Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок № 49. Системы тригонометрических уравнений.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- что такое система тригонометрических уравнений;
- как решать системы тригонометрических уравнений;
- какие приемы можно использовать при решении систем тригонометрических уравнений.
Глоссарий по теме
Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.
Записывается с помощью знака <
– система из трех уравнений с тремя неизвестными.
Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.
Колягин Ю.М., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2010. — 368 с.
Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 752 с.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Основными методами решения систем уравнений являются:
— метод замены переменной.
Также при решении систем тригонометрических уравнений используются многие тригонометрические формулы.
Рассмотрим решение систем тригонометрических уравнений.
При решении этой системы можно действовать по-разному:
1) можно использовать формулы преобразования произведения в сумму синусов (в первом уравнении) или косинусов (во втором уравнении)
2) можно использовать формулами косинуса суммы и разности во втором уравнении.
Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:
.
Теперь, учитывая, что косинус двойного аргумента может быть выражен через квадрат синуса и косинуса аргумента, возведем в квадрат первое уравнение. Но, так как возведение в квадрат не является равносильным преобразованием, введем ограничение:
, то есть и должны быть одного знака.
.
Теперь введем новые переменные:
, (*) и решим вспомогательную систему:
.
Решим ее методом подстановки.
.
.
. Вернемся к исходным переменным.
,
.
С учетом условия получим две системы:
или
Ответ:
Или
Рассмотрим еще один пример.
С учетом области определения уравнений преобразуем каждое уравнение:
.
Теперь сложим эти уравнение, оставив в системе, например, первое уравнение:
,
,
.
Теперь выразим из второго уравнения y:
,
,
,
,
,
,
.
Ответ: .
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Решите систему уравнений:
Введем новые переменные: .
Тогда вспомогательная система будет иметь вид:
.
,
или
.
Получаем четыре пары решений для вспомогательной системы:
; ; ; .
Так как , то решение имеет только первая система: .
.
Решите систему уравнений: .
Пусть .
Система примет вид: , то есть мы получили простую линейную систему.
Ее можно решить методом подстановки или методом алгебраического сложения:
,
,
,
,
.
Ответ:.
урок по теме «Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
otkrytyy_urok.docx | 66.29 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема урока : Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений (2ч)
- Образовательные – обеспечить повторение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля усвоения знаний и умений.
- Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
- Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.
1. Организационный момент
2. Систематизация теоретического материала
1 ) Вопросы проецируются на экран, учащиеся письменно отвечают на вопросы. После окончания работы, ответы собираются. Затем демонстрируются правильные ответы, учащиеся отмечают на листочках неправильные шаги, которые обсуждаются с учителем
- Каково будет решение уравнения при ( при )?
- При каком значении а уравнение () имеет решение?
- Какой формулой выражается это решение?
- На какой оси откладывается значение а при решении уравнения ( )?
- В каком промежутке находится ()?
- В каком промежутке находится значение а?
- Чему равняется ()?
- В каком промежутке находится ()?
- Какой формулой выражается решение уравнения ()?
Учащиеся решают парами с последующим обсуждением
4. Классификация тригонометрических уравнений
Составление таблицы по методам решения тригонометрических уравнений. Учащимся предлагается решить уравнения (по вариантам) предварительно определив, что это за уравнение и каким методом оно решается. У доски данную работу выполняет один ученик – решение уравнения одного варианта. Учащиеся в тетрадях выполняют работу другого варианта
Е.П. Нелин, В.А. Лазарев
АЛГЕБРА
и начала математического
анализа
10 класс
учреждений. Базовый и
§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3
Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.
Задача 1 . Решите систему уравнений
Из первого уравнения находим и подставляем во второе.
Получаем
Замечание. Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.
Действительно, в таком случае имеем
Тогда, например, при n = 0 получаем
Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:
Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.
Поэтому следует запомнить:
Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–».
Задача 2 . Решите систему уравнений
Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему
Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:
Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:
Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.
Вопросы для контроля
- Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
- Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.
Упражнения
Решите систему уравнений (1–8).
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2013/03/04/urok-po-teme-primery-resheniya-trigonometricheskikh-uravneniy-i
http://ya-znau.ru/znaniya/zn/282