Решение систем дифференциальных уравнений с комплексными числами

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Дифференциальные уравнения
• Высшая математика.
• Комплексные числа

Комплексные числа

Действия над комплексными числами.

Комплексные числа — числа вида $x+iy,$ где $x,y\in \mathbb$ а
$\,i,$ такое число, что $ i^2=-1.$ Множество комплексных чисел
обозначается $\mathbb.$

Действия над комплексными числами.

Сложение комплексных чисел:

Умножение двух комплексных чисел:

Умножение комплексного числа на действительное:

$$\lambda(x+iy)=\lambda x+i\lambda y.$$

Деление комплексных чисел:

Действительные числа $x$ и $y$ комплексного числа $z=x+iy,$ называются действительной и мнимой частью числа $z$ и обозначаются, соответственно, $Re z=x$ и $Im z=y.$

Два комплексных числа $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ называются равными в том и только том случае, если $x_1=x_2,$ $y_1=y_2.$

Запись $z=x+iy$ называют алгебраической формой комплексного числа $z.$

Числа $z_1=x+iy$ и $z_2=x-iy$ называют сопряженными.

Примеры:

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:

1.421. $(2+3i)(3-i).$

Решение:

Ответ: $9+7i.$

1.424. $(2i-i^2)^2+(1-3i)^3.$

Решение.

Ответ: $24+22i.$

Решение.

Ответ: $\frac<1><2>-\frac<3><2>i.$

Решение.

Ответ: $\frac<14><5>i.$

Найти действительные решения следующего уравнения:

1. 430. $(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i.$

Решение.

Ответ: $x=2; y=3.$

Домашнее задание.

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:

1.422. $(1+2i)^2.$

Ответ: $-3+4i.$

1.423. $(1-i)^3-(1+i)^3.$

1.427. $\left(\frac<1-i><1+i>\right)^3.$

Найти действительные решения следующего уравнения:

1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$

Решить следующие системы линейных уравнений:

1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$

$(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$

1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$

$(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Множество действительных чисел можно рассматривать как подмножество комплексных чисел, у которых $Im z = 0.$

Можно также изображать комплексное число в виде радиус-вектора $\$ и определять его, задавая его длину $r$ и угол $\varphi$ между осью $Ox$ и вектором.

Длина этого вектора называется модулем комплексного числа $$|z|=r=\sqrt\geq 0,$$ а угол $\varphi$ называется аргументом комплексного числа и обозначается $Arg z.$ Аргумент определяется с точностью до слагаемого $2\pi k\,\,\,\,\, (k=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, . )$ и для положительных значений отсчитывается от оси $Ox$ до вектора против часовой стрелки, а для отрицательных значений – по часовой стрелке.

Значение аргумента, который принадлежит интервалу $(-\pi, \pi],$ называется главным значением аргумента и определяется $arg z.$ Главное значение аргументу числа $x+iy$ можно вычислять по формуле $\varphi= arg z=arctg\left(\frac\right)+k\pi,$ где $k=0,$ если $z$ находится в первой или четвертой четвертях, $k=1,$ если $z$ находится во второй четверти, $k=-1,$ если $z$ находится в третей четверти. Если $x=Rez=0,$ то $\varphi=\pi/2,$ когда $y=Imz>0$ и $\varphi=-\pi/2,$ когда $y=Imz плоскость называется комплексной плоскостью C (рисунок 1), ось $Ox$ называется действительной осью, а ось $Oy$ – мнимой осью. Таким образом, действительному числу $z=x+0i=x$ отвечает точка на действительной оси, а мнимому числу $z=0+iy=y -$ точка на мнимой оси.

Формулы Эйлера и Муавра. Корень n-й степени с комплексного числа.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Формулы Эйлера:

Формула Муавра:

Если $z=re^, $ то $$z^n=r^ne^,$$ или, в тригонометричской форме:

$$z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$$

Пусть $a=re^, \,\, a\neq 0,-$ фиксированное комплексное число. Тогда уравнение $z^n=a,\,\,\, n\in N,$ имеет в точности $n$ различных решений $z_0, z_1, . z_$ причем эти решения даются формулой $$z_k=\sqrt[n]e^+\frac<2\pi>k\right)>=\sqrt[n]\left(\cos\frac<\varphi+2\pi k>+i\sin\frac<\varphi+2\pi k>\right),$$ $$k=0, 1, . , n-1.$$ (здесь $\sqrt r$ действительное положительное число) Числа $z_k, \,\, k=0, 1, . n-1,$ называются корнями $n-$й степени из комплексного числа $a$ и обозначаются символом $\sqrt[n].$

Примеры:

1.483. Доказать формулу Эйлера $\cos\varphi=\frac+e^<-i\varphi>><2>.$

Решение.

Известно, что $e^=\cos<\varphi>+i\sin\varphi.$ Соответственно, $e^<-i\varphi>=\cos<(-\varphi)>+i\sin(-\varphi)=\cos\varphi-i\sin\varphi.$

Отсюда находим $e^+e^<-i\varphi>=\cos\varphi+i\sin\varphi+\cos\varphi-i\sin\varphi=2\cos\varphi.$

Cледовательно, $\cos\varphi=\frac+e^<-i\varphi>><2>.$ Что и требовалось доказать.

Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:

1.485. $(1+i)^<10>.$

Решение.

Запишем число $z=1+i$ в показательной форме:

Поскольку число $z$ находится в первой четверти, то

Таким образом, мы можем записать число $z=1+i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^<4>>.$

Теперь, используя формулу Муавра можно найти $z^<10>:$

Ответ: $(1+i)^<10>=32i.$

1.491. Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ функцию$\cos 3\varphi.$

Решение.

$$+\left.\cos^3(-\varphi)-3i\cos^2(-\varphi)\sin(-\varphi)+3i^2\cos(-\varphi)\sin^2(-\varphi)-i^3\sin^3(-\varphi)\right)=$$ $$=\frac<1><2>\left(\cos^3<\varphi>+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)\right.-i\sin^3\varphi+$$ $$+\left.\cos^3\varphi+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)-i\sin^3\varphi\right)=$$ $$=\cos^3\varphi+3i\sin\varphi-3i\sin^3\varphi-3\cos\varphi+3\cos^3\varphi-i\sin^3\varphi=$$ $$=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$$

Ответ: $4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$

1.495. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.

Решение.

Запишем число 1 в показательной форме:

$1=1e^<0i>.$ То есть $r=1, \varphi=0.$

Далее, пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:

Вычисляем корень третьей степени из единицы:

Вычисляем корень четвертой степени из единицы:

Ответ: Корни второй степени: $z_0=1;\,\, z_1 =-1.$ Корни третьей сепени: $z_0=1;\,\, z_1=-\frac<1><2>+i\frac<\sqrt 3><2>;\,\, z_2=-\frac<1><2>-i\frac<\sqrt 3><2>.$ Корни четвертой степени: $z_0=1;\,\, z_1=i;\,\, z_2=-1;\,\, z_3=-i.$

Найти все значения корней:

Решение.

Запишем число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме:

Поскольку число $z$ находится во второй четверти, то

Таким образом, мы можем записать число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме: $z=2 e^<3>>.$

Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:

Ответ: $\pm\frac<\sqrt 2><2>(1+i\sqrt 3)$

1.501. $\sqrt [5]<-1-i>.$

Решение.

Запишем число $z=-1-i 3$ в показательной форме:

Поскольку число $z$ находится в третьей четверти, то

Таким образом, мы можем записать число $z=-1-i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^<4>>.$

Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:

1.483. Доказать формулу Эйлера $\sin\varphi=\frac-e^<-i\varphi>><2i>.$

Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:

Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ следующие функции: