Решение систем уравнений кирхгофа онлайн

Решение систем уравнений кирхгофа онлайн

Решение: x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = ; x5 = ; x6 = .

Практическая инженерия связана с расчетом энергопреобразующих цепей. Вне зависимости от природы энергонесущей материи, подобные задачи решаются одинаково, поскольку любые цепи подчинятся постулатам о сохранении материи и энергетического потенциала. Предложенный инструмент может быть использован для расчета линейных цепей, не содержащих пассивных элементов способных накапливать энергию, с постоянными источниками движущей силы.

Инструкция — пример

Дано:

Найти все токи в схеме

Решение:

1. В представленной схеме три электрических узла. Следовательно, по I закону Кирхгофа надо записать два уравнения (3-1). Ветвей же в схеме пять (пять неизвестных). Поэтому по II закону Кирхгофа надо записать три уравнения

2. Произвольно назначим направления токов в ветвях и направления обхода контуров (на рисунке они уже указаны).

3. Запишем уравнения по I и II законам Кирхгофа:

4. Перепишем уравнения так, чтоб было ясно что и как подставлять в форму, которая приведена выше:

Ответ:

Примечание: В результате решения, все токи получились со знаком «+». Это означает, что выбранные произвольно их направления совпали с действительными.

Литература

1. Клиначёв Н. В., Клиначёва Н. В. Открытое математическое ядро K2.SimKernel: Руководство пользователя. — Offline версия 1.3.0.1, . 1.4.0.4. — Челябинск, 2005. — файлов 67, ил.
2. Клиначёв Н. В. Библиотека SimLib4Visio — инструмент программирования математических ядер моделирующих программ. — v1.4. — Челябинск, 2004. — файлов 36, ил.
3. Клиначёв Н. В. Электротехника: Лабораторные работы для дистанционного образования. — Offline версия 1.9. — Челябинск, 2005. — файлов 51, ил.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Системы уравнений по-шагам

Результат

Примеры систем уравнений

• Метод Гаусса
• Метод Крамера
• Прямой метод
• Система нелинейных уравнений

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Первый и второй законы Кирхгофа для электрических цепей

Понятия узла, ветви и контура электрической цепи.
Решения систем линейных уравнений, составленных на основе правил Кирхгофа.
Преобразование электрической цепи треугольник-звезда с онлайн калькулятором.

Законы Кирхгофа, они же правила Кирхгофа (ибо фундаментальными законами не являются) – это ряд условий (в количестве двух штук) для составления системы линейных уравнений, описывающих соотношения между токами и напряжениями в разветвлённых электрических цепях.
Законы Кирхгофа довольно универсальны. Они справедливы для линейных и нелинейных цепей, постоянного и переменного токов и в совокупности с законом Ома позволяют определить параметры электрических цепей любой сложности.

Для формулирования своих правил Кирхгоф ввёл несколько понятий, таких как: узел, ветвь и контур, значение которых поясним на простом примере (Рис.1).

Узлом называется точка соединения трёх и более ветвей (на принципиальных схемах обычно обозначается жирной точкой).
На Рис.1, приведённом в качестве примера электрической цепи – это точки А, В, С.

Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же значением тока.
На Рис.1 – это 5 ветвей с токами I1. I5.

Контуром называется замкнутый путь, по которому протекает электрический ток, проходя через несколько участков цепи, включающих в себя узлы и ветви. На Рис.1 контуры изображены круглыми стрелками.

Рис.1 Пример схемы электрической цепи

Теперь, определившись с терминами, можно переходить к формулированию законов Кирхгофа.

Первый закон или правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда и провозглашает, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю.
Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.
Если следовать примеру, приведённому на Рис.1, то для узла А: I1+I4-I3=0 .

Переходим ко второму закону Кирхгофа, который вытекает из третьего уравнения Максвелла и формулируется следующим образом:
Алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической (т. е. с учётом знака) сумме падений напряжений на всех элементах этого контура. Если в контуре нет источников ЭДС (генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю.
Направление обхода ветвей контура выбирается произвольно. Падение напряжения считают положительным, если направление тока ветви совпадает с ранее выбранным направлением обхода, в противном случае – отрицательным.
Припадаем к рисунку Рис.1, выбираем один из трёх контуров и констатируем:
U_R2 + U_R4 + U_R3 = Е2 .

Законы законами, да и правила – вещь не самая бесполезная в радиолюбительском хозяйстве, только как воспользоваться всей этой полученной информацией на практике? Давайте с этим разберёмся и рассмотрим схему более приближённую к реальной жизни, чем та, которую мы приводили ранее в качестве примера, а конкретно – схему несбалансированного резистивного моста (Рис.2).

Для расчёта токов, протекающих в цепях, для начала воспользуемся первым правилом Кирхгофа:
I_общ = I1 + I4 = I2 + I5 ;
I1 = I2 + I3 . .

Согласно второму правилу и закону Ома:
I1*R1 + I2*R2 = E ;
I4*R4 + I5*R5 = E ;
I1*R1 + I3*R3 + I5*R5 = E .

Ну и хватит: пять уравнений, пять неизвестных – вполне достаточно, для того чтобы получить искомые значения всех токов.

Рис.2 Пример применения правил Кирхгофа

Правда возникает резонный вопрос – КАК? Отвечу – матричным методом решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем. Согласен – геморрой! А поскольку мы ребята ленивые, но местами сообразительные, то и не станем искать сложных путей, а воспользуемся широко известным в узких кругах методом эквивалентного преобразования пассивных цепей – треугольник-звезда. Как это выглядит?

Рис.3 Преобразование треугольник-звезда

Сопроводим рисунок простыми онлайн калькуляторами.

Калькулятор рсчёта элементов эквивалентного преобразования треугольник ⇒ звезда

Калькулятор рсчёта элементов эквивалентного преобразования звезда ⇒ треугольник

Вот теперь в схеме несбалансированного резистивного моста (Рис.2) можно выделить треугольник, состоящий из резисторов R2, R3 и R5, и заменить его на звезду (R1з. R3з, Рис.4 б).

Рис.4 Эквивалентное преобразование треугольник-звезда

Нужно нам это для того, чтобы, используя правила параллельного и последовательного соединения резисторов, свести всю нашу многозвенную цепь к одному элементу (Rэкв, Рис.4 г), после чего посредством простейшей манипуляции на калькуляторе или деревянных счётах вычислить величину: Iобщ = Е/Rэкв = 10В/2.239кОм = 4.47мА .
Теперь, перемещаясь к Рис.4 в) и воспользовавшись первым правилом Кирхгофа, констатируем:
I_R1з = I1 + I4 = Iобщ = 4.47мА .
Далее напрочь забываем о Густаве Робертовиче Кирхгофе вместе с его правилами и юзаем исключительно закон Ома в самом что ни на есть его чистом виде:
U_C = I_R1з * R1з = Iобщ * R1з = 4.47мА * 1кОм = 4.47В (Рис.4 в).
I1 * (R1 + R2з) = E — U_C (Рис.4 б),
отсюда:
I1 = (10В — 4.47В) / (1кОм + 600Ом) = 3.46мА .
Точно так же:
I4 = (E — U_C) / (R4 + R3з) = (10В — 4.47В) / (4кОм + 1.5кОм) = 1.01мА .
И последний финишный рывок мы совершим, вернувшись к первоначальной схеме (Рис.4 а):
U_А = Е — R1 * I1 = 10 В — 1кОм * 3.46мА = 6.54В .
U_В = Е — R4 * I4 = 10 В — 4кОм * 1.01мА = 5.96В .
I3 = (U_А — U_В) / R3 = (6.54В — 5.96В) / 3кОм = 0.19мА .
I2 = U_А / R2 = 6.54В / 2кОм = 3.27мА .
I5 = U_В / R5 = 5.96В / 5кОм = 1.19мА .

Всё, расчёт окончен! Ну а поскольку мы ребята не только сообразительные, но и пытливые умом и трезвым взглядом на вещи, то нам будет не влом проверить полученные результаты на симуляторе:

Вот теперь – точно всё! Отныне мы не только освоили оба правила Кирхгофа, но и основательно освежили в памяти основной закон электротехники – закон Ома.