Решение систем линейных уравнений методом крамера презентация

Презентация «Метод Крамера для решения систем уравнений»
презентация по алгебре по теме

Цель: познакомить студентов с методом Крамера для решения систем линейных уравнений

Методические рекомендации: презентация предназначена для демонстрации метода Крамера. Не содержит теоретического материала. Разбирается определитель матрицы второго порядка, формулы и примеры решения систем уравнений с двумя переменными, определитель матрицы третьего порядка, формулы и приемы решения систем уравнений с тремя переменными.

Положительные стороны: Наглядно демонстрируется каждый шаг решения. Презентация легко может быть разделена на 3-4 части для представления на разных уроках с закреплением материала самостоятельной работой студентов.

Отрицательные стороны: Нет теоретического материала, не показаны свойства матриц.

Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Решения систем линейных уравнений методом Крамера» — урок 12-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Метод решения систем линейных уравнений методом Крамера ГБОУ СПО МО «ЛПТ» Преподаватель математики Осипова Людмила Евгеньевна Mila139139 @ yandex.ru Тема 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 10 УРОК ДВЕННАДЦАТЫЙ

Габриель Крамер швейцарский математик. 31.08.1704 – 04.01.1752 Крамер родился в семье франкоязычного врача. С раннего возраста показал большие способности в области математики. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета. Самая известная из работ Крамера —трактат «Введение в анализ алгебраических кривых» 1750 году. Для доказательства Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера

Рассмотрим квадратную систему линейных алгебраических уравнений а11×1 + а12×2 + . + а1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 ……………………………….. am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm 1 Количество неизвестных равно числу уравнений m = n

Вспомним такие понятия как: А – основная матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов. А = а11 а12 . a1n a21 a22 … a2n . am1 am2 … amn X = X1 X2 …. Xn B = b1 b2 …. bm АХ = В — запись СЛАУ в матричном виде

Метод Крамера Решение системы квадратных линейных уравнений AX= B , где количество неизвестных равно количеству уравнений данной системы, с невырожденной квадратной матрицей А — единственно и имеет вид : Х1 = Δ1 Δ , Х2 = Δ2 Δ , Х3 = Δ3 Δ , . , Хn = Δn Δ Где : Х1, Х2 , Х3 ,…, Хn — неизвестные переменные, значения которых надо найти, а Δ ; Δ1 ; Δ2 ; Δ3 ; . ; Δn – определители, которые нужно составить по методу Крамера, а затем вычислить

Δ = а11 а12 . a1n a21 a22 … a2n . am1 am2 … amn — определитель системы, определитель основной матрицы. Δ1 = b1 а12 . a1n b2 a22 … a2n . bm am2 … amn -получается из главного определителя заменой 1-го столбца столбцом свободных членов. 1) Составим главный определитель — Δ 2) Составим определитель — Δ1

3) Составим определитель — Δ2 Δ2 = а11 b1 . a1n a21 b2 … a2n . am1 bm … amn -получается из главного определителя заменой 2-го столбца столбцом свободных членов. 3) Составим определитель — Δn Δn = а11 а12 . b1 a21 a22 … b2 . am1 am2 … bm -получается из главного определителя заменой n-го столбца столбцом свободных членов.

Рассмотрим пример 1 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера 2Х1 – Х2 = 0 Х1 + 3Х2 = 7 Решение. Основная матрица системы имеет вид 1) Вычислим ее определитель А = -1 1 3 Δ = -1 1 3 = 6 + 1 = 7 Δ — отличен от нуля система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = 0 -1 7 3 = 7 ; Δ2 = = 14 ; 0 1 7 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ = 7 7 = 1 Х2 = Δ2 Δ = 14 7 = 2 Ответ: Х1 = 1, Х2 = 2.

Рассмотрим пример 2 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера Решение. Основная матрица системы имеет вид 1) Вычислим ее определитель

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. 2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = 3 -1 -2 1 2 0 2 = -36 + 6 + 0 – 4 – 18 – 0 = — 52 Δ2 = 2 9 -1 1 3 1 1 2 2 = 12 + 9 – 2 + 3 -18 – 4 = 0 Δ3 = 2 3 9 1 -2 3 1 0 2 = -8 + 9 + 0 +18 – 6 – 0 = 13

3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ = -52 -13 = 4 Х2 = Δ2 Δ = 0 -13 = 0 Х3 = Δ3 Δ = 13 -13 = -1 Ответ: Х1 = 4, Х2 = 0, Х3 = -1.

Рассмотрим пример 3 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера Решение. Основная матрица системы имеет вид 1) Вычислим ее определитель А = -1 1 1 -1 1 -2 1 Δ = -1 1 1 -1 1 -2 1 = 2 — 2 + 1 — 1 — 4 + 1 = -3

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. 2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = 4 -1 1 2 1 -1 1 -2 1 = -6 Δ2 = 2 4 1 1 2 -1 1 1 1 = -3 Δ3 = 2 -1 4 1 1 2 1 -2 1 = -2 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ Х2 = Δ2 Δ Х3 = Δ3 Δ = 2 ; = 1 ; = 1 Ответ: Х1 = 2, Х2 = 1, Х3 = 1.

Рассмотрим пример 4 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера Решение. Основная матрица системы имеет вид 1) Вычислим ее определитель А = 1 5 -1 2 -1 1 1 2 -3 Δ = = 31 1 5 -1 2 -1 1 1 2 -3 Δ — отличен от нуля система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = = 31 Δ2 = = 0 Δ3 = = 31 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ Х2 = Δ2 Δ Х3 = Δ3 Δ = 1 ; = 0 ; = 1 Ответ: Х1 = 1, Х2 = 0, Х3 = 1. 0 5 -1 3 -1 1 -2 2 -3 1 0 -1 2 3 1 1 -2 -3 1 5 0 2 -1 3 1 2 -2 31 31 = 0 31 = 31 31 =

Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. — 576с.: ил. – ( Высшее образование ) Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил. Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с. http://mathsun.ru/ — История математики. Биографии великих математиков

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 288 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 13.03.2016
• 2297
• 14

• 12.03.2016
• 709
• 0

• 12.03.2016
• 753
• 2

• 12.03.2016
• 518
• 0

• 12.03.2016
• 359
• 0

• 12.03.2016
• 385
• 1

• 12.03.2016
• 484
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 13.03.2016 2369
• PPTX 516.5 кбайт
• 90 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Осипова Людмила Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 8
• Всего просмотров: 77162
• Всего материалов: 26

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Презентация » Решение систем линейных уравнений методом Крамера»

Решение систем линейных уравнений по формулам

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Составитель: преподаватель кафедры
математических общих и
естественнонаучных дисциплин
СПО КБГУ
Тукова Ольга Владимировна

Теорема Крамера Теорема. Система n урав-нений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное

Теорема. Система n урав-нений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное.

Решение находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом…

Решение находится следующим образом:
значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы
числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными:

Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными:

Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу

Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу А, а из свободных членов — матрицу-столбец В, т. е.

Определитель матрицы А обозначим ∆ и назовем определителем системы

Определитель матрицы А обозначим ∆ и назовем определителем системы. Таким образом,

Пусть ∆ ≠ 0. Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при x1 , х 2,

Пусть ∆ ≠ 0. Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при x1, х2, . хn на столбец свободных членов, то получим n определителей (для n неизвестных)

Презентация » Решение систем линейных уравнений методом Крамера»

Тогда формулы Крамера для решения системы n линейных урав­нений с n неизвестными запишутся так: или короче

Тогда формулы Крамера для решения системы n линейных урав­нений с n неизвестными запишутся так:

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:

1. ∆ = 0 и каждый определитель ∆xi = 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных xi пропорциональны, т. е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число k. Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений.

Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме xi, пропорциональны

2. ∆ = 0 и хотя бы один из опреде-лителей ∆ xi ≠ 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме xi, пропорциональны. При этом полу-чается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

Применение формул Крамера к решению систем линейных уравнений

2. Применение формул Крамера к решению систем линейных уравнений

Пример 1. Решить систему уравнений:
5x+3y=12
2x-y=7
Решение. Вычислим определитель системы ∆ и определи­тели ∆х и ∆у:

Пример 1. Решить систему уравнений:
5x+3y=12
2x-y=7
Решение. Вычислим определитель системы ∆ и определи­тели ∆х и ∆у:

Найдем значения х и у по формулам

Найдем значения х и у по формулам Крамера:

Итак, решение системы есть (3;-1).

Пример 2. Решить систему уравнений 3x-2y=5 6x-4y=11

Пример 2. Решить систему уравнений 3x-2y=5 6x-4y=11

Решение. Вычислим определитель системы ∆ и определитель ∆х и ∆у:

Так как ∆ = 0, а ∆х ≠ 0, и ∆у ≠ 0, то система не имеет решений (уравнения противоречивы).

Пример3. Решить систему уравнений: 2x-3y=11 6x-3y=33

Пример3. Решить систему уравнений: 2x-3y=11 6x-3y=33

Данная система имеет бесчисленное множество решений (коэффициенты при неизвестных пропорциональны)

Данная система имеет бесчисленное множество решений (коэффициенты при неизвестных пропорциональны)

Используемая литература: Гусак

Гусак А.А. Высшая математика – Минск: издательство БГУ,1983г.
Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: Наука, 1986.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры – М.,1975г.
Лисичкин В.Т. Математика. – М.:Высшая школа, 1991г.
Солодовников А.С., Торопова Г.А. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. – М.: высшая школа, 1987.