Решение систем иррациональных уравнений с параметрами

Решение иррациональных уравнений и систем уравнений с параметром

Иррациональными уравнениями называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала (корня) или под знаком возведения в дробную степень. При этом, степень корня может быть произвольной.

В России появится перечень разрешённых электронных образовательных ресурсов

К 1 января в России появится перечень электронных ресурсов, разрешенных к использованию в школах. Об этом в интервью «Российской газете» рассказала глава Комитета Госдумы по просвещению Ольга Казакова.

Госслужащих заставят сдавать экзамен по русскому языку

Чиновников скоро заставят сдавать экзамен на знание русского языка и умение говорить на нем правильно, красиво, без канцелярита. Об этом сообщила ректор Государственного института русского языка имени Пушкина, член Совета при президенте РФ по русскому языку Маргарита Русецкая.

Пробный вариант ЕГЭ-2022 по русскому языку

Соответствует демоверсии ЕГЭ-2022. Вариант составлен на основе заданий открытого банка ФИПИ.

Системы иррациональных, логарифмических и показательных уравнений

, зав. кафедрой математики ДВГГУ

Системы иррациональных, логарифмических и показательных уравнений

Традиционно в контрольные измерительные материалы для проведения единого государственного экзамена по математике включаются задачи позволяющие проверить умения выпускников решать различные системы уравнений. Как правило, это системы из двух уравнений с двумя переменными. Уравнения, входящие в систему могут быть как алгебраическими, в том числе иррациональными, так и трансцендентными. В рамках этой статьи рассмотрим основные методы решения систем с двумя переменными иррациональных, логарифмических и показательных уравнений.

Прежде чем непосредственно переходить к методам решения систем уравнений напомним основные определения и свойства различных функций, которые могут входить в уравнения системы.

Напомним, что два уравнения с двумя неизвестными образуют систему уравнений, если ставится задача о нахождении таких значений переменных, которые являются решениями каждого из уравнений.

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется упорядоченная пара чисел, при подстановке которых в систему вместо соответствующих переменных, получаются верные числовые равенства.

Решить систему уравнений – означает найти все ее решения.

Процесс решения системы уравнений, как и процесс решения уравнения, состоит в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от данной системы к более простой. Обычно пользуются преобразованиями, которые приводят к равносильной системе, в этом случае не требуется проверка найденных решений. Если же были использованы неравносильные преобразования, то обязательна проверка найденных решений.

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Следует отметить, что

1. Все корни четной степени, входящие в уравнения, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.

2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. При этом корень отрицателен, если подкоренной выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если подкоренное выражение положительно.

Функции y = и y = являются возрастающими на своей области определения.

При решении систем иррациональных уравнений используются два основных метода: 1) возведение обеих частей уравнений в одну и туже степень; 2) введение новых переменных.

При решении систем иррациональных уравнений первым методом следует помнить, что при возведении обеих частей уравнения, содержащего корни четной степени, в одну и туже степень, получается уравнение, которое является следствием первоначального, в связи с этим, в процессе решения могут появиться посторонние корни. При решении иррациональных уравнений часто используется формула = f(x), применение которой в случае четного n может привести к расширению области определения уравнения. По этим (и по другим) причинам при решении иррациональных уравнений в большинстве случаев необходима проверка найденных решений.

Рассмотрим примеры решения систем иррациональных уравнений различными методами.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Чтобы избавиться от иррациональности введем новые переменные. Пусть ……………………… (1),

тогда первоначальная система примет вид: . Решая полученную систему, например методом подстановки находим: . Подставим найденные значения в систему (1), получим: . Возведя обе части первого уравнения в квадрат, второго – в четвертую степень, получим систему: , откуда находим:

Нетрудно убедиться в том, что найденное решение последней системы является решением исходной системы.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. 1. Из второго уравнения системы имеем: . Подставим в первое уравнение системы вместо правую часть равенства, получим: или ………………………..(2). Введем новую переменную: положим …………………….(3) и подставим в уравнение (2), получим квадратное уравнение от переменной : . Находим корни этого уравнения, например, по теореме Виета: . Корень является посторонним, так как через обозначили арифметический корень. Подставим, в (3), получим . Возведем обе части уравнения в квадрат и выразим : .

Подставим, полученное выражение во второе уравнение первоначальной системы: . Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, при этом, чтобы не расширить область допустимых значений полученного уравнения, потребуем, чтобы ………………………………(4).

; .

В силу (4) корень является посторонним.

Найдем значение у при : .

Нетрудно убедиться в том, что пара (0; 4) является решением первоначальной системы уравнений.

Пример 3. Решить систему уравнений:

Решение. 1. Заметим, что правая часть первого уравнения должна быть неотрицательной, т. е. .

2. Возведем обе части первого уравнения в квадрат, получим уравнение: . Тогда система примет вид: . Из первого уравнения системы находим значения . Подставим их во второе уравнение и найдем значения переменной :

.Так как найденные значения не удовлетворяют неравенству , пара (10; 5) не является решением первоначальной системы.

.Эта пара значений удовлетворяет неравенству . Нетрудно убедиться в том, что найденная пара чисел является решением первоначальной системы.

Для успешного решения показательных и логарифмических систем уравнений, вспомним определение и свойства логарифма.

Логарифмом числа b по основанию а, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Основные свойства логарифмов:

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) .

4) = ; 9)

5) = ;

Перечислим основные свойства показательной и логарифмической функций:

1) Область определения функции , где — всё множество действительных чисел; функции , где — множество положительных действительных чисел.

2) Множество значений функции — множество положительных действительных чисел; функции — всё множество действительных чисел.

3) Промежутки монотонности: если обе функции возрастают; если — обе функции убывают.

Замечание. В соответствии со вторым свойством, при решении логарифмических уравнений необходимо либо выяснять область допустимых значений уравнения, либо после решения делать проверку.

Показательным называется трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в показатель степени некоторых величин. При решении показательных уравнений используются два основных метода:

1) переход от уравнения ……….(1) к уравнению ;

2) введение новых переменных.

Иногда приходится применять искусственные приемы.

Первый метод решения показательных уравнений основан на следующей теореме:

Если , то уравнение равносильно уравнению .

Перечислим основные приемы сведения показательного уравнения к уравнению вида (1).

1. Приведение обеих частей уравнения к одному основанию.

2. Логарифмирование обеих частей уравнения (если они строго положительные) по одинаковому основанию.

Замечание. Логарифмировать можно, вообще говоря, по любому основанию, но обычно логарифмируют по одному из оснований степеней, входящих в уравнение.

3. Разложение левой части уравнения на множители и сведение уравнения к совокупности нескольких уравнений вида (1).

Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент логарифма.

При решении логарифмических уравнений используются два основных метода:

1) переход от уравнения к уравнению вида;

2) введение новых переменных.

Замечание. Так как область определения логарифмической функции только множество положительных действительных чисел, при решении логарифмических уравнений необходимо либо находить область допустимых значений уравнения (ОДЗ), либо после нахождения решений уравнения делать проверку.

Решение простейшего логарифмического уравнения вида

……(1)

основано на следующем важном свойстве логарифмов:

логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному отличному от единицы основанию равны тогда и только тогда, когда равны эти числа.

Для уравнения (1) из этого свойства получаем: — единственный корень.

Для уравнения вида …………..(2)

получаем равносильное уравнение .

Пример 4. Найдите значение выражения , если пара является решением системы уравнений .

Решение. 1. Исходя из области определения логарифмической функции получаем требования .

2. Так как уравнения системы содержат логарифмы по двум разным основаниям, перейдем к одному основанию 3: . Воспользовавшись свойствами логарифмов, получим систему: . По определению логарифма имеем: . Из второго уравнения системы получаем значения . Учитывая условие , делаем вывод что — посторонний корень. Из первого уравнения последней системы находим значение при : . Таким образом пара (9; 3) является единственным решением первоначальной системы уравнений.

3. Найдем значение выражения

Пример 5. Найдите наибольшую сумму , если пара является решением системы уравнений .

Решение. Имеем систему показательных уравнений. Особенностью этой системы является то, что неизвестные находятся как в показателе степени, так и в ее основании. Первым шагом при решении таких систем обычно стараются оставить неизвестные только в показателе степени.

В нашем случае это нетрудно сделать, выразив из второго уравнения системы: . Подставим полученное выражение для в первое уравнение системы, получим: . Получили показательное уравнение от одной переменной.

Воспользуемся свойствами степени: . В уравнение входят степени с двумя разными основаниями. Стандартным приемом перехода к одному основанию является деление обеих частей уравнения на одну из степеней с наибольшим показателем. В нашем случае разделим, например, на , получим показательное уравнение: . Стандартным методом решения такого вида показательного уравнения является замена переменной. Пусть (замечаем, что на основании свойств показательной функции, значение новой переменной должно быть положительным), тогда получим уравнение . Находим корни этого уравнения ; . Решаем совокупность двух уравнений: . Получаем: ; .

Из уравнения находим соответствующие значения переменной :

; . Таким образом, пары и являются решениями первоначальной системы.

Найдем суммы вида и выберем из них наибольшую, которая очевидно равна 3.

Рассмотрим несколько примеров «комбинированных» систем уравнений в которые входят уравнения различных видов: иррациональные, логарифмические, показательные.

Пример 6. Решить систему уравнений

Решение. 1. На основании свойств логарифмической функции, имеем ,

2. Преобразуем систему, воспользовавшись свойствами степени и логарифма:

3. Второе логарифмическое уравнение системы содержит одинаковые логарифмы, рациональным методом решения таких уравнений является метод замены переменной. Пусть (1), тогда второе уравнение системы примет вид: . Решим это дробно-рациональное уравнение, учитывая, что . Получим: ; . Воспользуемся равенством (1) и выразим через .

При , , откуда . Подставим это выражение в первое уравнение последней системы: . Решим это уравнение: , так как должен быть положительным, то это посторонний корень; , тогда из равенства , получаем .

При , , откуда . Подставим это выражение в первое уравнение последней системы: . Мы уже нашли, что , следовательно равен нулю может быть только второй сомножитель произведения: . Найдем корни этого уравнения: . Очевидно, что — посторонний корень. Следовательно, еще одним решением системы является пара .

Ответ: ; .

Пример 7. Решить систему .

Решение. 1. Отметим, что система смешанного типа, состоит из логарифмического и иррационального уравнений. Учитывая область определения логарифмической функции, имеем: ; ……………….(1)

Область допустимых значений иррационального уравнения определять не будем, чтобы не тратить время на решение системы неравенств, которая при этом получиться. Но тогда обязательно, когда найдем значения переменных, необходимо сделать проверку.

2. Воспользовавшись свойствами логарифма преобразуем первое уравнение системы:

Таким образом, из второго уравнения системы мы выразили одну переменную через другую.

3. Подставим во второе уравнение системы вместо переменной ее выражение через , получим иррациональное уравнение от одной переменной, которое будем решать возведением обеих частей в квадрат:

Найдем корни квадратного уравнения: .

Учитывая, что , найдем значения переменной : .

4. Учитывая (1) делаем вывод, что — постороннее решение. Следовательно, пара чисел (3; 5) не является решением первоначальной системы. Пара чисел (1; 3) удовлетворяет условию (1). Непосредственной проверкой убеждаемся, что эта пара удовлетворяет и второму уравнению системы.

Пример 8. Решить систему

Решение. 1. Рассмотрим второе уравнение системы. Чтобы избавиться от иррациональности, уединим квадратный корень и возведем обе части уравнения в квадрат:

Рассмотрим это уравнение как квадратное, относительно переменной : и найдем его корни: ; .

2. Обе части первого уравнения прологарифмируем по основанию 3, тем самым мы избавимся в уравнении от показательных функций по разным основаниям: .

3. Учитывая найденные выражения для переменной , решим две системы уравнений:

А) и Б) .

А) Подставим выражение для в первое уравнение системы, получим: . Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: . Тогда из второго уравнения системы имеем: . Таким образом, пара является решением системы А). Непосредственно проверяем, что эта пара удовлетворяет второму уравнению первоначальной системы.

Б) Подставим выражение для в первое уравнение системы, получим: . Тогда из второго уравнения системы имеем: . Таким образом, пара является решением системы Б). Непосредственно проверяем, что эта пара удовлетворяет второму уравнению первоначальной системы.

Ответ: ;

Задания для самостоятельного решения

1. Решить систему

2. Решить систему

3. Найти , если

4. Решить систему

5. Решить систему

6. Решить систему

Различные методы решения иррациональных уравнений с параметрами

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Различные методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений с параметрами.

Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами.

Далее в работе различные способы решения иррациональных уравнений с параметрами будем разбирать на конкретных примерах.

х — = 1 (1)

Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.

Перепишем исходное уравнение в виде:

= х – 1 (2)

При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:

Особое значение: а = 0,5.

при а > 0,5 х_1,2 = 0,5 (1 ± );

Так как левая часть равенства отрицательна, то х₁ не удовлетворяет исходному уравнению.

Подставим х₂ в уравнение (2):

Проведя равносильные преобразования, получим:

Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:

Имеем истинное равенство при условии, что

Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х₂ может быть корнем уравнения (1) при а > 0,5, следовательно, х₂ – корень уравнения при а ≥1.

;

Изобразим график:

;

Если , то нет решений;

Если , то

Если , то ;

Если , то 1 – решение.

= 2 x — 1

x ₁ =

x ₂ =

Рассмотрим функцию f ( x )=4 x ²-8 x +1- a

уравнение имеет 2корня.

уравнение имеет 1 корень.

D a a =3 или a -2 уравнение имеет 1 корень x = 1 или x = ;

Если -3 a X ₁= ;

X ₂= .

D /4 = 16 – 4(1 – а) = 16 – 4 + 4а

Если а > -3, то D > 0.

Система имеет два решения:

а > -3

Единственное решение, если

½ ( 2 — ) ½

½ ( 2 + ) ≥ ½

> 1

≥ -1

Если a a =3 или a -2 уравнение имеет 1 корень x = 1 или x = ;

Если -3 a X ₁= ;

X ₂= .

Краткое описание документа:

Методы решения иррациональных уравнений с параметрами.

Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами.

Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.

Перепишем исходное уравнение в виде:

2 х2 – 2х + (1 — а) = 0, D = 2а – 1.

Особое значение: а = 0,5.

1. при а > 0,5 х1,2 = 0,5 (1 ± );

2. при а = 0,5 х = 0,5;

3. при а 1. при подстановке х = 0,5 в уравнение (2), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х=0,5 не является решением (2) и уравнения (1).

2. при подстановке х1 = 0,5 ( 1 ± ) в (2) получим:

-0,5 (1 + ) = – ( 0,5 ( 1 — ))2

Так как левая часть равенства отрицательна, то х1 не удовлетворяет исходному уравнению.

3. Подставим х2 в уравнение (2):

Проведя равносильные преобразования, получим:

Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:

Имеем истинное равенство при условии, что

Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х2 может быть корнем уравнения (1) при а > 0,5, следовательно, х2 – корень уравнения при а ≥1.

· Если , то нет решений;

· Если , то 1 – решение.

Рассмотрим функцию f ( x )=4 x ²-8 x +1- a

уравнение имеет 2корня.

уравнение имеет 1 корень.

3. D уравнение не имеет корней.

· Если a =3 или a -2 уравнение имеет 1 корень x = 1 или x = ;

D /4 = 16 – 4(1 – а) = 16 – 4 + 4а

• Если а D • Если а = -3, то D = 0.

х1 = х2 = 4 / 4 = 1

• Если а > -3, то D > 0.

· Система имеет два решения:

· Единственное решение, если

· Если a =3 или a -2 уравнение имеет 1 корень x = 1 или x = ;

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 575 831 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

04.02.2015
1580
17

04.02.2015
1675
10

04.02.2015
14692
51

04.02.2015
52253
108

04.02.2015
1363
0

04.02.2015
766
3

04.02.2015
1735
10

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

04.02.2015 978
DOCX 74.3 кбайт
5 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Синкина Ольга Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 7 лет
Подписчики: 0
Всего просмотров: 6671
Всего материалов: 9

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

источники:

http://pandia.ru/text/78/063/98374.php

http://infourok.ru/razlichnye_metody_resheniya_irracionalnyh_uravneniy__s_parametrami-364994.htm