Решение систем дифференциальных уравнений методом адамса

Курсовая работа: Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

Кафедра вычислительной математики и программирования

Пояснительная записка к курсовому проекту

«Решение систем дифференциальных уравнений при

помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка»

1. Постановка задачи

2. Описание математических методов решения

3. Описание используемого метода

4. Описание блок-схемы

5. Описание программы

6. Анализ результатов

Бурное развитие в последнее десятилетие информационных технологий и компьютерной техники способствует возникновению всё более сложных математических задач, для решения которых без применения численных методов требуется значительное время. Очень часто перед специалистом возникают задачи, не требующие абсолютно точного решения; как правило, требуется найти приближенное решение с заданной погрешностью. Наряду с совершенствованием компьютерной техники происходит процесс совершенствования и численных методов программирования, позволяющих за минимальный отрезок времени получить решение поставленной задачи с заданной степенью точности.

Одной из таких задач является решение систем дифференциальных уравнений. Обыкновенными дифференциальными уравнениями можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей и т. д. Ряд физических задач может быть сведён к решению дифференциальных уравнений или системы дифференциальных уравнений. Задача решения системы дифференциальных уравнений имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, она является вспомогательной задачей при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований. Поэтому для инженеров крайне важно грамотно находить решение этой задачи.

1. Постановка задачи

Необходимо решить с заданной степенью точности задачу Коши для системы дифференциальных уравнений на заданном интервале [a,b]. Добиться погрешности на втором конце не более 0,0001. Результат получить в виде таблицы значений приближенного и точного решений в точках заданного интервала. Построить графики полученных решений и сравнить их с точным решением.

– система дифференциальных уравнений вида:

– интервал, на котором ищется решение: [a,b]

– погрешность, с которой ищется решение: е

– формулировка задачи Коши в начальной точке заданного интервала: u(a)=u, v(a)=v

– количество узлов сетки, для которой формируется таблица значений приближенного и точного решений системы: nx

– шаг вывода на экран значений искомых функций в узлах заданной сетки: np

– таблица значений приближенного и точного решений в узлах заданной сетки;

– графики полученных и точных решений.

2. Описание математических методов решения задачи

Конкретная прикладная задача может привести к дифференциальному уравнению любого порядка или к системе таких уравнений. Произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно привести к некоторой эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Среди таких систем выделяют класс систем, разрешённых относительно производной неизвестных функций:

(2.1)

Дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений имеет бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.

Первый тип – это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения в некоторой точке a должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции u1(a),…, um(a):

u1(a)=,…, um(a)= (2.2)

Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале xÎ[a,b], то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала.

Третий тип задач для систем дифференциальных уравнений – это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций u1(x),…, um(x) в уравнения входят дополнительно n неизвестных параметров l₁ , l₂ , . l_n , которые называются собственными значениями. Для единственности решения на интервале [a,b] необходимо задать n + m граничных условий.

Рассмотрим подробнее задачу Коши. Воспользуемся компактной записью задачи (2.1), (2.2) в векторной форме:

(2.3)

Требуется найти на интервале [a,b].

Задачу Коши удобнее всего решать методом сеток. Метод сеток состоит в следующем :

1) Выбираем в области интегрирования упорядоченную систему точек a=x1

#pragma resource «*.dfm»

char *opz(char *); // ф-ия преобразования в обратную польскую запись;

double fpr(char *str,double u, double v,double x); // обратныйходпольской

int p=1,s=1,j=1,o=0; // записи;

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

void __fastcall TForm1::N5Click(TObject *Sender)

void __fastcall TForm1::Button3Click(TObject *Sender)

void __fastcall TForm1::N7Click(TObject *Sender)

void __fastcall TForm1::N2Click(TObject *Sender) // очисткаформы

Лабораторная работа по выч. математике №4 «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса»

CАНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Лабораторная работа по выч. математике №4

«Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выполнил: Припадчев Артём

Задание: составить подпрограмму для решения ОДУ первого порядка используя многошаговый метод Адамса. Разгонные точки вычислить методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Вычисление правых частей реализовать отдельной подпрограммой. Найти решение заданного уравнения с точностью e, контролируя точность на каждом шаге вычислений, построить график решения.

Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона, можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка — широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.

В формуле Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла используются значения подинтегрального выражения в трех точках. В интеграле их всего две, поэтому введем дополнительную точку в середине отрезка [xi+1 xi]

тогда можно переписать так:

Полученное выражение является неявным, так как в правой части содержатся еще не определенные значения функции yi+h/2 и yi+1. Чтобы воспользоваться этой формулой, надо использовать некоторое приближение для вычисления этих значений

При использовании различных методов приближенного вычисления этих величин, получаются выражения для методов Рунге-Кутты различного порядка точности.

Алгоритм Рунге-Кутты третьего порядка — РК3 (погрешность порядка h3):

(6.8)

Алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка — РК4 (погрешность порядка h4):

(6.9)

Алгоритмы третьего и четвертого порядков требуют на каждом шаге трех и четырех вычислений функции соответственно, но являются весьма точными.

Рассмотренный ранее метод Рунге-Кутты использует значение функции на одном предшествующем шаге, поэтому они относятся к так называемым одношаговым методам. Точность вычислений можно увеличить, если использовать при нахождении решения в некотором узле xi информацию о значениях функции, полученных в нескольких (k) предыдущих узлах сетки интегрирования (xi-1, xi-2 … xi-k).

Если используются значения в k предыдущих узлах, то говорят о k-шаговом методе интегрирования уравнения. Одним из способов построения многошаговых методов заключается в следующем. По значениям функции, вычисленным в k предшествующих узлах, строится интерполяционный полином степени (k-1) — , который используется при интегрировании дифференциального уравнения по выражению (6.3). Интеграл при этом выражается через квадратурную формулу:

,

где лl – квадратурные коэффициенты.

Очевидно, что при k=1 в качестве частного случая получается формула Эйлера. Значения квадратурных коэффициентов для k от 2 до 4 приведены в таблице.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

Работу выполнил студент гр.И-29 Уханов Е.В.

Кафедра “Системы и Процессы Управления”

“ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ”

Во многих областях науки и техники , а также отраслях наукоемкой промышленности , таких как : авиационная , космическая , химическая , энергетическая , — являются весьма распространенные задачи прогноза протекания процессов , с дальнейшей их коррекцией .

Решение такого рода задач связано с необходимостью использования численных методов , таких как : метод прогноза и коррекции , метод Адамса-Башфорта , метод Эйлера , метод Рунге-Кута , и др. При этом , стоит задача решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методов интегрирования , на произвольном промежутке времени . Одним из оптимальных методов дающих высокую точность результатов – является пяти точечный метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта . Для повышения точности метода используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага , что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования .

Разработка программных средств реализующих расчет точного прогноза протекания процессов , является важнейшей вспомогательной научно-технической задачей .

Целью данной курсовой работы является разработка алгоритма решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта .

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :

А = 010.gif» /> , Подставим в (2.1.1) точное решение y ( x ) , и проинтегрируем это уравнение на отрезке 016.gif» /> где в последнем член предполагаем , что p ( x ) полином , аппроксимирующий f ( x , y ( x )) . Чтобы построить этот полином , предположим , что 020.gif» /> — приближения к решению в точках 022.gif» /> . Будем считать для начала , что узлы Xi расположены равномерно с шагом h . тогда fi = f ( xi , yi ), ( i = k , k -1, k -2,…, k — N ) есть приближения к f ( x , y ( x )) в точках где в свою очередь 044.gif» /> — малое конкретное значение , при невыполнении условия которого увеличивается шаг h = h * N а является методом Адаиса-Моултона [2] , именно им мы воспользовались в формуле (2.1.9) – коррекции спрогнозированной точки в трех шаговом методе . Если N =2 , то p – кубический полином , построенный по точкам Стоит обратить внимание , что в целом этод метод является явным . Сначало по формуле Адамса-Башфорта вычисляется значение064.gif» /> , являющееся “прогнозом” . Затем 065.gif» /> используется для вычисления приближенного значения A = Заданная матрица размером NxN ; Составить систему :