Решение систем неравенств уравнений второй степени

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. 9-й класс

Класс: 9

Презентация к уроку

Предмет: Алгебра

Класс: 9

Раздел: Уравнения и неравенства с двумя переменными.

Тип: Урок применения полученных знаний.

Оснащение урока:

• Рабочие формулы сокращенного умножения и корней квадратного уравнения.
• Учебник Ю.Н. Макарычева. Алгебра.
• Интерактивная доска, компьютер.
• Презентация с построенными графиками для вывода общего решения и алгоритмом решения систем уравнений второй степени способом подстановки.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, элементы метода проектов.

Общедидактические методы: проблемный, репродуктивный, наглядно-иллюстративный, частично – поисковый.

Цель урока

• Образовательная: Закрепление полученных знаний по теме “Решение систем уравнений второй степени” аналитическим способом.
• Воспитательная: Способствовать воспитанию ответственного отношения к учебному труду и доброжелательного отношения к окружающим.
• Развивающая: Способствовать развитию интереса к математике, логического мышления и внимания решением систем уравнений.

Ход урока

1. Организационный этап.

Подготовка внешней обстановки для работы на уроке.

2. Актуализация опорных знаний.

— Какие способы решения систем уравнений второй степени мы с вами рассмотрели на предыдущих уроках? (Мы познакомились с графическим и аналитическим способами решения систем уравнений второй степени).

— Как решить систему уравнений, содержащую линейное уравнение и уравнение второй степени графическим способом?

— Какие мы должны знать формулы и теоремы для решения систем уравнений второй степени аналитическим способом?

— Что такое система уравнений, и каким знаком обозначаем систему?

К вашему вниманию подготовлены построенные графики функций, которые даны в презентации. Мы должны решить их аналитическим способом и проверить полученные ответы на готовых графиках.

— Как мы решали системы уравнений второй степени способом подстановки?

(по алгоритму (Слайд 2)).

Алгоритм решения систем уравнений второй степени способом подстановки.

1. Выразим из уравнения первой степени одну переменную через другую.
2. Подставим полученное выражение в уравнение второй степени. Получаем уравнение с одной переменной.
3. Решим уравнение с одной переменной.
4. Найдем значения второй переменной.
5. Записываем ответ.

Дети сами формулируют тему урока, цели и задачи.

Тема: Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными (Слайд 1).

Цель: Закрепить полученные знания по теме “Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными” аналитическим способом.

Задачи: Учиться решать системы уравнений второй степени аналитическим способом, корректировать ошибки самостоятельно и с помощью учителя.

3. Этап применения, закрепления знаний и умений.

1) Решаем системы уравнений с использованием алгоритма у доски и в тетрадях.

Системы, которые были решены графически, мы будем решать аналитическим способом.

Получить в результате должны те же ответы. Если что-то не совпадает, то где-то допущена ошибка и эту ошибку общими усилиями должны найти.

Приступаем к заданиям.

Решить системы уравнений:

Из второго уравнения выражаем у через х, получаем у = х 2 , откуда методом подстановки в первое уравнение имеем -х 2 +2х+3=0.

Решаем приведенное квадратное уравнение х 2 — 2х — 3 = 0 по теореме Виета и находим корни: 3, -1, отсюда 9; 1.

Ответ: (3; 9), (-1; 1). (Слайд 4)

Методом подстановки вместо у = 4+ х в первое уравнение, получаем х 2 + (4 + х) 2 = 16. Применяя формулу сокращенного умножения — квадрата суммы, получаем квадратное уравнение 2х 2 + 8х = 0. Решаем неполное квадратное уравнение 2х(х+ 4) = 0 методом интервалов. Получаем 0; -4, отсюда 4; 0.

Ответ: (0; 4), (-4; 0). (Слайд 6)

Методом подстановки в первое уравнение второго уравнения, получаем у 2 — у — 2 = 0; Решаем приведенное квадратное уравнение по теореме Виета. Находим корни: 2; -1. Откуда 5; .

Ответ:(5; 2), (2; -1). (Слайд 8)

Методом подстановки во второе уравнение первого получаем 2х 2 + х – 3= 0.

Решая полное квадратное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, находим 1; , отсюда 2; 3.25.

Ответ:(1; 2),(-1,5; 3,25). (Слайд 10)

2) Самостоятельная работа.

Решите системы уравнений аналитическим и графическим способами из № 429, № 430, стр.114, параграф 7 п.19.

Рефлексия:

— Какие цели и задачи ставили перед собой на уроке?

— Смогли ли вы достичь их?

— Оцените, пожалуйста, свою деятельность на протяжении всего урока!

— Какой вид деятельности вам больше понравился?

4. Этап подведения итогов урока.

За активную работу на уроке, учитывая ответы, как за устную, так и за письменную работу, выставляются заслуженные оценки.

5. Этап сообщения домашнего задания.

• №431, №433(а, б, в) стр.114 (легкие системы)
• №433, №443, №444 стр.114-115 (сильным ученикам)

Решите соответствующие системы уравнений аналитическим и графическим способами.

Конспект урока «Решение систем неравенств второй степени с двумя переменными»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

9-Б класс: 27.01.20

9-А класс: 28.01.20

Тема урока: Решение систем неравенств второй степени с двумя переменными

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Цель урока: обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме; закрепить умения решать уравнения, неравенства и их системы с двумя переменными.

Владеют базовым понятийным аппаратом, навыками устных, письменных, инструментальных вычислений; умеют решать системы неравенств второй степени.

Универсальные учебные действия:

Познавательные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач.

Регулятивные: понимают и сохраняют учебную задачу; умеют контролировать процесс и результат учебной деятельности.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета.

Оборудование: проектор, компьютер, раздаточный материал.

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Является ли решением системы неравенств пара чисел:

а) (5; –3); б) (3; 1); в) (–1; 2)? (слайд №1)

III. Формирование умений и навыков.

1. Работа в парах : Изобразите на координатной плоскости множество решений системы: (слайд №2)

а) в)

б) г)

Вариант 1 выполняет задания а), в), второй вариант выполняют б), г).После выполнения учащиеся обмениваются тетрадями для проверки.

Р е ш е н и е (слайд №3)

а) б)

в) г)

Изобразим на координатной плоскости множество решений этой системы, предварительно преобразовав ее:

Таким образом, множество решений этой системы неравенств задает треугольник ОАВ . Для нахождения его площади нужно знать высоту ВН , то есть абсциссу точки В . Точка В является точкой пересечения прямых у = х и у = 5 – х . Решим уравнение:

Значит, в треугольнике ОАВ АО = 5 и ВН = 2,5.

S = ∙ AO ∙ BH;

S = ∙ 5 ∙ 2,5 = 6,25.

О т в е т: 6,25 ед 2 .

4. № 503 . + найти тангенс этого угла

Построим искомый угол:

Получим систему неравенств:

Неравенство х 2 + у 2 ≤ 25 задает круг с центром в начале координат и радиусом 5. Неравенство ху ≤ 0 задает вторую и четвертую координатные четверти.

На рисунке показано множество решений этой системы неравенств:

Произведение двух выражений будет отрицательным, если эти выражения имеют разные знаки. То есть это неравенство равносильно совокупности двух систем:

Изобразим на координатной плоскости множества решений каждой из систем:

Учащимся, выполнившим предложенные номера заданий, предлагается решить задания по карточкам .

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением неравенства с двумя переменными?

– Что называется решением системы неравенств с двумя переменными?

– Как решаются неравенства с двумя переменными?

– Как решаются системы неравенств с двумя переменными?

Домашнее задание: № 500 (б, г), № 501 (б), № 502 (а).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 557 (б). (слайд №4)

К а р т о ч к а № 1

1. Докажите, что пара чисел (–5; 2) не является решением системы уравнений

2. Решите систему уравнений:

а) б)

3. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а) б)

К а р т о ч к а № 2

1. Решите систему уравнений:

а) б)

2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = 4 х 2 – 2 и прямой 3 х – 2 у = –1.

3. Произведение двух чисел на 13 больше их суммы. Если из первого числа вычесть утроенное второе число, то получится 9. Найдите эти числа.

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а) б)

Р е ш е н и е заданий карточки № 1

1. Подставим х = –5 и у = 2 в каждое из уравнений системы:

Значит, пара чисел (–5; 2) не является решением данной системы.

а)

х ₁ = –6 у ₁ = –6 – 3 = –9;

х ₂ = 8 у ₂ = 8 – 3 = 5.

О т в е т: (–6; –9), (8; 5).

б)

у ₁ = 1 х ₁ = 1 – 2 · 1 = –1;

у ₂ = 3 х ₂ = 1 – 2 · 3 = –5.

О т в е т: (–1; 1), (–5; 3).

3. Обозначим первое число за х , а второе – за у . Согласно условию задачи получим систему уравнений:

у 2 – 25 у + 144 = 0;

D = 625 – 4 · 144 = 49;

у ₁ = = 16 х ₁ = 25 – 16 = 9;

у ₂ = = 9 х ₂ = 25 – 9 = 16.

О т в е т: 9 и 16.

а) б)

Р е ш е н и е заданий карточки № 2

1. а)

25 + 10 у + у 2 + 10 у + 2 у 2 – у 2 = –7;

2 у 2 + 20 у + 32 = 0;

у ₁ = –2 х ₁ = 5 + (–2) = 3;

у ₂ = –8 х ₂ = 5 + (–8) = –3.

О т в е т: (3; –2), (–3; –8).

б)

х ₁ = у ₁ = 3 ;

х ₂ = – у ₂ = –3 .

О т в е т: ( ; 3 ), (– ; –3 ).

2. Чтобы найти координаты точек пересечения данных параболы и прямой, нужно решить систему уравнений:

8 х 2 – 3 х – 5 = 0;

х ₁ = 1 у ₁ = 4 · 1 – 2 = 2;

х ₂ = у ₂ = 4 · – 2 = .

О т в е т: (1; 2), .

3. Обозначим первое число за х , а второе – за у . Согласно условию задачи получим систему уравнений:

3 у 2 + 5 у – 22 = 0;

D = 25 + 264 = 289;

у ₁ = = 2 х ₁ = 3 · 2 + 9 = 15;

у ₂ = х ₂ = 3 · + 9 = –2.

О т в е т: (15; 2), .

а) б)

Решение систем неравенств уравнений второй степени

Система уравнений второй степени. Способы решения

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

1) в уравнении первой степени одну переменную выражают через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, благодаря чему получается уравнение с одной переменной;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Пример : Решим систему уравнений

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В ней выражаем переменную x через y:

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:

Раскрываем скобки и упрощаем:

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
х – 0,25 = 1
х = 1 + 0,25
х₁ = 1,25.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример : Решим систему уравнений

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

Итак, у нас есть первые ответы:

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

Таким образом, исходная система уравнений решена.

1 1
(–3 — ; –1 — ), (3; 1), (2,5; –0,5), (–2; 1).
2 6

2. Решение способом сложения.

Пример 2 : Решим систему уравнений

Второе уравнение умножим на 3:

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

Приравняем уравнение к нулю:

Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x₁ = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример . Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у 2 + х = 29

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у 2 + 9 – у = 29
у 2 – у – 20 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
х = 9 – 5
х₁ = 4

2) х – 4 = 9
х = 9 + 4
х₂ = 13