Решение систем линейных уравнений методом исключения

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на для этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную:

Второй столбец умножим на третий столбец — на -ый столбец — на и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение не изменится:

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е.

Определение: Определитель называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Проанализируем полученные формулы:

• если главный определитель системы отличен от нуля (), то система имеет единственное решение;
• если главный определитель системы равен нулю (), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( или , или, . или ), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
• если все определители системы равны нулю (), то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке)

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

Воспользуемся формулами Крамера

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных матpицы-столбцы неизвестных и свободных коэффициентов

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу к матрице А, получим в силу того, что произведение найдем Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы

Найдем матрицу (см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Запишем обратную матрицу (в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид:

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Разделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Разделим все элементы третьей строки на (-3), получим Таким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если то среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, среди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Очевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство для определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

• Скалярное произведение и его свойства
• Векторное и смешанное произведения векторов
• Преобразования декартовой системы координат
• Бесконечно малые и бесконечно большие функции
• Критерий совместности Кронекера-Капелли
• Формулы Крамера
• Матричный метод
• Экстремум функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Метод исключения — сведение системы ДУ к одному уравнению

Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.

Введением новых функций

это уравнение заменяется нормальной системой уравнений

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система уравнений первого порядка

эквивалентна одному уравнению порядка . На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений — метод исключения .

Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:

Здесь — постоянные коэффициенты, а и — заданные функции; и — искомые функции. Из первого уравнения системы (1) находим

Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (2), а вместо производную от правой части (2), получаем уравнение второго порядка относительно

где — постоянные. Отсюда находим . Подставив найденное выражение для и в (2), найдем .

Пример 1. Проинтегрировать систему уравнений

Решение. Из первого уравнения системы (3) находим , тогда

Подставляя (4) во второе уравнение системы (3), получаем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

Общее решение уравнения (5)

Находя производную по от (6), получаем

Общее решение системы (3):

Пример 2. Решить задачу Коши для системы

Решение. Из второго уравнения системы (7) находим

Подставляя (9) и (10) в первое уравнение системы (7), получаем уравнение , общее решение которого

Подставляя (11) в (9), найдем . Общее решение системы (7)

При начальных условиях (8) из (12) получим систему уравнений для определения

решая которую, найдем . Подставляя эти значения и в (12), получаем решение поставленной задачи Коши:

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Из первого уравнения системы находим

Подставляя эти выражения для и во второе уравнение, получаем

Считая , из последнего уравнения имеем и после интегрирования получим . Теперь легко находим

Общее решение данной системы

Замечание. Не всякая система дифференциальных уравнений может быть сведена к одному уравнению более высокого порядка. Например,

не сводится к одному уравнению второго порядка. Ее общее решение .

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса

Решение систем линейных алгебраических уравнений

методом исключения Гаусса

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

(1)

или в матричной форме , где A – матрица коэффициентов при неизвестных, b – вектор свободных членов, x – вектор неизвестных.

Найдем решение СЛАУ (1) методом исключения Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса.

Пусть Разделим первое уравнение системы (1) на , получим

(2)

Преобразуем СЛАУ (1) следующим образом: 1-е уравнение оставим без изменения; из 2-го уравнения вычтем уравнение (2), умноженное на ; из 3-го уравнения вычтем уравнение (2), умноженное на и т. д. То есть сделаем все элементы 1-го столбца матрицы коэффициентов при неизвестных А за исключением равными нулю. Получим

(3)

Назовем элемент ведущим. Пусть теперь . Беря этот элемент в качестве ведущего и выполняя преобразование, аналогичное преобразованию (1) в (3), сделаем равными нулю все элементы 2-го столбца в матрице коэффициентов при неизвестных в СЛАУ (3) для i>2 и т. д. В итоге вместо (1) получим СЛАУ

(4)

или , где U – верхняя треугольная матрица, то есть матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Преобразование СЛАУ (1) в (4) называется прямым ходом метода Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса

СЛАУ (4) легко решается, начиная с последнего уравнения.

(5)

или , (5′)

Нахождение решения по формулам (5) называется обратным ходом метода Гаусса.

Метод Гаусса и его модификации является одним из наиболее эффективных методов решения СЛАУ.

Пример: решить СЛАУ

Составим расширенную матрицу

Получим эквивалентную СЛАУ

(b)

Переход от (a) к (b) завершает прямой ход метода Гаусса. Обратный ход:

Ответ:

1. Если в процессе прямого хода ведущий элемент окажется равным нулю, то следует поменять уравнения местами так, чтобы на главной диагонали в качестве ведущего оказался ненулевой элемент. Если окажется, что диагональный и все стоящие в столбце ниже него элементы равны нулю, то это означает, что данная СЛАУ является вырожденной (определитель матрицы коэффициентов при неизвестных равен нулю). Вырожденная СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет их бесконечное множество.

2. Если ведущий элемент мал, то деление на него приводит к большим ошибкам округления. Этого позволяет избежать метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам (или по строкам, или по всей матрице).
При выборе главного элемента по столбцам строки расширенной матрицы переставляются так, чтобы на главной диагонали (то есть в качестве ведущего) оказался наибольший из элементов (при ) данного столбца, стоящих на диагонали и выше.

3. Общее число операций при решении СЛАУ методом Гаусса пропорционально , где n – число уравнений. При решении СЛАУ методом Крамера (с помощью определителей) требуется порядка операций.

Вычисление определителя методом Гаусса

При выполнении операций прямого хода метода Гаусса величина определителя матрицы A не меняется. При каждой перестановке строк или столбцов матрицы знак определителя меняется на противоположный. Таким образам,

,

где U – верхняя треугольная матрица, которая получается из матрицы коэффициентов A в результате выполнения прямого хода метода Гаусса; k – суммарное число перестановок строк и столбцов в процессе выполнения прямого хода.

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана

В методе Жордана при решении СЛАУ исключаются как элементы, стоящие ниже ведущего, так и элементы, стоящие выше ведущего в данном столбце матрицы А коэффициентов при неизвестных. Кроме того, все элементы строки матрицы, содержащей ведущий элемент, делятся на него. При этом после выполнения прямого хода матрица А приводится к единичной матрице и обратный ход становится не нужным. Решение СЛАУ получается в расширенной матрице на месте свободных членов. Однако, при решении СЛАУ метод Жордона несколько медленнее метода Гаусса. Но он быстрее метода Гаусса при нахождении обратной матрицы.

Пусть дана матрица А и нужно найти обратную к ней. Имеем

.

Соотношение (*) фактически представляет собой совокупность n СЛАУ с одной и той же матрицей А коэффициентов при неизвестных, где в качестве неизвестных берутся элементы столбцов обратной матрицы , а в качестве свободных членов – соответствующие столбцы единичной матрицы. Решим все эти СЛАУ одновременно методом Жордана. Изложение проведем на примере нахождения обратной матрицы для матрицы

.

Составим расширенную матрицу и выполним прямой ход методом Жордана. Умножим первую строку расширенной матрицы на (-2) и сложим со второй строкой. Затем умножим первую строку на (1) и сложим с третьей строкой. После этого разделим все элементы первой строки на (2). Получим

.

Теперь умножим вторую строку полученной матрицы на (0.5) и сложим с первой строкой. Затем умножим вторую строку на (3) и сложим с третьей строкой. После этого разделим все элементы второй строки на (-1). Получим

.

Наконец, умножим третью строку полученной матрицы на (-0.125) и сложим с первой строкой. Затем умножим третью строку на (0.5) и сложим со второй строкой. После этого разделим все элементы третьей строки на (-4). Получим

.

Обратная матрица получается в расширенной матрице на месте единичной матрицы.

.

Замечание. Если известна обратная матрица , то решение СЛАУ находится легко .