Система логарифмических уравнений
Содержание:
Система логарифмических уравнений
При решении логарифмических систем также используют способ замены, алгебраического сложения и т.д., а также свойства логарифмических функций. Рассмотрим это на примерах:
Задача пример №169
Решите систему уравнений
Решение:
понятно, что > 0 и > 0.
Из первого уравнения системы получим = 6 — , из второго получим = 3 или = 8.
Таким образом, получаем систему Подставим = 6 — в уравнение = 8 . Тогда получим квадратное уравнение . Его корнями являются числа = 2, = 4. Подставим их в = 6 — , получим = 4, = 2.
Решением данной системы является пара (2; 4) и (4; 2).
Задача пример №170
Решите систему уравнений
Решение:
из первого уравнения системы имеем — = 2. Выполним замену: во второе уравнение = 72 вместо подставим = 2 + . Тогда можно записать = 36. Отсюда и получим, что = 1. Тогда = 3.
Таким образом, решением данной системы является пара (3; 1).
Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:
Математика: полный курс решений задач в виде лекций |
Другие темы которые вам помогут понять математику:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Логарифмические уравнения и системы
п.1. Методы решения логарифмических уравнений
При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.
п.2. Решение уравнений вида \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\)
Неравенства \( \begin
Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для \(x\) в явном виде;
2) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.
Однако, если выражения \(f(x)\) и \(g(x)\) слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для \(f(x)\) и \(g(x)\), и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение \(\lg(2x+3)+\lg(x+4)=\lg(1-2x)\)
Найдем ОДЗ в явном виде:
\( \begin
Решаем уравнение:
\(\lg\left((2x+3)(x+4)\right)=\lg(1-2x)\)
\((2x+3)(x+4)=1-2x\)
\(2x^2+11x+12-1+2x=0\)
\(2x^2+13x+11=0\)
\((2x+11)(x+1)=0\)
\( \left[ \begin
Корень \(x_1=-5,5\notin \left(-\frac32;\frac12\right),\) т.е. не подходит.
Корень \(x_2=-1\in \left(-\frac32;\frac12\right)\) — искомое решение.
Ответ: -1
п.3. Решение уравнений вида \(\log_ f(x)=\log_ g(x)\)
Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.
Например:
Решим уравнение \(\log_
Найдем ОДЗ в явном виде:
\( \begin
Решаем уравнение:
\(x^2-4=2-x\)
\(x^2+x-6=0\)
\((x+3)(x-2)=0\)
\( \left[ \begin
Ответ: -3
В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!
Например:
Решим уравнение \(\log_<2>(x+1)=\log_<4>(x+3)\)
Основания \(2\ne 4\), и нельзя сразу написать \(x+1=x+3\).
Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
\(\log_2(x+1)=\log_<2^2>(x+1)^2=\log_4(x+1)^2\)
Тогда исходное уравнение примет вид: \(\log_4(x+1)^2=\log_4(x+3)\)
И теперь: \((x+1)^2=x+3\)
\(x^2+x-2=0\)
\((x+2)(x-1)=0\)
\( \left[ \begin
Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
\( \begin
Корень \(x_1=-2\lt -1\) — не подходит.
Ответ: 1
Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.
п.4. Примеры
Пример 1. Решите уравнения:
a) \( \log_2(x+1)-\log_2(x-1)=1 \)
ОДЗ: \( \begin
\(\log_2\left((x+1)(x-1)\right)=\log_22\)
\(x^2-1=2\Rightarrow x^2 =3\)
\( \left[ \begin
Ответ: \(\sqrt<3>\)
б) \( 2\log_5(x-1)=\log_5(1,5x+1) \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(2\log_5(x-1)=\log_5(x-1)^2\)
Получаем: \(\log_5(x-1)^2=\log_5(1,5x+1)\)
\((x-1)^2=1,5x+1\)
\(x^2-2x+1-1,5x-1=0\Rightarrow x^2-3,5x=0\Rightarrow x(x-3,5)=0\)
\( \left[ \begin
Ответ: 3,5
в) \( \log_3(3-x)+\log_3(4-x)=1+2\log_3 2 \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(1+2\log_3 2=\log_3 3+\log_3 2^2=\log_3(3\cdot 4)=\log_3 12\)
Получаем: \(\log_3\left((3-x)(4-x)\right)=\log_3 12\)
\((3-x)(4-x)=12\Rightarrow 12-7x+x^2=12\Rightarrow x(x-7)=0\)
\( \left[ \begin
Ответ: 0
г) \( \log_2^2x+\log_2 x^2+1=0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
\(\log_2x^2=2\log_2x\)
Получаем: \(\log_2^2x+2\log_2x+1=0\)
Замена: \(t=\log_2 x\)
\(t^2+2t+1=0\Rightarrow(t+1)^2=0\Rightarrow t=-1\)
Возвращаемся к исходной переменной: \(\log_2x=-1\)
\(x=2^<-1>=\frac12\)
Ответ: \(\frac12\)
д) \( x^<\lg x>=10 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Замена: \(t=\lg x\). Тогда \(x=10^t\)
Подставляем:
\((10^t)^t=10\Rightarrow 10^
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin
Оба корня подходят.
Ответ:
e) \( \sqrt
ОДЗ: \( \begin
\( \left[ \begin
Ответ: 0
ж) \( \log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(x+1) \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(\log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(2x^2)\)
Подставляем: \(\log_<5x-2>(2x^2)=\log_<5x-2>(x+1)\)
\( 2x^2=x+1\Rightarrow 2x^2-x-1=0\Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 \Rightarrow \left[ \begin
Ответ: 1
Пример 2*. Решите уравнения:
a) \( \log_4\log_2\log_3(2x-1)=\frac12 \)
ОДЗ: \( \begin
\( \Rightarrow \begin
Решаем:
\(\log_2\log_3(2x-1)=4^<1/2>=2\)
\(\log_3(2x-1)=2^2=4\)
\(2x-1=3^4=81\)
\(2x=82\)
\(x=41\)
Ответ: 41
б) \( \log_2(9-2^x)=25^<\log_5\sqrt<3-x>> \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(25^<\log_5\sqrt<3-x>>=25^<\log_<5^2>(\sqrt<3-x>)^2>=25^<\log_<25>(3-x)>=3-x\)
Подставляем: \(\log_2(9-2^x)=3-x\)
\(9-2^x=2^<3-x>\)
\(9-2^x-\frac<8><2^x>=0\)
Замена: \(t=2^x\gt 0\)
\( 9-t-\frac8t=0\Rightarrow \frac<-t^2+9t-8>
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin
По ОДЗ \(x\lt 3\), второй корень не подходит.
Ответ: 0
в) \( \lg\sqrt
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(\lg 30-1=\lg 30-\lg 10=\lg\frac<30><10>=\lg 3\)
Подставляем: \(\lg\sqrt
\(\frac12\lg(x-5)+\frac12\lg(2x-3)=\lg 3\ |\cdot 2\)
\(\lg(x-4)+\lg(2x-3)=2\lg 3\)
\(\lg\left((x-5)(2x-3)\right)=\lg 3^2\)
\((x-5)(2x-3)=9\Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 \Rightarrow 2x^2-13x+6=0\)
\( (2x-1)(x-6)=0\Rightarrow \left[ \begin
Ответ: 6
г) \( \frac<1><\lg x>+\frac<1><\lg 10x>+\frac<3><\lg 100x>=0 \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(\lg 10x=\lg 10+\lg x=1+\lg 10\)
\(\lg 100x=\lg 100+\lg x=2+\lg x\)
Подставляем: \(\frac<1><\lg x>+\frac<1><1+\lg x>+\frac<3><2+\lg x>=0\)
Замена: \(t=\lg x\)
\begin
$$ \left[ \begin
Ответ: \(\left\<10\frac<-4\pm\sqrt<6>><5>\right\>\)
e) \( x^<\frac<\lg x+7><4>>=10^ <\lg x+1>\)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Замена: \(t=\lg x.\) Тогда \(x=10^t\)
Подставляем: \begin
$$ \left[ \begin
Ответ: \(\left\<0,0001;\ 10\right\>\)
ж) \( 4^<\log_3(1-x)>=(2x^2+2x+5)^ <\log_3 2>\)
ОДЗ: \( \begin
По условию: \begin
Пример 3. Решите систему уравнений:
a) \( \begin
ОДЗ: \( \begin
Из первого уравнения: \(\lg(xy)=\lg 2\Rightarrow xy=2\)
Получаем: \( \begin
Решаем биквадратное уравнение: \begin
Получаем две пары решений: \( \left[ \begin
Ответ: \(\left\<(1;2),(2,1)\right\>\)
б) \( \begin
ОДЗ: \(x\gt 0,\ x\ne 1\)
Логарифмируем: \( \begin
Замена: \(z=\log_x3\) \begin
Ответ: (3;2)
в*) \( \begin
ОДЗ: \( \begin
Сделаем замену \(t=\log_x y\). Тогда \(\log_y x=\frac<1><\log_x y>=\frac1t\)
Подставим в первое уравнение и решим его: \begin
Ответ: \(\left\<(8;2),\left(\frac14; 64\right)\right\>\)
г*) \( \begin
ОДЗ: \(x+y\gt 0\)
Прологарифмируем первое уравнение по 3: \begin
Решим последнее уравнение относительно \(t=x+y\) \begin
Получаем систему линейных уравнений: \begin
Ответ: (4;1)
Решение логарифмических уравнений и систем уравнений. Подготовка к ЕГЭ
Разделы: Математика
Ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую человечество употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели не с завязанными глазами, а зрячим:
он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой экспедицией открытий, следовательно, также присутствовать
не только в качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать свои силы;
ему ничто не должно доставаться даром.
Даётся только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)
Форма урока: комбинированный урок
Тип урока: Урок повторного контроля знаний.
Обобщение и закрепление пройденного материала.
Цели урока:
- Образовательная — обобщение знаний учащихся по теме «Логарифмические уравнения и системы уравнений; закрепить основные приемы и методы решения логарифмических уравнений и систем уравнений; ознакомить учащихся с видами заданий повышенной сложности по данной теме в ЕГЭ.
- Развивающая — развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке. Предоставить каждому из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме.
- Воспитывающая — воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности. Осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ученика через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу.
Задачи урока:
- выработать у учащихся умение пользоваться алгоритмом решения логарифмических уравнений.
- осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений и систем уравнений.
- познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений и систем уравнений.
Методы и педагогические приемы:
- Методы самообучения
- Приемы устного опроса.
- Приемы письменного контроля.
- Коллективная учебная деятельность.
- Организация работы в группах.
- Повышение интереса к учебному материалу.
Оборудование:
- компьютер, мультимедийный проектор и экран;
- тетради;
Раздаточный материал: задания для самостоятельной работы.
План урока:
- Организационный момент (1 мин)
- Проверка домашнего задания (3 мин)
- Входной контроль (повторение теоретического материала) (15 мин)
- Этап обобщения знаний учащихся. Решение уравнений и систем уравнений (45 мин)
- Разноуровневая самостоятельная работа (проверка знаний учащихся) (20 мин)
- Итоги урока (4 мин)
- Домашнее задание (2 мин)
1. Организационный момент
Взаимное приветствие; проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания.
2. Проверка домашнего задания
Установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях.
3. Входной контроль (повторение теоретического материала)
Организация устной фронтальной работы с классом по повторению логарифмических формул и способов решения логарифмических уравнений.
Решение простейших уравнений:
а) и
б) и
2) Найдите Х, если х>0:
[1/5]
[4]
Перечислите: основные способы решения логарифмических уравнений.
Способы решения логарифмических уравнений
- По определению логарифма.
- Метод потенцирования.
- Метод введения новой переменной.
- Решение уравнений логарифмированием его обеих частей.
- Функционально-графический способ.
На экране уравнения:
- log2(3 — 6x) = 3
- lg(х 2 — 2х) = lg (2х + 12)
- 5 х + 1 — 5 х — 1 = 24
- х lg х = 10000
- 3 2х + 5 = 3 х + 2 + 2
- log3 2 x — log3 x = 3
- log2x — log4x = 3
- 2 x = x 2 — 2x
Среди данных уравнений выбрать логарифмические. Определить способ решения каждого уравнения. Решите уравнения.
По окончанию работы правильность решения уравнений осуществляется с помощью экрана.
Устно ответить на следующие вопросы (если имеется не один корень):
- Найти наименьший корень уравнения.
- Найти сумму корней уравнения.
- Найти разность корней уравнения.
- Найти произведение корней уравнения.
- Найти частное корней уравнения
Самооценка и взаимооценка деятельности учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).
4. Этап обобщения знаний учащихся
Решение логарифмических уравнений из заданий ЕГЭ части В и С.
№ 1 (В) Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения log6(3x + 88) — log6 11 = log6 x. [1]
№ 2 (B) Найдите произведение всех корней уравнения
. [1]
№ 3 (B) Найдите сумму корней уравнения = log4 (x — 3) + 2. [2]
№ 4 (C) найти наибольший корень уравнения: log2(2+5)+ log0,5(-х-0,5) = 1 [-4]
№ 5 (C) Решите уравнение — log6 x + 34 = () 2 + x. [2]
Уравнения №1-3 решает по два ученика на обратных крыльях доски с последующей проверкой решения всем классом.
Уравнение №4,5 решает ученик с подробным комментарием.
По окончании самооценка и взаимооценка учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).
Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:
log a x = b, a > 0, a 1.
log a f(x) = b, a > 0, a 1.
Эти уравнения решаются на основании определения логарифма: если logb a = c, то a = b c .
Решить уравнение log2 x = 3.
Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 2 3 , x = 8 принадлежит области определения уравнения.
Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a 1.
Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x).
Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = a b проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.
Пример. Решить уравнение log3(5х — 1) = 2.
ОДЗ: 5х — 1 > 0; х > 1/5.
Пример. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х 2 — 2х — 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:
Применим правила действий со степенями, получим 2х 2 — 2х — 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = -1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х 2 — 2х — 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.
Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе
Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x)) c = b или равносильного уравнения проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.
Пример. Решить уравнение
Решение. Данное уравнение равносильно системе
Суть метода заключается в переходе от уравнения
На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).
Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.
Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств:
х> -1,5+ , х 2 — 3х — 5 = 7 — 2х,
х 2 — х — 12 = 0, откуда х1 = -3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.
Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.
Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log a f(x) = log a g(x) используются следующие свойства логарифмов:
logb a + logb c = logb (a*c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,
logb a — logb c = logb (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,
m logb a = logb a m , где a > 0; b > 0, b 1; m R.
Пример 1. Решить уравнение log6 (x — 1) = 2 — log6 (5x + 3).
Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств
Применяя преобразования, приходим к уравнению
log6 ((x — 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению
(х — 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = -2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство (3x — 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.
Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма (х + 3) 2 = 1, х = -4, х = -2. Число х = -2 посторонний корень.
Пример 3. Решить уравнение log2 (6 — x) = 2 log6 x.
Решение. На области определения 0 2 , откуда х = -3, х = 2. Число х = -3 посторонний корень.
Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения 1 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения x > -1, x 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).
Умножим обе части уравнения на log 3(x + 1) ? 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log 3(x + 1)-1) 2 = 0, откуда log 3(x + 1) = 1 и x = 2.
3. Введение новой переменной
Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.
где a > 0, a 1, A, В, С — действительные числа.
Пусть t = loga f(x), t R. Уравнение примет вид t 2 + Bt + C = 0.
Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.
Пример 1. Решить уравнение lg 2 x — lg x — 6 = 0.
Решение. Область определения уравнения — интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, t R.
Уравнение примет вид t 2 — t — 6 = 0. Его корни t1 = -2, t2 = 3.
Вернёмся к первоначальной переменной lg x = -2 или lg x = 3, х = 10 -2 или х = 10 3 .
Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Найдём область определения уравнения
Применив формулу логарифма степени, получим уравнение
Так как х 2 — 4t + 4 = 0
имеет два равных корня t1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log3 (-x) = 2, отсюда —х = 9, х = -9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения.
где a > 0, a 1, A, В, С — действительные числа, A 0, В 0.
Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на loga f(x) 0. Учитывая, что loga f(x) logf(x) a=1
(свойство logb a = 1/ loga b), получим уравнение
Замена loga f(x)=t, t R приводит его к квадратному At 2 + Ct + B = 0.
Из уравнений loga f(x)= t1, logb f(x)= t2 найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения:
f(x) > 0, f(x) 1.
Пример. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2 1, т.е. x >-2, x -1.
Умножим обе части уравнения на log5 (x+2) 0, получим
или, заменив log5 (x+2) = t, придем к квадратному уравнению
Возвращаемся к первоначальной переменной:
Оба корня принадлежат области определения уравнения.
ОДЗ: x > 0, х 1
Используя формулу перехода к новому основанию, получим
Ответ:
4. Приведение некоторых уравнений к логарифмическим логарифмированием обеих частей.
Переход от уравнения вида f(x) = g(x) к уравнению loga f(x) = loga g(x), который возможен если f(x) >0, g(x) >0, a >0, a 1, называется логарифмированием.
Методом логарифмирования можно решать:
Уравнения вида
Область определения уравнения — интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, затем применим формулы логарифма степени и произведения
Приведем подобные и получим линейное уравнение относительно loga x.
Пример. Решить уравнение 3 2log 4 x+2 =16x 2 .
Решение. Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.
Используя свойства логарифмов, получим
Область определения уравнения — интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, получим
Применим формулы логарифма степени и логарифма произведения
Введем новую переменную t=loga x , t R. Решив квадратное уравнение At 2 + (B-а)t-loga C=0, найдем его корни t1 и t2. Значение x найдем из уравнений t1 = loga x и t2=loga x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения х > 0. Так как при х > 0 обе части уравнения положительны, а функция y = log3 t монотонна, то
Введём новую переменную t, где t = log3 x, t R.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения х >1. Обе части уравнения положительны, прологарифмируем их по основанию 2, получим
Применим формулы логарифма степени и логарифма частного:
Введем новую переменную t=log2x, получим квадратное уравнение t 2 — 3t + 2 = 0,
1) Найти наибольший корень уравнения: lq(x+6) — 2 = 1 /2lq(2x -3) — lq25
3) Пусть (х0;y0) — решение системы уравнений
4) Пример .Решите систему уравнений
Решение. Решим эту систему методом перехода к новым переменным:
Заметим, что x>0 и у R является областью определения данной системы.
Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 3, получим:
Тогда по обратной теореме Виета переменные и и v являются корнями квадратного уравнения
z 2 -z-12 = 0
Следовательно, решения данной системы найдем как множество решений совокупности двух систем а) и б):
а) б)
Решениями указанных систем являются соответственно пары (27;4), (; -3).
Ответ: (27; 4), (; -3).
5) Пример. Решите систему уравнений
Перейдем к новым переменным:
x = 2 u >0, 1оg2 у = v, у = 2 v >0.
В новых переменных данная система имеет вид:
Следовательно, и и v являются корнями квадратного уравнения :
z 2 -42 + 3 = 0
Отсюда следует, что достаточно решить систему
Другое решение найдем из-за симметричности х и у, т. е. если (х; y) — решение, то (у; х) также является решением.
5. Самостоятельная работа.
1. Вычислите значение выражения: 11-3log3
2. Решите уравнения:
3.Решите систему уравнений :
1. Вычислите значение выражения: 13-3log2
2. Решите уравнения:
6.Подведение итогов урока:
Учитывая контингент учащихся данного класса, можно сделать вывод о том, что в целом учащиеся усвоили материал по данной теме.
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/logarifmicheskie-uravneniya-i-sistemy/
http://urok.1sept.ru/articles/604860