Решение систем линейных уравнений с параметром 7 класс

Линейные уравнения с параметрами в 7-м классе (методические рекомендации)

Разделы: Математика

Известно, что в программе по математике для неспециализированных школ задачам с параметрами отводится незначительное место.
К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, относятся, например, задачи, в которых отыскивается решение линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследуется количество их корней в зависимости от значений параметров.
Естественно, что такой небольшой класс задач не позволяет учащимся овладеть методами решения задач с параметрами. В результате, у учащихся возникает психологический барьер уже при «первом» знакомстве с параметрами — это неизвестное и известное, переменная и постоянная. Выход из сложившейся ситуации — включать задачи с параметрами в каждую тему.

• Для решения задач с параметрами требуется:

а) свободное владение навыками решения уравнений;
б) знание специфических преобразований, которые используются в уравнениях;
в) умение построить логическую цепочку рассуждений.

а) отработку навыков решения уравнений;
б) повышают интеллектуальный уровень ученика и его логическое мышление;
в) формируют навыки исследовательской деятельности;
г) повышают интерес к математике.

Прежде чем ввести понятие «параметр», учащимся необходимо напомнить роль букв в алгебре. Обратить внимание ребят на то, что за буквой скрывается число.
Предложите учащимся задания, в которых надо выразить одну переменную через другую. К этим задачам надо возвращаться постоянно, особенно в 7-м классе, поскольку умение выражать одну переменную через другую очень пригодится при решении задач по физике, где требуется вначале составить буквенное выражение и только затем подставить числовые значения.

Пример №2.
Выразить х : а) ах = а-1; б) (а+2) х = а-1; в) а х = а -1.
Укажите, при каких значениях а имеет смысл полученное выражение.
Найдите значение х при а=2; а=3; а= -10.
Повторите на простых примерах, что такое уравнение, что значит решить уравнение. При решении уравнений типа 2х-2=-1;14х=-4; 3-3х=1 обратите внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное, которое надо найти, через числа.
Покажите, что в уравнение, помимо неизвестного, могут быть введены и другие буквы, и буквенные выражения. Например, ах=а-1, (а+2)х=а-1, (а+2)х=(а+2)-1, а х=а -1.
При этом, как всегда в алгебре, мы полагаем, что буквы могут принимать любые числовые значения. Например, задавая произвольно значения а для уравнения ах=а-1 получаем
при а=2 имеем 2х=2-1; при а=3 имеем 3х=3-1; при а=0 имеем 0х=0-1; при а=-4 имеем -4х=-4-1.

Пример №3.
Дано уравнение ах=5а-9.
Напишите уравнение, которое получится, если а=10; а=-2; а=0.

Пример №4.
Решить уравнение относительно х:
х+2=а+7.
Решение: х=а+5.
Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.

• Параметр — это переменная величина, которая в процессе решения уравнения (задачи) считают фиксированной и относительно которойпроводится анализ полученного решения.
• Решить уравнение с параметром — этозначит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

Заметим, что в нашем примере параметр а может принимать любые значения.
Ответ запишем так: при любом значении параметра а

х=а+5 .
Основное, что нужно усвоить при первом «знакомстве» с параметром, это необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна в примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся задачи, в которых требуется сравнить два числа.

Пример №5.
Сравнить числа: а) а и 3а;
б) -а и 3а.
Решение:
а) естественно рассмотреть три случая:
если а 3а; если а = 0, то а = 3а; если а > 0, то а 3а; если а = 0, то -а = 3а; если а > 0, то -а -1 уравнение имеет два корня.

Как было сказано ранее, к уравнениям с параметрами надо возвращаться постоянно. Поэтому, на конец учебного года можно вынести уравнения:
1) (а-3)х=а2-9;
2) (3-2а)х=4а2-12а+9;
3) (а2-4)х=а2-5а+6;
4) (а2-1)х=а3+1
Решение.1) (а2-1)=0, а=±1.
При а=1 уравнение имеет вид 0х=2. Следовательно, решений нет.
При а=-1 уравнение имеет вид 0х=0. Следовательно, х- любое число.

Задачи для самостоятельного решения.

Для всех значений параметров а и в решите уравнения:

1. (5а+1)х+25а2+10а+1=0;
2. ах-а=х-1;
3. (а2-4)х=а2+а-2;
4. (а2-1)х-а2+2а-1=0;
5. (а-2в)х+а+в=3;
6. 
7. каких значениях параметра а уравнение а2(х-2)=х+а-3 имеет бесконечное множество решений?
8. каком значении параметра а корень уравнения х+3=2х-а будет отрицательным числом?
9. каждого значения параметра а определить число корней уравнения |x-1| =а.
10. каждого значения параметра а определить число корней уравнения|5x-3| =а.

Используемая литература.

1. Газета «Математика». Учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября»: Е.Пронина, « Линейные уравнения с параметрами» №12, 2000 г.; C.Неделяева, «Особенности решения задач с параметрами» №34, 1999 г.
2. Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Математика для старшеклассников. Минск: «Аверсэв», 2003.
3. Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2004.
4. Соколовская С.И., ДухонМ.Ю. Линейные уравнения и неравенства с параметром. Пособие для учащихся старших классов. М., 2005.

План- конспект урока «Решение линейных уравнений с параметрами», 7 класс
учебно-методический материал по алгебре (7 класс) на тему

Представлен конспект урока алгебры в 7 классе по теме «Решение линейных уравнений с параметрами». Это урок обобщения и систематизации знаний и умений. В конце приводится самоанализ проведенного урока.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект открытого урока в 7 классе по теме «Решение линейных уравнений с параметрами»

Цель урока: обобщить и систематизировать знания по теме «Линейные уравнения с параметром», способствовать формированию навыков решения линейных уравнений с параметром, знакомство учащихся с новыми понятиями, расширение их математического образования.

• Образовательная – показать алгоритм решения уравнений, формировать осознанный подход к решению уравнений с параметром;
• Развивающая – способствовать развитию логического мышления, навыков исследовательской деятельности, творческих способностей, интуиции.
• Воспитательная – воспитать самостоятельность, ответственность, способствовать формированию алгоритмической культуры, рациональному использованию времени.

Тип урока : урок повторения, обобщения и систематизации знаний.

Оборудование : компьютер, проектор

Форма организации учебной деятельности:

1) усовершенствованная математическая речь учеников;

2) ученики приобретают знания о методе решения линейных уравнений с параметром и совершенствуют его применение.

I. Организационный момент

Сформулировать тему урока и его цели

II. Актуализация знаний учащихся

1. Вспомним решение простейшего линейного уравнения ax = b.

Показать на экране:

1. Найдите корни уравнения

а) 3 + х = 4 – х, (0,5)

б) 9х — 4 = 9х + 5, ( ø )

в) 3х + 1 = 3х + 1. (х принадлежит R)

1. При каких значениях b число 3 является корнем уравнения?

4. Решить уравнение:

Данное уравнение содержит параметр.

На экране показать:

Параметр – неизвестная величина, которая считается постоянной при решении конкретной задачи.

Решить уравнение с параметром – значит найти все решения этого уравнения для каждого допустимого значения параметра.

В правой части уравнения конкретное число, не равное нулю, следовательно, решение данного уравнения будет зависеть от значения параметра а :

Если а = 0, то уравнение имеет вид 0 • х = 8, такое уравнение решений не имеет.

Если а ≠ 0, то х = а / 8.

Если а = 0, то уравнение примет вид 0х = 0, а решением данного уравнения является х – любое число; если а ≠ 0, то х = 1

1. Решите уравнение с параметром:

а) , (если m = 0 то x принадлежит R; если m ≠ 0, то решений нет)

в) (если а = 0, то решений нет; если а не равен 0, то х = а /4).

1. Назовите одно из решений уравнения .

III. Решение уравнений:

а) (а — 2)х = 10 – 5х (решает учитель)

Приведем данное уравнение к виду ах = в:

Выясним при каком значении параметра а коэффициент перед х обратится в ноль:

3 + а = 0 а = -3 (назовем его контрольным значением параметра)

1) если а = -3, то 0 • х = 10, а значит корней нет;

2) если а ≠ -3, то х = 10/ (3 + а)

Ответ: при а = -3 корней нет, при а ≠ -3 х = 10/(3 +а)

б) (n 2 – 9)x + 4 = 2(x + 6) – 7x (решают учащиеся)

n 2 x – 9x + 4 = 2x + 12 -7x

n 2 x – 9x -2x + 7x = 12 – 4

Найдем контрольные значения параметра

n 2 – 4 = 0; n 2 = 4; n = 2 или n = -2

1. n = ± 2, то уравнение примет вид 0 • х = 8, значит корней нет;
2. n ≠ ± 2, то х = 8/( n 2 – 4)

Ответ: при n = ± 2 корней нет, при n ≠ ± 2 х = 8/( n 2 – 4)

в) а 3 х + 6 = а 2 + 4ах – а

а(а 2 – 4)х = а 2 – а – 6

Контрольные значения параметра:

а = 0 или (а 2 – 4) = 0

1) при а = 0 уравнение примет вид 0 • х = -6, значит корней нет;

2) при а = 2 получим 0 • х = -4 , значит корней нет;

3) при а = -2 получим 0 • х = 0 , то х – любое число;

4) если а ≠ ±2 и а ≠ 0, то х = ( а 2 – а – 6)/(а(а 2 – 4)).

Ответ: при а = 0 или а = 2 решений нет;

при а = -2 х – любое число;

если а ≠ ±2 и а ≠ 0, то х = ( а 2 – а – 6)/(а(а 2 – 4)).

Текст самостоятельной работы показать на экране:

а 2 х – а 2 = х – а;

2х + 3а = 10 + 5а + ах

1. Самопроверка.

На экране высвечивается решение уравнений.

а 2 х – а 2 = х – а;

а 2 х – х = а 2 – а

х(а 2 – 1) = а 2 – а

Контрольные значения параметра:

1. а = 1, то уравнение примет вид: 0 • х = 0, значит х – любое число;
2. а = -1, то получим уравнение 0 • х = 2, тогда корней нет;
3. а ≠ ±1, тогда х = (а 2 – а)/ (а 2 – 1)

х = а(а — 1)/((а – 1)(а + 1

Ответ: при а = 1 х – любое число;

При а = -1 тогда корней нет;

При а ≠ ±1 х = а/(а +1)

2х + 3а = 10 + 5а + ах

2х – ах = 10 + 5а – 3а

Контрольные значения параметра

если а = 2, то уравнение примет вид 0 • х = 10, значит корней нет;

если а ≠ 2, то х = (2а + 10)/(2 – а)

Ответ: 1) при а = 2 корней нет;

2) при а ≠ 2 х = (2а + 10)/(2 – а)

1. Задание с введением дополнительного условия

При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2 ах – 4 х – а 2 + 4 а — 4 = 0 есть корни больше 1.

Решение: 2 ах – 4 х – а 2 + 4 а — 4 = 0

2( а -2) х = а 2 –4 а +4

2( а -2) х = ( а -2) 2

При а = 2, 0 х = 0 решением будет любое число, в том числе и большее 1.

При а ≠ 2 х = , по условию х > 1, то > 1, а >4 .

Ответ : при а ∈ <2>∪ (4 ; + ∞ ) .

1. Решите уравнение mx + 2 = — 1 относительно х .

А. x = — , при m ≠ 0

Б. 1) при m = 0 корней нет;

В. 1) при m = 0 корней нет

2. Решите уравнение k( х – 4 ) + 2( х + 1) = 1 относительно х .

А.1) при k = -2 корней нет;

Б.1) при k = — 2 корней нет

В.1) при k = 0 корней нет.

3) при k ≠ -2 , k ≠ х =

3. Решите уравнение 2 а ( а -2) х = а 2 -5 а +6 относительно х .

А. 1) при а =2 х ∈ R

2) при а =0 корней нет

3) при а ≠ 0 и а ≠ -2, х =

Б. 1) при а =2 х ∈ R

2) при а =0 корней нет

3) при а ≠ 0 и а ≠ 2, х =

В. 1) при а =2 х ∈ R

2) при а =0 корней нет

4) при а ≠ 2, а ≠ 0, а ≠ 3 х =

4. При каких значениях b уравнение 1+2 х – bх =4+ х имеет отрицательное решение?

А.При b b > 1 В. При b

1. Решите уравнение (m – 2) х = 3 относительно х .

А. x = — , при m ≠ 0

Б. 1) при m = 2 корней нет;

В. 1) при m = 2 корней нет

2. Решите уравнение а (3 х -2) =6 х – 4 относительно х .

А.1) при а = 2 x – любое число;

Б.1) при а = -2 корней нет

В.1) при а = 0 корней нет.

3) при а ≠ -2 , а ≠ х =

3. Решите уравнение 3 ах – 6 х – а 2 + 4 а — 4 = 0 относительно х .

А. 1) при а =2 х ∈ R

2) при а =0 корней нет

3) при а ≠ 0 и а ≠ -2, х =

Б. 1) при а =2 х ∈ R

В. 1) при а =2 х ∈ R

2) при а =0 корней нет

4) при а ≠ 2, а ≠ 0, а ≠ 3 х =

4. При каких значениях b среди корней уравнения х – b х + b 2 – 1=0 есть корни больше 1?

А.При b > -1 Б. При b > 0 В. При b

Код верного ответа

Код верного ответа

а) (2 b – 3 x ) + ( x – 5 b ) = 4 x + 6 b

б) (2 x – c ) – (5 c – x ) = 3 c

1. При каких значениях параметра с корень уравнения х+с=3х-5 является неотрицательным числом?
2. При каких значениях параметра а корень уравнения 4а+12х=4ах-3а+6 больше 3?

1. В классе обучаются 29 учащихся. 10 учащихся могут учиться на 4-5, 13 человек на четвёрки, остальные без направляющей помощи учиться не могут. При планировании урока это было учтено и определило выбор методов и приёмов изложения материала и способов закрепления полученных знаний на основе систематизации .

2. Этот урок является уроком обобщения и систематизации знаний и умений. Материал урока направлен на развитие логического мышления, алгоритмической культуры, интуиции, навыков исследовательской деятельности, творческих способностей учащихся. Задачи подобраны одно-двухшаговые и алгоритмичные по своему решению. Структура урока: постановка цели и задач урока; повторение умений и навыков, являющихся опорой для обобщения и систематизации знаний по данной теме; проведение проверочных упражнений (устное решение уравнений); ознакомление с алгоритмом решения линейных уравнений с параметром, упражнения на закрепление данного алгоритма; тренировочные упражнение по образу и подобию в виде самостоятельной работы; самоконтроль учащихся; решение уравнений с дополнительным условием, предполагающие элементы творчества в деятельности учащихся

3. На уроке решались следующие задачи:

Обобщить и систематизировать знания по теме «Линейные уравнения с параметром», Изучить алгоритм решения линейных уравнений с параметром, формировать у учащихся осознанный подход к решению уравнений с параметром. Способствовать развитию логического мышления. Воспитание самостоятельности, ответственности, способствовать формированию алгоритмической культуры, рациональному использованию времени.

Комплексность их решения продумана. Главными были обучающие задачи, при их решении попутно решались и развивающие, и воспитывающие задачи. Развивающая задача решалась через приёмы доступного изучения материала, а воспитывающая уже на этапе выбора класса для открытого урока, во время самопроверки.

4. Данная структура урока продиктована тем, что класс сильный, большинство учащихся активно работают на уроке, способны быстро воспринимать информацию. Поэтому урок плотнен и динамичен на всех этапах. Опрос проводился с целью актуализации имеющихся знаний. Связки между этапами логичны. Домашнее задание содержит четыре номера.

5. Главный акцент делался на понятиях: линейное уравнение, параметр, контрольные значения параметра, алгоритм решения линейного уравнения с параметром. Выбраны задания различного вида: линейные уравнения стандартного вида, уравнения, которые нужно привести к стандартному виду, линейные уравнения с дополнительным условием. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа.

6. Методы обучения выбраны частично-поисковые, наглядные, деятельностные.

7. Необходимости применения методов дифференцированного обучения не было. Достаточно оказания индивидуальной помощи.

8. Контроль усвоения знаний осуществлялся наблюдением за самостоятельностью и активностью учащихся на первых этапах урока, в конце урока была дана самостоятельная работа в форме теста.

Урок по алгебре в 7,8 классе «Линейное уравнение с параметром и его решение в общем виде»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Линейное уравнение с параметром и его решение в общем виде.

Образовательные: дать определение линейного уравнения с параметром, рассмотреть способы его решения, схему исследования линейных уравнений с параметрами. Формировать навыки решения линейных уравнений с параметрами.

Развивающие: развивать уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.

Воспитательные: формирование волевые качества, формирование коммуникабельность, выработка объективной оценки своих достижений, формирование ответственности.

Поприветствовать учащихся, проверить их готовность к уроку, объявить тему урока и цель урока.

II . Проверка домашнего задания.

ученики записывают на доске решения уравнений;

обсуждение, замечания, уточнения к решениям на доске.

III . Актуализация опорных знаний учащихся.
№1. Решить уравнение: m х – 7 = — 1.

Если m = 0, то уравнение примет вид 0 • m = 6 и не имеет решений;

Если m ≠ 0, то уравнение примет вид х = и имеет единственное решение.

Ответ: при m = 0 нет решений; при m ≠ 0 х = .

№ 2. При каком значении b уравнение |х| + b = 0 не будет иметь корней?

Решение: = — b ;

Если b = 0, то уравнение примет вид |х| = 0, т.е. х = 0 и имеет ед. решение;

Если b > 0, то уравнение не имеет решений;

Если b b , т.е. х = ± b и имеет два корня.

IV . Объяснение нового материала.

1. Определение линейного уравнения с параметром.

Уравнение вида Ах = В, (1)

где А, В — выражения, зависящие от параметров, ах- неизвестное,

называется линейным уравнением с параметрами.

2. что значит решить уравнение с параметрами?

Решить уравнение с параметрами — значит указать, при каких допустимых значениях параметров существуют решения, выяснить их число, каковы они; кроме того, обычно при решении уравнений с параметрами необходимо выяснить, при каких допустимых значениях параметров решений нет.

в) способы решения линейного уравнения.

Линейные уравнения с параметром решаются двумя способами: аналитическим и графическим.

Графический способ решения линейного уравнений с параметром удобен тогда, когда нужно определить количество корней уравнения.

Аналитический способ решения линейного уравнения с параметром удобен тогда, когда требуется найти решение уравнения при каждом значении параметра.

г) схема исследования линейного уравнения (1).

1. Если А = 0, В ≠ 0 , то уравнение (1) примет вид 0 • х = В и не имеет решений;

2. Если А = 0, В = 0, то уравнение (1) примет вид 0 • х = 0 и имеет бесконечное
множество решений (х — любое число);

3. Если А ≠ 0 , В — любое, то уравнение (1) имеет единственное решение х = .

Замечание. Если линейное уравнение не представлено в виде (1), то сначала нужно привести его к виду (1) и только после этого проводить исследование.

V . Формирование умений и навыков учащихся.

№ 1. Решить уравнение: а) (а + 3)х =5.

Если а + 3 = 0, т.е. а = -3, то уравнение примет вид 0 • х = 5 и не имеет решений;

Если а + 3 ≠ 0 , т.е. а ≠ -3, то уравнение примет вид х = и имеет ед. решение.

Ответ: при а = -3 нет решений; при а ≠ -3 х =.

Если а – 6 = 0, т.е. а = 6, то уравнение примет вид 0 • х = -2 и не имеет решений;

Если а – 6 ≠ 0 , т.е. а ≠ 6, то уравнение примет вид х = и имеет ед. решение.

Ответ: при а = 6 нет решений; при а ≠ 6 х = .

№ 2. Решить уравнение: а) (а + 4)х = 2а +1.

Если а + 4 = 0, т.е. а = -4, то уравнение примет вид 0 • х = -7 и не имеет решений;

Если а + 4 ≠ 0, т.е. а ≠ -4, то уравнение примет вид х = и имеет ед. решение.

Ответ: при а = -4 нет решений; при а ≠ -4 х = .

Если а — 1 = 0, т.е. а = 1, то уравнение примет вид 0• х = -1 и не имеет решений;

Если а — 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1, то уравнение примет вид х = и имеет ед. решение. Ответ: при a = 1 нет решений; при а ≠ 1 х =.

№ 3. Решить уравнение: а) (а + 1)х = а + 1.

Если а + 1 = 0, т.е. а = -1, то уравнение примет вид 0 • х = 0 и имеет бесконечное множество решений (х — любое число);

Если а + 1 ≠ 0 , т.е. а ≠ -1, то уравнение примет вид х =, х = 1 и имеет ед. решение.

Ответ: при а = -1 х — любое число; при а ≠ -1 х = 1.

Если а – 4 = 0, т.е. а = 4, то уравнение примет вид 0 • х = 0 и имеет бесконечное

множество решений (х — любое число);

Если а – 4 ≠ 0 , т.е. а ≠ 4, то уравнение примет вид х =, х = -1 и имеет ед. решение.

Ответ: при а = 4 х — любое число; при а ≠ 4 х = -1.

№ 4. Решить уравнение: а) (а – 7)х = а(а – 7).

Если а – 7 = 0, т.е. а = 7, то уравнение примет вид 0 • х = 0 и имеет бесконечное

множество решений (х — любое число);

Если а – 7 ≠ 0 , т.е. а ≠ 7, то уравнение примет вид х =, х = а и имеет ед. решение.

Ответ: при a = 7 х — любое число; при а ≠ 7 х = а.

б) (а+5)х = (а + 5)(а – 2).

Если а + 5 = 0, т.е. а = -5, то уравнение примет вид 0 • х = 0 и имеет бесконечное

множество решений (х — любое число);

Если а + 5 ≠ 0 , т.е. а ≠ -5, то уравнение примет вид х = , х = а – 2 и

имеет ед. решение.

Ответ: при a = -5 х — любое число; при a ≠ -5 x = a – 2.

№ 5. Решить уравнение (а – 7)х = а 2 – 14а + 49.

Решение: (а – 7)х = (а – 7) 2 .

Если а – 7 = 0, т.е. а = 7, то уравнение примет вид 0 • х = 0 и имеет бесконечное

множество решений (х — любое число);

Если а – 7 ≠ 0 , т.е. а ≠ 7, то уравнение примет вид х =, х = а – 7 и имеет единственное решение.

Ответ: при а = 7 х — любое число; при а ≠ 7 х = а – 7.

VI . Подведение итогов урока.

Что нового сегодня Вы узнали на уроке? Дайте определение линейного уравнения с параметрами. Что значит решить уравнение с параметром? Назовите способы решения и схему исследования линейного уравнения с параметром.

VII . Домашнее задание.

Решить уравнения: а) (а – 9)х = 4; б) (а – 6)х = а + 8; в) (а + 3)х = а + 3;

г) (а + 2)х = (а + 2)(а – 3); г) (а + 3)х = а 2 + 6а + 9.