Решение систем рациональных уравнений 9 класс

Презентация к уроку алгебры в 9 классе на тему: Решение систем рациональных уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Скажи мне — и я забуду,
Покажи мне – и я запомню,
Дай мне действовать самому-
и я научусь.
Китайская мудрость

Системы уравнений
с двумя переменными

Обобщить, систематизировать знания по теме;
Уметь применять разные способы решения систем уравнений.

Составить кластер по теме урока:

Уравнение с двумя
переменными
Система
уравнений
График уравнения с двумя переменными
Графический способ
Решить
систему
уравнений
Способ подстановки

Способ сложения
Решение уравнения
с двумя переменными
Решение
системы
уравнений

Каким из способов лучше решить систему?
а)
х²+у²=9
(х-1)²+(у+2)²=4
б)
х-у=5

1.
x
x
x
y
y
y
Сколько решений может иметь система уравнений:

0
0
0
Сколько решений может иметь система уравнений:

Маленький тест
1 вариант
1-А 2-Ж 3-Е 4-Д 5-В
Задание 2
а-2 б-3 в-4 г-1

2 вариант
1-Г 2-Б 3-Е 4-Д 5-В
Задание 2
(-2;5), (2;-3)

Диофант Александрийский, древнегреческий математик, ок. 3 века н.э. «Арифметика» из 13 книг, 6 сохранились до наших дней.
В 5 книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений.

Задача. В клетке сидят кролики и фазаны
вместе у них 18 ног. Узнайте сколько в клетке тех и других.
Решение.
Пусть: Х- число кроликов
У- число фазанов
Тогда 4х + 2у = 18.
2х + у = 9
у = 9 — 2х
Методом перебора: (1;7), (2;5), (3;3), (4;1).

Уравнение 4х+2у=18 называют неопределенным или диофантовым уравнением (уравнение в целых или натуральных числах)

Некоторые новые прёмы решения систем уравнеий

Решите систему уравнений:

Решите систему уравнений:

Решить систему уравнений

Решение получившейся системы

Самостоятельная работа
Самостоятельная работа проводится по бальной системе.

Шкала перевода баллов в оценки:
7 баллов — 5 5-6 баллов — 4 3-4 баллов — 3

Желаю всем успешно выполнить работу!

1.Какая из перечисленных пар является решением системы уравнений ?
а) (1;4) а) (3;2)
б) (4;1) б) (2;3)
в) (-1;4) в) (-3;2)
г) (-4;1) г) (-2;3)

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет данная пара чисел ?
(1;0) (0;1)
а) xy=4 а) 5x-4y=3
б) 5x+y=8 б) 7x+2y=2
в) 4x+y=4 в) x²+y²=1
г) x²+y²=1 г) xy=7

3. Сколько решений имеет система уравнений:

а) одно а) одно
б) два б) два
в) три в) три
г) четыре г) четыре

4.Решение какой системы уравнений изображено на рисунке?
а)
б)
в)
г)
а)
б)
г)
в)

5. Решить систему уравнений:

1.Какая из перечисленных пар является решением системы уравнений ?
а) (1;4) а) (3;2) !
б) (4;1) ! б) (2;3)
в) (-1;4) в) (-3;2)
г) (-4;1) г) (-2;3)

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет данная пара чисел ?
(1;0) (0;1)
а) xy=4 а) 5x-4y=3
б) 5x+y=8 б) 7x+2y=2 !
в) 4x+y=4 ! в) x²+y²=1 !
г) x²+y²=1 ! г) xy=7

3. Сколько решений имеет система уравнений:

а) одно а) одно
б) два ! б) два !
в) три в) три
г) четыре г) четыре

4.Решение какой системы уравнений изображено на рисунке?
а)
б)
в)
г)
а)
б)
г)
в)
!
!

5. Решить систему уравнений:

Оцените себя
Самостоятельная работа проводится по бальной системе.

Шкала перевода баллов в оценки:
7 баллов — 5 5-6баллов — 4 3-4 баллов — 3

Критерии самооценки
6 «+» и более = «5»
4 «+» или 5 «+» = «4»
3 «+» = «3»
Домашнее задание: повторить алгоритмы решения систем уравнений; выполнить № 6.15(г), 6.18(в), 6.23(а)

Сегодня на уроке я научился (узнал)…

Сегодня я на уроке повторил…

Сегодня на уроке мне понравилось…
Продолжи предложение:

Спасибо за урок!

Работа в группах.
Решить системы любым из известных способов.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 585 385 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра (в 2 частях)», Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)

Глава 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 17.11.2021
• 464
• 28

• 17.11.2021
• 127
• 2

• 17.11.2021
• 174
• 2

• 17.11.2021
• 130
• 0

• 17.11.2021
• 78
• 0

• 17.11.2021
• 191
• 18

• 17.11.2021
• 59
• 0

• 17.11.2021
• 116
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 17.11.2021 150
• PPTX 4.6 мбайт
• 9 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Царенко Наталия Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 96964
• Всего материалов: 38

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Получите новую специальность со скидкой 10%

Цена от 4900 740 руб. Промокод (до 23 февраля): Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Решение рациональных уравнений. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение. (А. Дистервег)

Цели:

• Обобщить, углубить знания обучающихся по изучаемой теме.
• Способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию; развитию творческих способностей учеников путем решения заданий, содержащих модули, параметры
• Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Оборудование: экран, проектор, документ – камера, магнитная доска, плакаты 1-4.

У обучающихся на рабочем месте: оценочные листы, карточки со схемами 4-5, комплект дидактической игры «Лото», копировальная бумага.

Вся работа на этом занятии сопровождается индивидуальным оценочным листом (Приложение 1).

Критерии оценок: «5» – 30-28 баллов, «4» – 27-22 балла, «3» – 21-16 баллов, «2» – менее 16 баллов.

Ход урока

I. Вводная беседа учителя (2 мин).

– Один начинающий волшебник, герой шуточной песенки, неумело обращался с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получилась коза, а вместо утюга – слон. Чтобы решать уравнения, нужно совершать ряд преобразований, и делать это следует очень осмотрительно.

Например, решая уравнения, мы могли бы рассуждать так:

Пример 1

Пример 2

На самом деле, стараясь «избавиться от всего лишнего», мы допустили бы ошибки. Какие?

В результате неравносильных преобразований в уравнении 1 потерян корень х = 0, а в примере 2 появился «посторонний» корень х = 1.

1. Как же не попасть в подобные ловушки?
2. Прежде всего, нужно четко понимать, какие действия нужно выполнить в ходе решения уравнения.
3. Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систему изученные виды, методы и приемы решения рациональных уравнений.

II. Проверка домашнего задания (5 мин).

(С помощью документ – камеры демонстрируем заранее заготовленное домашнее задание. Ученики отвечают по готовым записям. Работа ведется фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.)

(х – 5) 2 + 9х = + 25.

Нет действительных корней (∅).

(х – 5)(х + 3) = 1 – 2х.

(х – 5)(х + 3) = 3(х – 5).

2(х + 1) – 1 = 3 – (1 – 2х).

Нет действительных корней (∅).

1 – 2х – + 4х 2 = х 2 – 2х + 1.

3(1 – х) + 2 = 5 – 3х.

Бесконечное множество корней (х ∈ R).

Нет действительных корней (∅).

25х 2 – 30х + 9 = 0.

В результате выполнения задания получилась схема 1. (Демонстрируется на слайде).

Схема 1. Классификация рациональных уравнений по виду.

Задание 2. Подготовить одну физическую задачу, показывающую, что рациональные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций.

(У доски разбирается наиболее интересный пример.)

– В результате обсуждения и проверки домашнего задания выясняем сущность решения уравнений.

Выводы:

1. Уравнения являются математическими моделями очень многих физических и иных явлений. Поэтому решение различных практических задач сводится к решению уравнений.
2. Уравнением с одним неизвестным называется запись вида А(х) = В(х), в которой А(х) и В(х) – выражение от неизвестной х.
3. Областью определения уравнения называется множество всех значений х, при которых определены обе части уравнения.
4. Корнем или решением уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
5. Линейные и квадратные уравнения решаются по готовым формулам, они называются простейшими.Главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшему.

Результаты выполнения домашнего задания заносятся обучающимися в оценочный лист.

Оценка: «5» – нет ошибок; «4» – 2-3 ошибки; «3» – более 3 ошибок.

III. Работа по теме урока.

Этап I. (5 мин). Тест (под копировальную бумагу) (Приложение 2).

Цель: Проверить навыки решения простейших уравнений.

Работа проводится по карточкам в двух вариантах, состоящих из 20 уравнений, записанных в столбец. Для выполнения задания обучающийся берет полоску бумаги и кладет ее справа от столбца, по которому собирается работать.

Решая, ученик записывает только ответы; напротив задания, вызвавшего затруднение, ставит прочерк; по истечении времени, отведенного на выполнение теста, по команде учителя листы под­писываются и сдаются.

Учитель открывает слайд, где подготовлен список правильных ответов и критерии оценок. Проводится быстрая самопроверка решений (по копиям).

Результаты теста заносятся в оценочный лист.

Для оценки работы надо: поставить знак «+» против верного ответа и знак «– » против неверного; подсчитать число плюсов.

Критерии оценок: «5» – 20 плюсов; «4» – 15-19 плюсов; «3» – 10-14 плюсов, «2» – 9 и менее плюсов.

Этап II (15 мин).

Цель: установить связи между корнями квадратных, линейных уравнений и их коэффициентами.

На слайде обучающимся демонстрируется плакат № 1

? о с о б е н н о е !

1. 2(х + 7) = 2х + 14

2. 3(х – 1) – 5(5 + х) = 7

3. (а 2 – 9)х = а 2 – 5а + 6

Требуется указать, о чем идет речь.

Ответ: 1, 2, 3, 4 – линейные уравнения.

Уравнение 1 имеет бесконечное множество корней,

уравнение 2 – решений не имеет,

уравнение 4 имеет один корень,

уравнение 3 – линейное уравнение с параметром; в зависимости от значения параметра а уравнение может иметь различное количество корней.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

Ребятам предлагается решить уравнение 3: (а 2 – 9)х = а 2 – 5а + 6.

Случай 1: а 2 – 9 = 0. Тогда а = – 3 или а = 3.

Если а = – 3, то исходное уравнение примет вид 0х = 30 и корней не имеет.

Если а = 3, то получаем уравнение 0х = 0, для которого любое действительное число является корнем.

Ответ: если а = – 3, то корней нет; если а = 3, то х ∈ R; если а ∉ <– 3; 3>, то один корень .

Обобщая результаты решения уравнения 3, получаем схему 2, которая показывает связь числа корней линейного уравнения с его коэффициентами.

Учитель предлагает двум обучающимся собрать на доске из заранее подготовленных карточек схему 2 и схему 3, которые отражают связь числа корней квадратного уравнения ах 2 +bх+с=0 (а ≠ 0) с его дискриминантом Д = в 2 – 4ас, и для каждого случая аналитического решения указать геометрическую модель.

Остальным обучающимся демонстрируется плакат № 2 на слайде

? н е л ь з я !

1. х 2 + ах + 12 = 0

Вопрос: Что бы это означало?

Ответ: (1), (3) – квадратные уравнения с параметром. В этих уравнениях параметр а входит в состав второго коэффициента и свободного члена; (2) – это также уравнение с параметром, но параметр а входит в состав коэффициента при х 2 многочлена второй степени. Это уравнение нельзя сразу решить по формулам для отыскания корней квадратного уравнения, т. к. о заданном уравнении мы не можем сказать, квадратное оно или линейное.

Если коэффициент при х 2 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль

Решим уравнение (2) ах 2 – 2х + 4 = 0.

Рассмотрим два случая, когда а = 0 и когда а ≠ 0.

1 . При а = 0, уравнение (2) линейное -2х+4= 0. Откуда х = 2.

2. При а ≠ 0, уравнение (2) – квадратное. Его дискриминант равен Д = 4-16а.

Если Д 1/4, уравнение решений не имеет.

Если Д = 0, т.е. а = 1/4, то уравнение имеет единственный корень x = 4.

Если Д > 0, т. е. а 1/4, уравнение решений не имеет; если а = 1/4, то уравнение имеет единственный корень x = 4; если а 27.12.2012

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Линейные уравнения

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

1. 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 2 x = − 4 + 4

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
6. Если D 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D 0 – решений нет.

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

• b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
3. Решить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.