Решение систем иррациональных уравнений 11 класс

Урок алгебры в 11-м классе по теме «Методы решения иррациональных уравнений»

Разделы: Математика

Цели и задачи урока:

Развивающие: Активизация мыслительной деятельности учащихся. Развитие познавательной активности и интереса к предмета.

Воспитательные: Развитие культуры математической речи при ответах на вопросы и при объяснении решения уравнений; зрительной памяти; внимательности и самостоятельности; творческого отношения к выполнению заданий.

Тип урока: Комбинированный.

Формы методы и педагогические приемы: Фронтальная беседа, комментирование решений, устная проверочная работа, создание проблемных ситуаций, дифференцированная самостоятельная работа, подготовка и защита плакатов с методами решения иррациональных уравнений, работа с учебником.

Оборудование: Магнитная доска, откидные доски, тетради, чистые листы, раздаточный материал (карточки с вариантами самостоятельной работ), плакаты с решениями иррациональных уравнений методом возведения в степень и замена переменных.

1. Организационный момент.
2. Работа с учебником, и устный опрос в форме фронтальной беседы.
3. Защита плакатов.
4. Устная проверочная работа.
5. Решение уравнений.
6. Самостоятельная работа.
7. Итоги урока.
8. Домашнее задание.

Работа с учебником: Учитель предлагает еще раз вспомнить понятие иррационального уравнения, примеры их решения (образцы в тексте), какими методами решали уравнения, какими понятиями при этом пользовались.

Устный опрос в форме фронтальной беседы с целью проверки теоретических знаний:

1. Что такое уравнение? [Уравнение – это равенство двух алгебраических выражений].
2. Что называется корнем уравнения? [Корнем уравнения называется, то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство].
3. Что значит решить уравнение? [Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней].
4. Какие уравнения называются равносильными? [Два уравнения равносильны на множестве, если они имеют одни и те же корни из этого множества или не имеют корней на данном множестве].
5. Какие уравнения называют иррациональными уравнениями? [Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называют иррациональными уравнениями].
6. Каковы методы решения иррациональных уравнений? [Часто используемый прием решения иррациональных уравнений – это возведение в степень (чаще всего возведение в квадрат). Другой метод – это метод замены переменных].

Решить уравнение

Решение: I способ : Возведем обе части уравнения в квадрат.

Проверка: 1) х=0, то (неверно);

2) х=3, то (верно)

№2 Метод замены переменных.

Решить уравнение

Решение: Пусть t=

Значит, 2=

Ответ: 6

Плакаты ученики делали дома на ватмане. Прикрепив плакат на магнитной доске учащиеся поочередно защищают свой метод решения иррациональных уравнений.

Учащиеся задают вопросы докладчикам.

Почему при решении уравнения на плакате №1 в 1 способе поставлен всюду знак

(следствия), и в другом способе знак (равносильности)?[ Уравнение х 2 +5х+1=(2х-1) 2 имеет 2 корня – х₂=0, х₂=3, а уравнение имеет только один корень х=3, следовательно уравнения не равносильны и каждая следующая запись является следствием предыдущей в первом способе решения.

Во втором способе решения областью определения уравнения является множество чисел х0,5, а число х=3 принадлежит этому множеству, значит все переходы, равносильны.

2. Почему при решение уравнения не делали проверку корня?

[ Так как все переходы при решении уравнения равносильны, то проверка корня не требуется].

Устная проверочная работа: На откидной доске учителем заранее записаны задания

иррациональным?

2. Какие из чисел 5; 0;-3 являются корнями уравнений?

а) [x=0]

б) [x=5]

3. Решите уравнения

1) [x=83]

2) [x=±5]

3) [O]

4) [x=±3]

5) х-6 [x=9]

6) [x=5]

7) lg([-12)=0, [O]Ответы и комментарии:

Нет, потому что в нем переменная х не содержится под знаком корня или дробной степени.

Каждое из чисел надо подставить вместо переменной х в каждое из уравнений. Если равенство будет равным, то число является решением уравнения, если равенство неверно, то число является решением иррационального уравнения.

Возведем обе части уравнения в квадрате

х-2=81х=83 и выполним проверку (верно).

х 2 =25х=±5

Уравнение решений не имеет, т.к. корень четной степени не может быть отрицательным числом.

Возведем обе части уравнения в третью степень 1-х 2 =-8; х 2 =9; х=±3.

Корень уравнения легко найти подбором, это число 9, т.к. 9-6+9=0.

Возведем обе части уравнения в квадрат и решим показательное уравнение

Если то х=11, тогда lg(-1), чего быть не может, т.к. логарифмы отрицательных чисел не определены.

Решение иррациональных уравнений на доске и в тетрадях.

На доске заранее учителем записаны следующие уравнения:

1. ;

2.

3.

4. ;

Решение: Обе части уравнения возведем в квадрат и учтем область определения уравнения, при этом будем использовать знак .

Вопрос учителя: Почему область определения уравнения записана не равенством х>11, а не х11? [При х=11 знаменателем дроби равен 0, а на 0 делить нельзя].

2.

Решение: Так как под знаком записаны одинаковые выражения, то удобно применить метод замены.

Пусть тогда Решая квадратное уравнение относительно переменной Z, получим Z₁=5; Z₂=-2. Учитывая область определения уравнения х 2 +5х+1>0, заметим, что при Z=5 25+25+1>0 (да), а при Z=-2 4-10+1>0 (неверно), то Z₂=-2 посторонний корень. Вернемся к переменной х,

х₁=3; х₂=-8.

Проверка: х=3, (верно)

х=-8, (верно)

3.

Решение: Решим уравнение методом замены переменных.

Пусть тогда Чтобы составить вопрос уравнения с переменными и , возведем обе части уравнений в квадрат 3х+1=u 2 и 3х-6= 2 , заметим, что 3х+1-3х+6=7, т.е. u 2 — 2 =7. Получили систему уравнений относительно переменных u и , решаем ее:

Возвращаемся к переменной х.

; (или )

3х+1=163х=15х=5

(3х-6=93х=15х=5)

Проверка:

Комментарий учителя: некоторые учащиеся выбрали другой способ решения – возведения в квадрат, но он приводит к громоздким вычислениям, поэтому метод замены в данном уравнении более удачный.

4.

Решение: Уединим в левой части уравнения и возведем обе части уравнения в квадрат.

Д=19 2 -4*84=25; х₁= х₂= 7.

х=12, (неверно)

х=7, (верно)

х=12 – посторонний корень

5.

Решение: Будем использовать метод возведения обеих частей уравнения в нечетную третью степень, при котором посторонние корни не появляются.

6.

Решение: Обе части уравнения возведем в квадрат и запишем область определения данного уравнения.

На данном этапе урока наблюдалась ошибка при возведении двучлена в квадрат. Например: (х-7) 2 =х 2 -49, а надо (х-7) 2 =х 2 -14х+49. При выборе метода решения в уравнении №4 многие предпочитают метод возведения в квадрат, что не рационально.

Каждый учащийся получает карточку с одним из трех вариантов. Первый вариант для слабоуспевающих учеников, второй и третий для более успешных учащихся.

Решите уравнения: а)

б)

в) х-

Решите уравнения: а)

б)

в)

Решите уравнения: а)

б)

в)

Решения уравнений из самостоятельной работы. См. в приложении №1.

1) Перечислите методы решения иррациональных уравнений.
2) В чем заключается смысл каждого метода?
3) Оценки за урок.

Урок алгебры в 11 классе на тему «Методы решения иррациональных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Ж ердецская Юлия Николаевна

Учитель математики высшей категории СОШ № 24,

Урок алгебры в 11 классе

Тема: «Методы решения иррациональных уравнений».

Форма проведения: семинар, работа в группах по 5-6 человек (в каждой группе обязательно есть сильные ученики).

Цели и задачи урока:

Обучающие: обобщить знания учащихся по данной теме, продемонстрировать различные методы решения иррациональных уравнений, показать умение учащихся подходить к решению уравнений с исследовательской позиции.

Развивающие: формирование навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие логического мышления, алгоритмической культуры.

Воспитательные: воспитание самостоятельности учащихся, умения выслушивать других и умения общаться в группах, повышения интереса к предмету.

Тип урока: Применение теоретических знаний, умений и навыков к решению иррациональных уравнений различными методами.

Форма урока: Семинар-практикум: работа в группах.

Методы: фронтальная беседа, комментирование решений, устная проверочная работа, защита творческой домашней работы, дифференцированная самостоятельная работа.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, кодоскоп, кодопозитивы, диск CD , раздаточный материал для самостоятельной работы с дифференцированными заданиями.

Наглядность: таблица «Решение иррациональных уравнений», плакаты «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит»., «я слышу-я забываю,я вижу-я запоминаю,я делаю-я понимаю»

Творческое задание №1. (За 2 недели до занятия. Работа в 3 группах).

Решить различные иррациональные уравнения, взятые из сборников ЕНТ 2003-2010 гг., из сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы

Творческое задание №2. (За одну неделю до занятия. Индивидуальная работа.)

Решить уравнение различными способами. Оценить достоинства и недостатки каждого способа. Оформить задание в виде презентации.

В течение выполнения творческого задания провести (по необходимости) консультации для учащихся, у которых возникают вопросы по заданию.

План проведения урока:

Сообщение темы и цели урока.

Презентация исследовательской работы учащихся «Анализ методов решений иррациональных уравнений».

Защита творческого задания № 2.

Устная проверочная работа (теория и упражнения)

Сообщение темы и цели урока.

Презентация исследовательской работы, проводится двумя ученицами, на тему «Анализ методов решения иррациональных уравнений».

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой

,

возведем обе части уравнения в квадрат

,

возведем обе части уравнения в квадрат.

По теореме Виета:

Значит, число 42 не является корнем уравнения.

Значит, число 2 является корнем уравнения.

1. Понятно 1. Словесная запись

2. Доступно 2. Громоздкая проверка иногда занимает

много времени и места

При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и туже степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает громоздкой и занимает много времени. Этот метод можно использовать для несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.

Метод равносильных преобразований

По теореме Виета:

1. Отсутствие словесного описания 1. Громоздкая запись

2. Нет проверки 2. Можно ошибиться при комбинации знаков

3. Четкая логическая запись системы и совокупности и получить

4. Последовательность равносильных неверный ответ

При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности не редко приводят к ошибкам. Однако, последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными плюсами данного способа.

Функционально графический метод

+=4,

.

Рассмотрим функции и .

1). у = — степенная функция.

Найдем область определения функции D ( x ).

.

Составим таблицу значений х и у:

2). у =4 — — степенная функция.

Найдем область определения функции D ( x ).

.

Составим таблицу значений х и у:

Построим данные графики функции в одной системе координат.

4 y

1 2 3 4 5 6

Графики функции пересекаются в точке с абсциссой х=2.

1. Наглядность 1. Словесная запись

2. Если ответ точный, то не нужна проверка. 2. Ответ может быть приближенным, не

Функционально графический метод – это наглядный метод, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.

Метод введения новых переменных

+=4.

Введем новые переменные, обозначив ,

Получим первое уравнение системы: a + b =4.

Составим второе уравнение системы:

Получим систему двух рациональных уравнений, относительно а и b :

по теореме Виета:

Вернемся к переменной х:

1. Этот метод для данного уравнения 1.Словесное описание.

не рационален. 2. Громоздкое решение.

Метод введения новых переменных и переход к системе рациональных уравнений для данного уравнения не рационален. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаками корня.

Итак, ребята, значит, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее рациональный способ решения: понятный, доступный, логически грамотно оформленный.

Ребята, поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:

а) методу возведения обеих частей уравнения в одну и туже степень с проверкой;

б) методу равносильных переходов;

в) функционально графическому методу;

г) методу введения новых переменных?

Защита творческого домашнего задания «Применение методов решения иррациональных уравнений». В ходе этого этапа каждый учащийся должен записать в свою тетрадь все примеры, предложенные другими группами и решить дома.

Рассмотрим решение иррациональных уравнений, для которых метод введения новой переменной наиболее рационален.

2х 2 – 6х + +2=0

Рассмотрим решение иррациональных уравнений, решаемых возведением в степень корня.

Рассмотрим решение иррациональных уравнений нестандартными способами: метод ОДЗ и функциональный метод.

(Перед началом занятия учащиеся групп №1 и №2 записали на доске предложенные ими способы решения, учащиеся группы №3 записали на кодопозитиве.)

а) Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и недостатки, делает вывод. Учащиеся других групп делают дополнения, если это необходимо. Оценивается анализ и вывод, какой группы будет наиболее четким и полным.

Устная проверочная работа.

А) фронтальная беседа:

Что такое уравнение? [Уравнение – это равенство двух алгебраических выражений].

Что называется корнем уравнения? [Корнем уравнения называется, то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство].

Что значит решить уравнение? [Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней].

Какие уравнения называются равносильными? [Два уравнения равносильны на множестве, если они имеют одни и те же корни из этого множества или не имеют корней на данном множестве].

Какие уравнения называют иррациональными уравнениями? [Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называют иррациональными уравнениями].

Каковы методы решения иррациональных уравнений? [Часто используемый прием решения иррациональных уравнений – это возведение в степень (чаще всего возведение в квадрат). Другой метод – это метод замены переменных].

Б) проверочная работа:

1. Является ли уравнение иррациональным:

1+х

2х— 5=0

Какие из чисел 5; 0; -3 являются корнями уравнений:

5. Самостоятельная работа

Каждый учащийся получает карточку с одним из 3х вариантов: гр.А, В, С. Первый вариант для слабоуспевающих учеников, второй и третий для более успешных учащихся.

(х-5)(х+2)

х-

6.Итоги урока и рефлексия.

Решение иррациональных уравнений требует от учащихся хороших теоретических знаний,

умений применять их на практике, требует внимания, трудолюбия, сообразительности.

Оценки за урок. Рефлексия.

Заполнив таблицу, отразите в ней уровень успешности владения темой урока.

Отобразите свое настроение по завершению урока смайлом.

Домашнее задание. Решить задания, которые защищали учащиеся из других групп.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 203 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 19.03.2016
• 684
• 0

• 19.03.2016
• 2494
• 1

• 19.03.2016
• 1026
• 3

• 19.03.2016
• 3293
• 11

• 19.03.2016
• 2626
• 7

• 19.03.2016
• 1661
• 0

• 19.03.2016
• 4433
• 96

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 19.03.2016 1609
• DOCX 254 кбайт
• 11 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Жердецская Юлия Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 11 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 7517
• Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3