. =, 1q что дает оценку (5.2).

Теорема 5.4 [117]. Пусть U0 B[X, Y ], где X и Y два B-пространства, и пусть существует U0 B[Y, X]. Тогда если оператор U B[X, Y ] удовлетворяет условию U U0 1, то оператор V = U0 + U имеет непрерывный обратный V 1, причем 1 U0 U V. (5.4) 1 1 U0 U 1 U0 U 1 Доказательство. Рассмотрим оператор W = U0 V = I+U0 U.

1 Так как U0 U U0 U 1, то по теореме Банаха оператор W имеет непрерывный обратный W 1. При этом 1 W 1. (5.5) 1 1 U0 U 1 U0 U Имеем далее U0 V W 1 = I, откуда V W 1 = U0 и, следователь 1 но, V W 1 U0 = I. С другой стороны, W 1 U0 V = I.

Из последних двух равенств следует, что оператор W 1 U является непрерывным обратным по отношению к оператору V.

Из равенства V 1 = W 1 U0 и оценки (5.5 ) получаем оценку (5.4).

5.3. Дифференцирование в нормированных пространствах Пусть X и Y – линейные нормированные пространства, y = f (x) – оператор, определенный в X с областью значений в Y.

Производная Фреше. Пусть h – произвольный элемент про странства X, и предположим, что существует линейный оператор A B[X, Y ] (вообще зависящий от x), такой, что f (x + h) f (x) = = Ah + a(x, h), где a(x, h) lim = 0.

h h В этом случае Ah называется сильным дифференциалом или дифференциалом Фреше оператора f (x) в точке x, соответствую щим приращению h аргумента, и обозначается df (x, h).

Линейный оператор A, вообще зависящий от x, обозначается f (x) и называется сильной производной или производной Фреше.

Тогда df (x, h) = f (x)h и f (x + h) f (x) = f (x)h + o( h ).

Слабый дифференциал (дифференциал Гато). Слабым дифференциалом функции f (x) в точке x называют выражение d f (x + th) f (x) Df (x, h) = f (x + th) = lim dt t t t= в предположении, что предел, стоящий в правой части равенства и понимаемый в смысле сходимости по норме, существует.

Теорема 5.5 [117]. Если существует сильный дифференциал df (x, h), то существует и слабый Df (x, h) и df (x, h) = Df (x, h).

В определение дифференциала Гато не входит требование ли нейности. Однако если дифференциал Df (x, h) линейный, то Df (x, h) = = fc (x)h и функция fc (x) называется слабой производной или про изводной Гато оператора f (x).

6. Общая теория приближенных методов Для приближенного решения задач математической физики, дифференциальных и интегральных уравнений придумано и ис пользуется большое число методов, основанных на различных иде ях.

Для суждения об эффективности и обоснованности используе мых вычислительных методов необходимо их теоретическое ис следование, при котором, как отмечается в [91], в порядке возра стающей трудности встают три следующих вопроса:

1) установление осуществимости и сходимости алгоритма;

2) исследование быстроты сходимости;

3) эффективная оценка погрешности.

В последнее время в этот круг включаются также следующие вопросы:

4) исследование сложности алгоритма;

5) оценка объема памяти, необходимого для реализации алго ритма.

Здесь мы не касаемся программной реализации алгоритма.

Общая теория приближенных методов анализа была создана [90] Л. В. Канторовичем в 1948 г. Начиная с этого времени, во многих работах, связанных с обоснованием приближенных методов реше ния различных задач математической физики, используют общую теорию приближенных методов.

6.1. Общая теория приближенных методов для уравнений второго рода В этом пункте, следуя [91], изложим общую теорию прибли женных методов для линейных уравнений второго рода.

Пусть X полное нормированное пространство, Xn его подпространство. Обозначим через Pn проектор из X на Xn, т.е. линейный оператор, удовлетворяющий следующим условиям:

Pn (X) = Xn, Pn = Pn. Оператор Pn ставит каждому элементу x X в соответ ствие элемент xn Xn, причем Pn xn = xn.

Рассмотрим точное уравнение Kx x + Hx = f, K B[X, X], (6.1) в пространстве X и последовательность приближенных уравнений Kn xn xn + Hn xn = fn, Kn B[Xn, Xn ], (6.2) в подпространствах Xn.

Будем считать, что пространства X и Xn и операторы H и Hn связаны следующими условиями:

I. Условие близости операторов H и Hn. Для любого xn Xn справедливо неравенство Pn Hxn Hn xn 1 (n) xn.

II. Условие аппроксимации элементов Hx элементами из Xn.

Для любого x X найдется элемент xn Xn, такой, что Hx xn 2 (n) x.

III. Условие аппроксимации свободного члена точного уравне ния. Существует элемент fn Xn, такой, что f fn 3 (n)(f ) f.

Запись 3 (f ) подчеркивает, что оценка в III неравномерна отно сительно пространства X.

Параметр n в функциях 1 (n), 2 (n), 3 (n) для простоты обозна чений может быть опущен.

Теорема 6.1 [91]. Пусть выполнены условия I и II, оператор K непрерывно обратим. Тогда если K 1 1, q = [1 + I Pn 2 ] (6.3) то оператор Kn также имеет непрерывный обратный Kn. При этом K Kn. (6.4) 1q Доказательство. Доказательство теоремы основано на дву кратном применении теоремы Банаха. Сначала теорема Банаха применяется к оператору K = I + H в пространстве X, а затем к оператору K = I + Pn H в подпространстве XN.

Рассмотрим оператор K = I + Pn H. Согласно условию II для произвольного элемента x X найдется такой элемент xn Xn, что Hx xn 2 x. Тогда (K K)x = Hx Pn Hx = Hx xn + Pn xn Pn Hxn = = (I Pn )(Hx xn ) I Pn 2 x.

Так как x произвольный элемент из X, то тем самым доказано, что K K I Pn 2.

Оператор K можно представить в виде K = K(I K 1 (K K)). (6.5) Воспользовавшись полученной выше оценкой для оператора (K K), имеем K 1 (K K) I Pn 2 K 1 q 1.

Из теоремы Банаха следует существование обратного оператора (I K 1 (K K))1 с нормой (I K 1 (K K))1 1 K I Pn 2.

Из формулы (6.5) следует, что оператор K имеет линейный обратный оператор K = (I K 1 (K K))1 K 1.

Следовательно, K K. (6.6) 1 I Pn 2 K В пространстве Xn рассмотрим оператор K xn = xn + Pn Hxn.

Очевидно, для любого xn Xn K xn = Kxn.

Нетрудно видеть, что если fn Xn, то K fn Xn. Действи тельно, если x1 = K fn, то x1 = fn Pn Hx1 Xn. Поэтому опе ратор K имеет непрерывный обратный оператор, совпадающий с K на Xn, и 1 K K. (6.7) Оценим норму разности Kn K. По условию I для любого xn X n K xn Kn xn = Pn Hxn Hn xn 1 xn (6.8) и K Kn 1. (6.9) Из неравенств (6.7), (6.8) и (6.9) следует, что K 1 1 K Kn K = 1 I Pn 2 K 1q =1 1.

1 I Pn 2 K 1 Записывая оператор Kn в виде Kn = K (I K (K Kn )) и применяя теорему Банаха в подпространстве XN, доказываем существование обратного оператора Kn. Оценим его норму. Оче видно, K Kn 1 1 K Kn K 2 K 1 ) K K (1 I Pn.

1q 1q Теорема доказана.

Теорема 6.2 [91]. Пусть выполнены условия I, II, III, существу ет непрерывный оператор Kn и уравнение (6.1) имеет решение x.

Тогда x x 21 (n) Kn + (2 (n) + K )(1 + Kn Pn K ), 1 n где x — решение уравнения (6.2).

n Доказательство теоремы приведено в [91, с. 519-520].

Отметим, что в теореме 6.2 не требуется существования опе ратора K 1. Если потребовать существование оператора K 1, то оценку близости можно получить из более простых соображений.

Теорема 6.2. Пусть оператор К непрерывно обратим, выпол нены условия I,II,III и условия теоремы 6.1. Тогда x x n K 1 3 + + K 1 2 (2 (1 + Pn ) + 1 )(1 + 3 ) f /(1 q), где x и x решения n уравнений (6.1) и (6.2), соответственно, q определенo в теореме 6.1.

Доказательство. Так как выполнены условия теоремы 6.1, то, начиная с некоторого N, существуют непрерывные операторы Kn (n N ). Следовательно, x x = K 1 f Kn fn K 1 (f fn ) + K 1 fn Kn fn = 1 n = K 1 f fn + K 1 (Kn K)Kn fn K 1 3 (n) + K 1 Kn K Kn fn = Xn = K 1 3 (n) + K 1 Kn H Pn H + Pn H H n fn Xn K 1 3 (n) + K 1 Kn (2 (n) + 2 (n) Pn + 1 (n)) fn K 1 3 (n)+ K 1 2 (2 (n)(1+ Pn )+1 (n))(1+3 (n)) f /(1q).

6.2. Общая теория приближенных методов для обратимых справа операторов Лемма 6.1 [90]. Пусть V линейная операция из B-пространства X в B-пространство Y, и пусть для каждого y Y существует та кой x X, что V (x) y q y ;

x N y, где q 1 и N постоянные. Тогда уравнение V (x) = y (6.10) при любом y Y имеет решение x X, удовлетворяющее неравен ству N x y. (6.11) 1q Доказательство. Точное решение уравнения (6.10) построим методом исчерпывания.

Положим y1 = y. По условию найдется такое x1 X, что V (x1 ) y1 q y1 ;

Обозначим y2 = y1 V (x1 ). По y2, опять используя условие, найдем x2 так, что y2 q V (x2 ) y2 q y1 ;

Продолжая этот процесс, построим последовательности и , такие, что yk+1 = yk V (xk ), k = 1, 2. (6.12) yk q k1 y1, xk N q k1 y1. (6.13) Суммируя равенства (6.12), получаем:

yn+1 = y1 V (x1 + x2 +. + xn ), n = 1, 2. (6.14) Ряд x1 + x2 +. + xn, очевидно, сходится. Обозначая его сумму через x, имеем:

N q k1 = x xk N y y.

1q k=1 k= С другой стороны, поскольку lim yn = 0, переход к пределу в (6.14) дает 0 = y V (x), т.е. x решение уравнения (6.10), удо влетворяющее требуемому условию.

Пусть X и Y B-пространства, Xn и Yn соответственно, их подпространства. Пусть Pn линейный оператор, проектирующий Y на Yn.

Рассмотрим линейные уравнения: точное Kx = y, K B[X, Y ] (6.15) и последовательность приближенных K n x n = yn, Kn B[Xn, Yn ]. (6.16) На указанные операторы и пространства наложим следующие условия:

I. Для любого xn Xn Kn xn Pn Kxn 1 (n) xn.

II. Если x0 решение уравнения Kx = yn, то существует такое x0 Xn, что x0 x0 2 (n) x0.

n n Для простоты обозначений будем опускать индекс n.

Теорема 6.3 [12], [15]. Пусть уравнение (6.15) разрешимо при любой правой части y Y, выполнены условия I, II, причем limn 1 (n) = 0, limn 2 (n) Pn = 0. Тогда существует такое N, что при n N уравнение (6.16) имеет решение x при любой n правой части, причем x M yn /(1 q), (6.17) n 1 где M = (1 + 2 )2 K, q = 2[1 (1 + 2 ) + 2 Pn K ] K, K оператор, отображающий фактор-пространство X/X0 на Y (через X0 обозначено пространство нулей оператора K).

Доказательство. Так как оператор K отображает X на Y, Y B-пространство и, следовательно [117], множество второй кате гории в себе, то по теореме Банаха [117] оператор K осуществляет гомеоморфизм пространства X на Y. Поэтому [117] существует та кое решение x0 уравнения Kx = yn, что Kx0 = yn и x 2 K yn. Из условия II следует существование такого x0 Xn, что x0 (1 + 2 )2 K yn.

n n Нетрудно видеть, что Kn x0 yn 2[1 (1 + 2 ) + 2 Pn K ] K yn = q yn.

n (6.18) В самом деле Kn x0 yn = Kn x0 Pn Kx0 + Pn Kx0 Pn Kx n n n n 1 x0 + Pn K x0 x0. (6.19) n n Из (6.19) следует справедливость неравенства (6.18).

Так как limn 1 (n) = 0, limn 2 (n) Pn = 0, то при до статочно больших n q 1 и выполняются условия леммы 6.1, из которой следуют утверждения теоремы.

Замечание 1. Теорема 6.3 приведена в [12] без доказательства.

Подробное доказательство содержится в статье [15], принятой к печати, но до сих пор не опубликованной.

Замечание 2. В работе [23] общая теория приближенных ме тодов распространена на линейные уравнения с неограниченными операторами.

Исследуем применимость общей теории приближенных методов к приближенному решению операторных уравнений первого рода.

Рассмотрим уравнения: точное Kx = f, K B[X, X] (6.20) и последовательность приближенных Kn xn = fn = Pn f, Kn B[Xn, Xn ]. (6.21) При исследовании уравнений (6.20) и (6.21) соблюдаются следу ющие условия:

I. Для любого x X Kx Pn Kx 1 (n) x.

II. Для любого xn Xn Pn Kxn Kn xn 2 (n) xn.

III. Если x решение уравнения (6.20), то существует такое xn Xn, что x xn 3 (n) x.

Выполнение последнего условия на практике затруднительно.

Ниже доказывается утверждениe о связи между разрешимостью уравнений ( 6.20) и ( 6.21), в котором удалось отказаться от про верки условия III.

Предположим, что оператор K непрерывно обратим. В этом слу чае решение уравнения (6.20) определяется формулой 1 R(, K)df, x= 2i F (K) где R(, K) = (I K)1, F (K) контур, ограничивающий область, содержащую спектр оператора K и не содержащую нача ло координат.

При этом предполагается, что контур F (K) не содержит эле ментов спектра оператора K.

Введем уравнение K n xn Pn Kxn = fn = Pn f. (6.22) Теорема 6.4. Пусть K 1 B[X, X] и выполнены условия I и II и, кроме того, R(, K) C = const для F (K). Тогда при n таких, что выполнено неравенство q = A2 (n)(1 + (1 (n)) 1, уравнение (6.21) однозначно разрешимо при любой правой части и справедлива оценка x x A (1 (n) + 2 (n) + f fn ), где n x и x решения уравнений (6.20) и (6.21), соответственно.

n Доказательство. По обобщенной теореме Банаха при n, та ких, что q = O(1 (n)) 1, операторы R(, K n ) будут непрерывно обратимы при всех F (K). При этих же значениях n из общей теории приближенных методов в проблеме собственных значений [102] следует, что спектры операторов K n находятся в области, ограниченной контуром F (K). Следовательно, решение уравнения (6.22) имеет вид 1 R(, K n )dfn.

xn = 2i F (K) Зафиксируем произвольное и рассмотрим уравнение x + Kx = f. (6.23) Применим к этому уравнению общую теорию приближенных ме тодов ( это возможно, так как контур F (K) не проходит через начало координат). Для этого представим уравнение (6.23) в виде 1 x + Kx = f. (6.24) Так как maxF (K) N, то условия I и II общей теории при ближенных методов для уравнений второго рода выполняются для уравнения (6.24) с константами = N 1, = N 2.

1 Из теоремы Банаха следует, что при n таких, что q = O (1 (n)) 1, уравнение x + 1 Kn x = 1 f и, следовательно, уравне ние (6.22) имеет единственное решение x и справедлива оценка n x x = n = O (1 (n)), где x решение уравнения (6.20). Аналогичным образом исследуется связь между уравнениями (6.21) и (6.22). Те орема доказана.

При обосновании приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений понадобится модификация общей теории приближенных методов.

6.3. Приближенное решение уравнений, сводящихся к уравнениям второго рода Пусть X и Y банаховы пространства, Xn и Yn их подпро странства, Pn оператор, проектирующий Y на Yn. Рассмотрим точное уравнение Lx Gx + T x = f, L B[X, Y ], и аппроксимирующую его последовательность уравнений Ln xn Gn xn + Tn xn = fn, Ln B[Xn, Yn ].

На оператор G налагаются дополнительные условия: оператор G B[X, Y ] непрерывно обратим, т.е. существует ограниченный оператор G1 B[Y, X];

оператор G взаимно однозначно ото бражает подпространство Xn на подпространство Yn, т.е. G B[Xn, Yn ] и G B[Yn, Xn ].

По аналогии с условиями I III вводятся условия Ia IIIa:

Ia) для любого xn Xn Pn T xn Tn xn 1 (n) xn ;

IIa) для любого x X существует такое yn Yn, что T xyn 2 (n) x ;

IIIa) для всех y Y y yn 3 (n) y.

При сделанных относительно оператора G предположениях уравнения Lx = f и Ln xn = fn сводятся к уравнениям второго рода. Для этого достаточно воздействовать на уравнение Lx = f и Ln x = fn оператором G1. В результате приходим к уравнениям второго рода Kx x + G1 T x = G1 f (6.25) и Kn xn xn + G1 Tn xn = G1 fn. (6.26) Для доказательства разрешимости уравнений (6.25) и (6.26) до статочно воспользоваться результатами раздела 6.1. Для этого нужно проверить выполнимость условий I III. Легко устано вить связь между условиями Ia IIIa и I III. Из этой связи и теорем 6.1 и 6.2 вытекают утверждения.

Теорема 6.5 [91]. Если выполнены условия Ia, IIa, оператор L непрерывно обратим и q = (1 (n) + I Pn 2 (n)) L1 1, то оператор Ln непрерывно обратим и L1 L1 /(1 q).

n Теорема 6.6 [91]. Если выполнены условия Ia, IIa, IIIa, суще ствует непрерывный оператор L1 и уравнение (6.25) имеет ре n шение x, то x x 21 (n) L1 + (2 (n) + 3 (n) L )(1 + n n Ln Pn L ), где x решение уравнения (6.26).

n 6.4. Метод Ньютона Канторовича Пусть X, Y – банаховы пространства.

Рассмотрим уравнение Kx = 0, (6.27) где K нелинейный оператор, действующий из X в Y.

Будем считать, что оператор K имеет в некоторой окрестности начальной точки x0 производную Гато, для которой существует обратный оператор [K (x)]1.

Решение уравнения (6.27) будем искать в виде итерационных процессов: основного xn+1 = xn [K (xn )]1 K(xn ) (6.28) и модифицированного xn+1 = xn [K (x0 )]1 K(xn ). (6.29) Лемма 6.1. Пусть нелинейный оператор K в некоторой сфере S(x0, r), x x0 r, имеет производную Гато, а U – линейный оператор. Тогда для любых x1, x2 S(x0, r) выполняется неравен ство K(x2 )K(x1 )U (x2 x1 ) K (x1 + (x2 x1 ))U · x2 x1, (6.30) где 0 1.

Доказательство. Известно [117], что если K имеет производ ную Гато, то K(x2 )K(x1 ) K (x1 + (x2 x1 ))(x2 x1 ) (0 1). (6.31) Рассмотрим оператор P = K U. Подставляя P в предыдущую формулу и пользуясь линейностью оператора U и существованием производной Гато оператора K, получаем (6.31).

При доказательстве сходимости основного метода нам понадо бится следующее утверждение, принадлежащее Л. С. Раковщику.

Лемма 6.2 [138]. Пусть X и Y пространства Банаха, A, B B[X, Y ]. Если А имеет ограниченный правый обратный опе ратор A1 и если оператор B B[X, Y ] удовлетворяет условию r A1 1, то он также имеет ограниченный правый AB r обратный оператор Br и Br A1 [1 (A B)A1 ]1.

1 r r Доказательство. Лемма немедленно следует из соотношений BA1 [I + (B A)A1 ]1 = [A + (B A)]A1 [I + (B A)A1 ]1 = r r r r = [I + (B A)A1 ][I + (B A)A1 ]1 = I.

r r Здесь A)A1 ]1 (1)k [(B A)A1 ]k.

[I + (B = r r k= Следовательно, Br = A1 [I + (B A)A1 ]1, и имеет место r r приведенная в лемме оценка.

Докажем сходимость основного метода Ньютона — Канторовича.

Теорема 6.7 [12]. Пусть X и Y – банаховы пространства, и пусть выполнены условия:

2) оператор K имеет производную Гато в окрестности точки x0, и существует правый обратный оператор [K (x0 )]1 с нормой r [K (x0 )]1 = B0 ;

(6.32) r B0 3) в сфере S (q 1) выполняется условие K (x1 ) K (x2 ) q/(B0 (1 + q)).

В этом случае уравнение (6.27) имеет в S решение x, к которому сходятся приближения (6.28), и справедлива оценка x xn q n 0 B0 /(1 q).

Доказательство. Прежде всего покажем, что во всей области S существует равномерно ограниченный правый обратный оператор [K (xn )]1. В самом деле, из леммы Л.С. Раковщика следует, что r [K (xn )]1 (1 + q)B0. (6.33) r Покажем теперь, что все приближения, получаемые по формуле (6.28), где под [Kn (xn )]1 понимается правый обратный оператор для K (xn ), удовлетворяющий равенству (6.32), лежат в S. Дей ствительно, x1 x0 = [K (x0 )]1 K(x0 ) B0 0 B0 0 /(1 q), r т. е. x1 S.

Пусть уже доказано, что xm S для m n. Так как xn xn1 = = [K (x0 )]1 K(xn1 ), то по лемме 6. r xn1 xn [K (xn )]1 [K(xn )K(xn1 )K (xn1 )(xn xn1 )] r q xn xn1. (6.34) n q k B0 0, т. е. xn+1 S.

Отсюда следует, что xn+1 x k= Из (6.34) следует, что последовательность фундаменталь ная и, следовательно, существует элемент x = lim xn. Так как K(xn ) = = K (xn )(xn+1 xn ), то K(x ) = 0. Из (6.34) следует, что q n B0 x xn q k B0 0.

1q k=n Теорема доказана.

Замечание. Если решение x уравнения (6.27) входит в какую нибудь область Sn = S R(xn ), где R(xn ) – область значений оператора [K (xn )]1 (xn S), удовлетворяющего неравенствам r (6.32), (6.33), то оно единственно в этой области. В самом деле, пусть x и x Sn являются решениями уравнения (6.27). Тогда x x = [K (xn )]1 [K(x )K(x)K (xn )(x x)] q x x r x x. (6.35) Отсюда следует единственность решения в этой области.

Рассмотрим решение уравнения (6.27) модифицированным ме тодом Ньютона Канторовича.

Теорема 6.8 [12]. Пусть X и Y – банаховы пространства, и пусть выполнены условия:

2) оператор K имеет производную Гато в окрестности точки x0, и существует правый обратный оператор R(x0 ) = [K (x0 )]1 с r нормой R(x0 ) = B0 ;

3) в сфере S (q 1) выполняется условие 1q K (x1 ) K (x2 ) q/B0.

В этом случае уравнение (6.27) имеет в S решение x, к которому сходятся приближения (6.29), и справедлива оценка x xn q n 0 B0 /(1 q). Решение x единственно в пересечении S (x0 + R(x0 )).

Доказательство теоремы подобно доказательству теоремы 6.7.

7. Элементы теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений В параграфе приводятся сведения из теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений, используемые в третьей и четвертой главах. При изложении этого материала мы следуем книге [66].

7.1. Интегралы типа Коши Пусть L некоторый гладкий замкнутый контур плоскости комплексной переменной z. Под гладким контуром понимается простая (без точек самопересечения) замкнутая или незамкнутая линия с непрерывно меняющейся касательной, не имеющая точек возврата. Область, заключенную внутри контура L, будем назы вать внутренней и обозначать через D +, а область, лежащую вне контура L, будем называть внешней и обозначать через D.

Пусть f (z) функция аналитическая в области D+ и непрерыв ная в области D+ L. В теории функции комплексной переменной известна формула Коши [66] 1 f ( ) f (z), если z D+, d = (7.1) если z D.

0, 2i L z Если функция f (z) аналитическая в области D и непрерывная в области D L, то справедлива формула 1 f ( ) если z D+, f (), d = (7.2) f (z) + f (), если z D.

2i L z Положительное направление обхода контура L берется, как при нято в теории функций комплексной переменной, таким образом, чтобы область D + оставалась слева.

Рассмотрим интеграл b f ( ) J = d, a t b. (7.3) t a Известно, что этот интеграл не берется ни в смысле Римана, ни в смысле Лебега. Для того, чтобы придать интегралу (7.3) смысл, Коши ввел новый тип интегралов (так называемые интегралы в смысле главного значения по Коши). Исторически интегралы в смысле главного значения по Коши являются одним из первых методов регуляризации расходящихся интегралов. Подробнее об этом см. [69].

Определение 7.1 [66]. Главным значением по Коши особого b интеграла f ( )( c)1 d, a c b, называется предел a c b f ( ) f ( ) lim d + d.

c c a c+ Покажем, что если f (t) H (A) (0 1), то существует b интеграл f ( )( c)1 d, a c b.

a В самом деле, из определения интеграла в смысле главного зна чения по Коши следуют его однородность и аддитивность. Поэто му b b b f ( ) f ( ) f (c) d d = d + f (c). (7.4) a c c a c a Первый из интегралов в правой части предыдущего равенства есть несобственный интеграл Римана. Это следует из неравенства |f ( )f (c)|/| c| A| c| /| c| A/| c|1 и критерия Коши существования несобственных интегралов [158]. Второй интеграл из правой части равенства (7.4) по определению равен b d bc = ln.

c ac a Равенство (7.4) широко используется в теории сингулярных ин тегральных уравнений.

Определим теперь главное значение по Коши особого интеграла на криволинейном контуре. Рассмотрим интеграл f ( ) d, t L, Jf = t L где L гладкая кривая в плоскости комплексной переменной z.

Проведем из точки t контура, как из центра, окружность радиу са r, и пусть t1, t2 точки пересечения этой окружности с кривой L. Радиус r будем считать настолько малым, чтобы окружность не имела с контуром L других точек пересечения кроме t1 и t2.

Обозначим часть контура L, вырезанного окружностью, через l и f ( ) возьмем интеграл по оставшейся дуге d.

t L\l f ( ) Определение 7.2 [66]. Предел интеграла t d при r L\l 0 называется главным значением по Коши особого интеграла f ( ) t d.

L В теории краевых задач и сингулярных интегральных уравне ний широко применяются формулы Сохоцкого Племеля.

Пусть L замкнутый контур. Рассмотрим интеграл 1 ( ) (z) = d, 2i L z где функция (t) удовлетворяет условие Гельдера.

Будем обозначать предельное значение функции (z) при стрем лении точки z изнутри контура L к точке t на контуре L через + (t), а предельное значение функции (z) при стремлении точки z извне контура к точке t на контуре L через (t).

Справедливы следующие формулы, называемые формулами Со хоцкого Племеля:

1 1 ( ) + (t) = (t) + d, t L, 2 2i L t 1 1 ( ) (t) = (t) + d, t L. (7.5) 2 2i L t Формулы (7.5) часто используются и в такой форме 1 ( ) + (t) (t) = (t), + (t) + (t) = d. (7.6) i L t При исследовании приближенных методов решения полисингу лярных интегральных уравнений понадобятся формулы Сохоцкого для кратных интегралов типа Коши.

Приведем эти формулы, следуя монографии [66].

Рассмотрим интеграл 1 (1, 2 )d1 d (z1, z2 ) =, (2i)2 L (1 z1 )(2 z2 ) где H (0 1), L = 1 2, i простой гладкий замкну тый контур в плоскости комплексной переменной zi (i = 1, 2).

Контур i делит плоскость комплексной переменной zi на две + части: внутреннюю Di и внешнюю Di, i = 1, 2. Топологи ± ± ческие произведения D±± = D1 D2 называются регулярными бицилиндрическими областями.

Обозначим через ±± (t1, t2 ) предельные значения интеграла (z1, z2 ), когда точка (t1, t2 ) D±± стремится к точке (t1, t2 ) L.

Введем обозначения 1 (1, t2 ) S1 = d1, 2i 1 1 t 1 (t1, 2 ) S2 = d2, 2i 2 2 t 1 (1, 2 )d1 d S12 =.

(2i)2 L (1 t1 )(2 t2 ) Формулы Сохоцкого записываются в двух эквивалентных видах 1 ++ = ( + S1 + S2 + S12 ), = ( S1 S2 + S12 ), 4 1 + = ( S1 + S2 + S12 ), + = ( + S1 S2 + S12 ), 4 или S ++ ± + ± + + =, S ++ + ± + = S2.

При обосновании аналитических и численных методов решения краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений необходимо знать гладкость функции 1 ( ), t L, (t) = 2i L t при различных предположениях о гладкости функции (t).

В случае, если (t) H (0 1), вопрос о гладкости функции (t) решается теоремой Привалова.

Теорема Привалова [66]. Если L гладкий замкнутый кон тур и (t) удовлетворяет на L условию Гельдера с показателем (0 1), то сингулярный интеграл (t) также удовлетворяет этому условию с показателем, если 0 1, и показателем 1, если = 1. Здесь — как угодно малое положительное число.

7.2. Краевая задача Римана Прежде чем переходить к изучению теории краевой задачи Римана, напомним несколько утверждений теории функций ком плексной переменной, которыми будем часто пользоваться на про тяжении этого пункта.

Пусть L гладкий замкнутый контур, а G(t) заданная на нем непрерывная функция, не обращающаяся в нуль.

Определение 7.3. Индексом функции G(t) по контуру L на зывается разделенное на 2 приращение ее аргумента при обходе кривой L в положительном направлении.

Индекс функции G(t) записывается в виде = IndG(t) = [arg G(t)]L, где через [arg G(t)]L обозначено приращение функции G(t) при об ходе контура L в положительном направлении.

Нетрудно видеть, что 1 1 = [ln G(t)]L = d[arg G(t)] = d ln G(t) = 2 2 L 2i L 1 G (t) = dt. (7.7) 2i L G(t) Последний интеграл является логарифмическим вычетом функ ции G(t). Из формулы (7.7) и теоремы о логарифмическом вычете вытекают основные свойства индекса [66]:

1. Индекс функции, непрерывной на контуре L и нигде не обра щающейся в нуль на контуре L, есть целое число или нуль.

2. Индекс произведения функций равен сумме индексов сомно жителя. Индекс частного двух функций равен разности индексов делимого и делителя.

3. Если G(t) есть краевое значение функции, аналитической вну три или вне контура, то индекс ее равен числу нулей внутри кон тура или, соответственно, числу нулей вне контура, взятому со знаком минус.

4. Если функция G(t) аналитическая внутри контура, за ис ключением конечного числа точек, где она может иметь полюсы, то число нулей нужно заменить на разность числа нулей и числа полюсов.

Нули и полюсы считаются с учетом их кратности.

Теорема об аналитическом продолжении [66]. Пусть две области D1 и D2 граничат вдоль некоторой гладкой кривой L;

в областях D1 и D2 заданы аналитические функции f1 (z) и f2 (z).

Предположим, что при стремлении точки z к кривой L обе функ ции стремятся к предельным значениям, непрерывным на кривой L, причем эти предельные значения равны между собой. При этих условиях функции f1 (z), f2 (z) будут аналитическим продолжением друг друга.

Теорема Лиувилля (обобщенная) [66]. Пусть f (z) анали тична во всей плоскости комплексной переменной, за исключением точек a0 =, ak (k = 1, 2. n), где она имеет полюсы, причем главные части разложений функции f (z) в окрестности полюсов имеют вид:

G0 (z) = c0 z + c0 z +. + c0 0 z m0,;

в точках ak 1 2 m ck k ck ck 1 m 1 Gk = + +. +.

z ak z ak (z ak ) 2 (z ak )mk Тогда функция f (z) есть рациональная функция и может быть представлена формулой n f (z) = C + G0 (z) + Gk, z ak k= где С константа.

Постановка задачи Римана. Даны простой гладкий контур L, делящий плоскость комплексной переменной z на две части:

внутреннюю D + и внешнюю D, и две функции точек контура G(t) и g(t), удовлетворяющие условию Гельдера, причем G(t) не обращается в нуль на L. Требуется найти две функции: + (z) аналитическую в области D+ и (z) аналитическую в области D, включая бесконечно удаленную точку z =, удовлетворяю щие на контуре L уравнениям + (t) = G(t) (t) (однородная задача), (7.8) + (t) = G(t) (t) + g(t) (неоднородная задача). (7.9) Две функции + (z) и (z) можно определить как одну кусочно аналитическую функцию (z) = (+ (z), (z)).

Функция G(t) называется коэффициентом задачи Римана, а функция g(t) ее свободным членом.

Решение задачи Римана основано на решении задачи об опреде лении кусочно-аналитической функции (z) по заданному скачку.

Требуется найти кусочно-аналитическую функцию (z), исчезаю щую на бесконечности и испытывающую при переходе через кон тур L скачок (t) ((t) H, 0 1), т.е. удовлетворяющую уравнению + (t) (t) = (t). (7.10) Из формул Сохоцкого Племеля (7.5) или (7.6) следует, что решением задачи о скачке (7.10) является функция 1 ( ) (z) = d.

2i L z Если отбросить условие () = 0, то решением задачи о скач ке является функция 1 ( ) (z) = C + d, 2i L z где C = const.

Определение 7.4 [66]. Индекс коэффициента G(t) задачи Римана называется индексом задачи.

Пусть однородная краевая задача Римана (7.8) разрешима, и пусть функции + (z) и (z) ее решение. Обозначим число ну лей функции + (z) в области D+ через N +, а число нулей функции (z) в области D через N. Вычислив индекс от обеих частей равенства (7.8) и воспользовавшись тем, что индекс произведения равен сумме индексов сомножителей, имеем:

N + + N = IndG =. (7.11) Из равенства (7.11) можно сделать следующие выводы:

1) для разрешимости однородной задачи Римана необходимо, чтобы индекс задачи был неотрицательным (функции + (z) и (z) по условию полюсов не имеют);

2) если 0, то функции + (z) и (z), являющиеся решением задачи, имеют в совокупности нулей;

3) если = 0, то функции ± (z) не имеют нулей.

Эти свойства будут неоднократно использованы ниже.

Исследуем решение однородной задачи Римана отдельно для случаев, когда индекс равен нулю, больше нуля и меньше нуля.

Пусть индекс равен 0. В этом случае ln G(t) является однознач ной функцией, а функции ln + (z) и ln (z) аналитическими, соответственно, в областях D + и D. Логарифмируя краевое усло вие (7.8), имеем:

ln + (t) ln (t) = ln G(t). (7.12) Уравнение (7.12) является задачей о скачке. Решая ее, имеем:

1 ln G( ) ln (z) = d.

2i L z Поэтому 1 ln G( ) + + (z) = e (z), (z) = e (z), (z) = d. (7.13) 2 L z Функции (7.13) дают решение однородной задачи Римана в пред положении, что () = 1. Если отказаться от этого предположе ния, то однородная задача имеет бесконечное множество решений, зависящих от произвольного параметра A:

+ + (z) = Ae (z), (z) = Ae (z). (7.14) Следовательно, в этом случае имеется только одно линейно не зависимое решение. Если ищется решение, равное нулю на беско нечности ( () = 0), то однородная задача Римана имеет только тривиальное (нулевое) решение. Это замечание понадобится ниже при исследовании разрешимости сингулярных интегральных урав нений.

Кроме того, отметим важное следствие, которое широко приме няется при обосновании проекционных методов решения сингуляр ных интегральных уравнений.

Следствие 7.1 [66]. Заданную на контуре L произвольную функцию G(t), удовлетворяющую условию Гельдера, не равную нулю ни в одной точке контура L и имеющую индекс, равный нулю, можно представить в виде отношения функций + (t) и (t), явля ющихся краевыми значениями функций, аналитических в обла стях D+, D и не имеющих в этих областях нулей. Эти функции определяются с точностью до константы формулой (7.14).

Исследуем теперь случай, когда 0. Для определенности бу дем считать, что начало координат расположено в области D+.

Запишем краевое условие в виде + (t) = t (G(t)t ) (t). (7.15) Очевидно, функция G1 (t) = G(t)t имеет индекс, равный нулю.

Представим функцию G1 (t) в виде G1 (t) = + (t)/ (t), где ln(G1 ( ) ) ± ± (t) = exp( (t)), (z) = d. (7.16) 2i L z Краевое условие (7.15) эквивалентно следующему:

+ (t) (t) =t. (7.17) + (t) (t) Анализируя соотношение (7.17), нетрудно заметить, что его ле вая часть является аналитической функцией в области D+, а пра вая часть аналитической в области D всюду, за исключением бесконечно удаленной точки, в которой она имеет полюс порядка не выше. Поэтому по теореме об аналитическом продолжении левая и правая части равенства (7.16) являются ветвями одной и той же аналитической функции, единственной особенностью кото рой является полюс в бесконечно удаленной точке. Следовательно, по обобщенной теореме Лиувилля + (t) (t) =t = P (t), (7.18) + (t) (t) k tk полином степени с произвольными коэф где P (t) = k= фициентами.

Из выражения (7.18) имеем e (z) + (z) + (z) = e P (z), (z) = P (z). (7.19) z Таким образом, получено следующее утверждение.

Теорема 7.1 [66]. Если индекс однородной краевой задачи Римана положителен, то задача имеет + 1 линейно независи + мых решений + (z) = z k e (z), (z) = z k e (z), k = 0, 1.

k k Общее решение содержит + 1 произвольных постоянных и опре деляется формулой (7.19).

Из этой теоремы следует, что если индекс = 0, то однородная задача имеет одно линейно независимое решение.

Если индекс 0, то однородная задача не имеет решений, отличных от тривиального.

Перейдем к исследованию неоднородной краевой задачи Римана.

Для удобства исследования введем каноническую функцию од нородной задачи.

Определение 7.5 [66]. Порядком аналитической функции (z) в некоторой точке z0 называется показатель низшей степени в раз ложении (z) в ряд по степеням (z z0 ). Отметим, что в окрест ности бесконечно удаленной точки разложение проводится по сте пеням 1/z.

Определение 7.6 [66]. Канонической функцией однородной за дачи Римана называется кусочно-аналитическая функция, удовле творяющая краевому условию (7.8) и имеющая нулевой порядок всюду в конечной части плоскости комплексной переменной. В бес конечно удаленной точке ее порядок будет равен.

Записывая краевое условие задачи Римана в виде + (t) = t [t G(t)] (t) и повторяя проведенные выше при решении однородной задачи рассуждения, получаем каноническую функцию:

+ X + (z) = e (z), X (z) = z e (z), где (z) определено формулой (7.16).

После этих предварительных замечаний переходим к исследова нию неоднородной задачи Римана. Представив коэффициент зада чи G(t) в виде G(t) = X + (t)/X (t), приведем уравнение (7.9) к виду + (t) (t) g(t) =++.

X + (t) X (t) X (t) Воспользовавшись теоремой Привалова, можно показать, что функции X ± (t) удовлетворяют условию Гельдера, и так как X + (t) = 0 на контуре L, то функция g(t)/X + (t) также удовлетво ряет условию Гельдера. Поэтому эту функцию можно представить в виде g(t) 1 g( ) d = + (t) (t), где (z) =.

X + (t) 2i L X + ( ) z Тогда краевое условие можно записать в виде + (t) (t) (t) = (t).

+ (7.20) X + (t) X (t) Исследуем полученное равенство при различных значениях.

Пусть 0. Левая часть равенства (7.20) является функцией аналитической в области D+, а правая часть является функцией аналитической в области D всюду, за исключением бесконечно удаленной точки, в которой она имеет полюс порядка. Следова тельно, по обобщенной теореме Лиувилля + (t) (t) + (t) = (t) = P (t).

X + (t) X (t) Отсюда следует решение (z) = X(z)[(z) + P (z)], (7.21) где P (z) полином степени с произвольными коэффициентами.

Очевидно, формула (7.21) дает общее решение неоднородной за дачи Римана, так как в ней содержится решение X(z)P (z) одно родной задачи.

Рассмотрим теперь случай, когда 0. В этом случае функ ция (z)/X (z) равна нулю на бесконечности и, следовательно, равенство (7.20) имеет вид + (z) (z) + (z) = 0.

(z) = X + (z) X (z) Отсюда следует, что (z) = X(z)(z). (7.22) В выражении (z) = X (z) (z) множитель X (z) имеет на бесконечности полюс порядка, а множитель (z) (как инте грал типа Коши) имеет на бесконечности нуль первого порядка.

Следовательно, функция (z) имеет на бесконечности полюс по рядка не выше чем 1. Таким образом, если = 1, то не однородная задача разрешима и ее решение единственно, а если 1, то неоднородная задача в общем случае неразрешима.

Для ее разрешимости необходимо, чтобы функция (z) в окрест ности бесконечно удаленной точки имела нуль 1 порядка. Для этого необходимо, чтобы первые 1 коэффициента разложения функции (z) в ряд Тейлора в окрестности бесконечно удаленной точки 1 g( ) k ck z k, (z) = ck = d, 2i L X + ( ) k= были бы равны нулю: ck = 0, k = 1, 2. 1.

Тогда решение неоднородной задачи выражается формулой (7.22).

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 7.2 [66]. В случае 0 неоднородная задача Римана разрешима при любом свободном члене и ее общее решение дается формулой G( ) d X(z) (z) = + X(z)P (z), 2i L X + ( ) z где X(z) каноническая функция, а P (z) полином степени с произвольными комплексными коэффициентами. Если = 1, то неоднородная задача также разрешима и имеет единственное решение. В случае 1 неоднородная задача в общем случае неразрешима. Для того, чтобы она была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы свободный член задачи удовлетворял условиям ck = 0, k = 1, 2. 1. При выполнении последних единственное решение задачи дается предыдущей формулой, где нужно положить P (z) 0.

7.3. Сингулярные интегральные уравнения Приведенные выше методы решения краевой задачи Римана оказываются полезными при исследовании сингулярных инте гральных уравнений (с.и.у.) на замкнутом контуре L b(t) h(t, )x( ) Kx a(t)x(t) + d = f (t). (7.23) i L t При исследовании с.и.у. вида (7.23), как правило, выделяют ха рактеристический оператор b(t) x( ) K 0 x a(t)x(t) + d, b(t) = h(t, t) i L t и вполне непрерывный оператор h(t, ) h(t, t) Hx = x( )d.

t L Вначале исследуем разрешимость характеристического уравне ния b(t) x( ) K 0 x a(t)x(t) + d = f (t). (7.24) i L t Одним из методов решения характеристических уравнений является его сведение к краевой задаче Римана.

Введем кусочно-аналитическую функцию, заданную интегралом типа Коши, плотностью которого служит искомое решение харак теристического уравнения 1 x( ) (z) = d.

2i L z Используя формулы Сохоцкого Племеля, имеем:

1 x( ) x(t) = + (t) (t), = + (t) (t). (7.25) 2i L t x( ) их значения Подставляя в уравнение (7.24) вместо x(t) и 2i t L по формуле (7.25), приходим к краевой задаче:

+ (t) = G(t) (t) + g(t), (7.26) где a(t) b(t) f (t) G(t) =, g(t) =.

a(t) + b(t) a(t) + b(t) Так как решение уравнения (7.24) ищем в виде интеграла типа Коши (z), который на бесконечности равен нулю, то решение краевой задачи (7.26) ищем при дополнительном условии () = 0. (7.27) Индекс коэффициента G(t) краевой задачи Римана (7.26) назы вается индексом сингулярного интегрального уравнения (7.24).

Нормальным (не исключительным) случаем уравнения (7.24) называется случай [125], когда коэффициент G(t) соответствую щей краевой задачи Римана не обращается на контуре L в нуль или бесконечность. Исключительным случаем сингулярного ин тегрального уравнения называется случай [125], когда соответ ствующий коэффициент G(t) обращается в нуль или бесконеч ность на контуре L. Нетрудно видеть, что в нормальном случае a2 (t) b2 (t) = 0 на L.

Повторяя рассуждения, проведенные при решении краевой за дачи Римана, и учитывая условия (7.27), приходим к следующему утверждению.

Теорема 7.3 [66]. Если 0, то однородное уравнение K = 0 имеет линейно независимых решений. Если 0, то однородное уравнение имеет только тривиальное (нулевое) реше ние. Если 0, то неоднородное уравнение разрешимо при любой правой части g(t) и его общее решение зависит от произвольных постоянных. Если 0, то неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть f удовлетворяет условиям k (t)f (t)dt = 0, L где k (t) = z(t)1 tk1, z(t) = [a(t) + b(t)]X + (t) = [a(t) b(t)]X (t).

Рассмотрим теперь общее сингулярное интегральное уравнение b(t) x( ) d + h(t, )x( )d = f (t). (7.28) Kx a(t)x(t) + i L t L В настоящее время неизвестны методы решения полных сингу лярных интегральных уравнений вида (7.28) в замкнутой форме.

Их исследование проводится с помощью методов регуляризации, подробное изложение которых дано в [66], [125].

Результатом этого исследования являются теоремы Нетера.

Теорема I. Число решений сингулярного интегрального урав нения (7.28) конечно.

Теорема II. Необходимым и достаточным условием разреши мости сингулярного интегрального уравнения (7.28) является вы полнение равенства f (t)j (t)dt = 0, j = 1, 2. n, где j (t), L j = 1, 2. n, полная система линейно независимых решений союзного однородного уравнения K = 0, где 1 b( )( ) K a(t)(t) d + h(, t)( )d.

i L t L Теорема III. Разность числа n линейно независимых решений особого уравнения Kx = 0 и числа n линейно независимых реше ний союзного уравнения K = 0 зависит лишь от характеристи ческой части оператора K и равна ее индексу, т.е. n n =.

8. Краткий обзор методов решения интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма 8.1. Аналитические методы решения интегральных уравнений Вольтерра Линейные интегральные уравнения Вольтерра первого и второ го рода определяются, соответственно, как функциональные урав нения вида t Hx (t s) h(t, s)x(s)ds = f (t) (8.1) и t Kx x + Hx x(t) + (t s) h(t, s)x(s)ds = f (t), (8.2) где f (t) данная функция, ядро h(t, s) определено в области D := <(t, s) : 0 s t b>, x(t) неизвестная функция, 0 1.

Отметим, что при любых (0 1) оператор Hx линейный оператор, действующий из C[0, b] в C[0, b].

Первые работы по интегральным уравнениям видов (8.1) и (8.2) датируются началом XIX в. В статьях [162] и [163], опубликован ных в 1823 и 1826 гг., Н. Х. Абель показал, что решение задачи о таутохроне сводится к интегральному уравнению (8.1), у которого h(t, s) 1, = 1/2. Задача о таутохроне формулируется следу ющим образом. Материальная точка под действием силы тяже сти движется в вертикальной плоскости x0y по некоторой кривой.

Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точ ка, начав свое движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой у, достигла оси х за время t = f (y), где функция f (y) задана заранее. Н. Х. Абель получил решение уравнения (8.1) при h(t, ) 1 и произвольном (0 1) в замкнутой форме dt x(t) = c2 < (t s)1 f (s)ds>, 0 t b. (8.3) dt Здесь c = (sin())/. В случае если f C 1 [0, b] и f (0) = 0, то имеется пара взаимообратимых формул t t x(s)ds = f (t), x(t) = c (t s)1 f (s)ds.

(t s) (8.4) 0 Позднее Ж. Лиувилль, которому, по-видимому, были неизвест ны работы Н. Х. Абеля, вновь получил решение уравнения (8.1) при h(t, s) 1 и 0 1.

Более общее уравнение первого рода, у которого функция (t s) заменена ядром a(t s), где cj t j, a(t) = t j=0 (1 + j ) c0 = 1, гамма — функция, было решено в замкнутой форме Н. Я. Сониным [195].

Формулы (8.3) и (8.4), полученные Н. Х. Абелем и Ж. Лиувил лем, возобновили интерес к исследованию дробного дифференци рования и интегрирования, история которых восходит к Лейбницу и Эйлеру. Mетоды дробного дифференцирования и интегрирова ния подробно изложены в книге [140], в которой имеется обширная библиография, охватывающая весь период развития этого напра вления.

История собственно уравнений Вольтерра обычно исчисляется с 1896 г, когда В. Вольтерра была опубликована общая теория уравнений (8.1) [197]. В. Вольтерра для исследования разрешимо сти уравнения (8.1) при = 0 привел его к уравнениям второго рода вида (8.2). Для этого уравнение (8.1) дифференцированием по переменной t сводилось к уравнению t h(t, t)x(t) + ht (t, )x( )d = f (t) (8.5) и в предположении, что h(t, t) = 0 на сегменте [a, b], делением обеих частей уравнения (8.5) на h(t, t) сводилось к уравнению (8.2).

Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения с применением рядов Чебышева Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бесаева Зарина Вячеславовна, Хубежты Шалва Соломонович

Предлагается новый метод приближенного решения сингулярных интегральных уравнений с применением рядов Чебышева . Коэффициенты разложения находятся с помощью решения систем линейных алгебраических уравнений. В отдельных условиях дается обоснование вычислительной схемы и оценки погрешности . Приводятся результаты расчетов для некоторых тестовых задач.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Бесаева Зарина Вячеславовна, Хубежты Шалва Соломонович

Approximate Solution of a Singular Integral Equation Using Chebyshev Series

A new method of approximate solution of singular integral equations with application of Chebyshev series is offered. Decomposition coefficients are determined by means of the solution of systems of simple algebraic equations. A justification of the constructed computational scheme is given and error estimate is deduced. The method is illustrated by test examples.

Текст научной работы на тему «Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения с применением рядов Чебышева»

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 4, С. 15-22

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ РЯДОВ ЧЕБЫШЕВА

3. В. Бесаева, Ш. С. Хубежты

Предлагается новый метод приближенного решения сингулярных интегральных уравнений с применением рядов Чебышева. Коэффициенты разложения находятся с помощью решения систем линейных алгебраических уравнений. В отдельных условиях дается обоснование вычислительной схемы и оценки погрешности. Приводятся результаты расчетов для некоторых тестовых задач.

Ключевые слова: сингулярный интеграл, ряд Чебышева, аппроксимация интеграла, оценка погрешности, ортогональный многочлен.

В работе рассматриваются сингулярные интегральные уравнения первого рода на отрезке с определенной весовой функцией. Сингулярные уравнения такого типа имеют широкое применение в задачах теории трещин, теории упругости, электродинамики, аэродинамики, что подчеркивает важность разработки численных методов их решения.

Наиболее ранней работой в этом направлении является работа М. А. Лаврентьева [1], в которой одна практическая задача гидродинамики сводится к сингулярному интегральному уравнению и обосновывается определенный численный метод решения таких уравнений. Про эту работу Н. И. Мусхелишвили в своей книге [2, с. 352] пишет: «Дальнейшая разработка этого и аналогичных методов приближенного решения сингулярных интегральных уравнений является, как мне кажется, одной из важнейших очередных задач теории этих уравнений». После этого рядом исследователей были разработаны различные методы численного решения сингулярных интегральных уравнений, одним из которых является «метод дискретных особенностей», предложенный С. М. Белоцерковским и обоснованный его учеником К. И. Лифановым 3.

Указанный метод до сих пор является одним из актуальных методов в теории приближений. Отметим, что этот метод дает приближенные значения решения в конечном числе точек. Во многих случаях требуется получить аналитическое приближение решения, годное на всем отрезке. К этому типу методов принадлежат методы, связанные с многочленами Чебышева.

В настоящей работе впервые предлагается метод с применением рядов Чебышева [5, с. 322] для приближенного решения сингулярных уравнений на отрезке интегрировния. Суть метода заключается в том, что задача решения сингулярного интегрального уравнения, после замены плотности рядом Чебышева, сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов данного решения. После нахождения коэффициентов разложения С\, С2. Сп, приближенное решение получается в аналитическом виде, что позволяет найти значения неизвестной функции во всех точках отрезка [-1; 1].

© 2016 Бесаева 3. В., Хубежты Ш. С.

2. Ряды Чебышева

Рассмотрим функцию /, определенную на отрезке [-1,1] и принимающую действительные либо комплексные значения. Предположим, что на этом отрезке ее можно разложить в ряд по многочленам Чебышева первого рода, т. е. существуют постоянные ао, . такие, что

Известно, что многочлены Чебышева Т(х) = еоз^агссовх) (1 = 0,1. ) ортогональны на отрезке [—1,1] с весом (1 — ж2)» и

Умножая обе части равенства (1) на (1 — ж2) ж) и интегрируя по отрезку [—1,1], получаем следующие формулы для коэффициентов ряд a (1):

ак = — (1-х2) 2 f(x)Tk(x)dx, к = 0,1.

Отсюда с помощью подстановки ж = cos t получаем равносильную, и часто более выгодную формулу

Q>k[f] = — /(cosí) cos ktdt, к = 0,1.

Величину [/ ] назовем к-.м коэффициентом Чебышева функции /, а ряд

— рядом Чебышева функции f. Здесь символ Y1 определяется формулой

у] a,j = -ai + аг+1 + . + ат, rri^l. j=i

3. Вычислительная схема для решения сингулярного интегрального уравнения

Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение вида

I [ + 1 [ к(х,г)М*) Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Тогда вместо (11) будем иметь систему линейных алгебраических уравнений порядка п х п:

Решение системы (12) относительно неизвестных С1, С2. Сп дает нам приближенное решение уравнения (2) в виде

4. Обоснование вычислительной схемы и оценка погрешности

Пусть X — пространство функций ^>(i) G Hr(а). Норма в пространстве X определяется формулой

где k„(x,t) — полином наилучшего равномерного приближения степени n — 1 по переменной x к функции k(x,t). Нетрудно видеть, что

h ^Сп^.ЖхШ^пЬ Ь^СпЦРг^-ШХШФА.

К(рп — Kra¥>J Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Приведем несколько простых примеров, иллюстрирующих изложенный выше метод. Пример 1. Рассмотрим уравнение

1 1 — / , 1 • ей + — / ; 1 • (ж + г) М) (И = х -1 -1

с дополнительным условием

— I , 1 • (*), 1 / 1 , / \ 7 3

— / , ■ ей + — / , ■ ж + £ (¿) ей = —

с дополнительным условием

— / , • ей + — / , • ж + ^ т м = -х

тгУ ^г^ ¿-ж тгУ уТ^Т5 ^ ; ^ 2 -1 -1

с дополнительным условием

т. е. Со = т?. Точное решение з(*) = С1 ■ 1 + С2Ь + Сз (2Ь2 — 1) = 0,4999999 + (6, 698393 ■ 10_8) Ь + 0, 5000001(2Ь2 — 1) » Ь2.

Вычисления проводились на языке QBasic с использованием метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Очевидно, что погрешность для всех |e(i)| ^ 0, 2 ■ 10-6. Эти численные результаты показывают, что выше изложенная вычислительная схема реализуется хорошо.

1. Лаврентьев М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы // Тр. ЦАГИ.—1932.— Вып. 118.—С. 3-56.

2. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.—М.: Наука, 1968.—511 с.

3. Велоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях.—М.: Наука, 1985.—252 с.

4. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент.—М.: Янус, 1995.-520 с.

5. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева.—М.: Наука, 1983.— 384 с.

6. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов.—М.: Наука, 1967.—500 с.

7. Хубежты Ш. С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и некоторые их применения.—Владикавказ: ЮМ II ВНЦ РАН, 2011.—232 с.

8. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены.—М.: Наука, 1979.—406 с.

9. Натансон И. 17. Конструктивная теория функции.—M.-JL: ГИФМЛ, 1949.—688 с.

10. Канторович Л. В., Акилов Г. 17. Функциональный У НУЛЮ. —М.: Наука, 1984.—750 с.

Статья поступила 30 марта 2015 г. Бесаева Зарина Вячеславовна

Юго-Осетинский государственный университет им. А. А. Тибилова, преподаватель кафедры математики ЮЖНАЯ ОСЕТИЯ, 100001, г. Цхинвал, Московская, 8 E-mail: besaeva85@mail.ru

Хубежты Шалва Соломонович

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,

профессор кафедры математического анализа

РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 40;

Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН,

ведущий научный сотрудник отдела математического моделирования

РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22

E-mail: shalva57@rambler. ru

APPROXIMATE SOLUTION OF A SINGULAR INTEGRAL EQUATION USING CHEBYSHEV SERIES

Besaeva Z. V., Khubezhty S. S.

A new method of approximate solution of singular integral equations with application of Chebyshev series is offered. Decomposition coefficients are determined by means of the solution of systems of simple algebraic equations. A justification of the constructed computational scheme is given and error estimate is deduced. The method is illustrated by test examples.

Key words: singular integral, Chebyshev series, approximation of integral, error estimation, orthogonal polynomial, coefficient of expansion.

Метод дискретных особенностей в применении к решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений

• Conference: VI International Conference «The problems of dynamics of interaction of deformable media»
• At: Goris-Stepanakert, Armenia-NKR

Abstract

Discover the world’s research

• 20+ million members
• 135+ million publications
• 700k+ research projects

Join for free

	БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ