Решение систем уравнений методом замещения

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

п.1. Метод подстановки

Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

п.2. Метод сложения

п.3. Метод замены переменных

Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.

п.4. Графический метод

Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений:
а) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Решаем методом подстановки: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Для нижнего уравнения: \( \mathrm \)
Подставляем в верхнее уравнение: \( \mathrm \)

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(x^2+y^2)xy=10>& \end\right. \)
Замена переменных: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(a^2-2b)b=10>& \end\right.\Rightarrow \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <9b-2b^2=10>& \end\right. \)
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ \mathrm< D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=1,\ \ b=\frac<9\pm 1><4>> = \left[\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Возвращаемся к исходным переменным: \( \left[\begin < l >\left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right.& \\ \left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \end\right. \)

Метод Крамера – теорема, примеры решений

Время чтения: 28 минут

Краткая биография Габриэля Крамера

Габриэль Крамер — (нем. Gabriel Cramer), Швейцария, 31 июля 1704 г. родился в семье врача. Он уже в детстве опередил своих сверстников в развитии интеллектуальной деятельности и проявил завидную способность в математике. В 18 лет успешно защитил дипломную работу. Через два года Крамер выдвинул свою кандидатуру на пост преподавателя в университете в Женеве.

Юноша привлек внимание магистрата, поэтому для него и еще одного кандидата на должность преподавателя был учрежден отдельный факультет математики, где Крамер затем работал в течение последующих нескольких лет.

Учёный очень много путешествовал в Европу, принимая опыт известных математиков того времени, как – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и Клеро в Париже и других. Всю жизнь поддерживал с ними тесный контакт.

В 1729 г. Крамер возвращается на должность преподавателя в Женеве. В этот период времени участвует в Парижском конкурсе и занимает заслуженное второе место. Используя свой исключительный талант пишет много статей по самым разным дисциплинам: геометрии, истории, математике, философии.

В 1730 г. он выпускает труд по астрономии.

В 1740 году Иоганн Бёрнулли поручил Крамеру опубликовать сборник его произведений. В 1742 г. Крамер подготовил и опубликовал сборник в 4 -х томах.

В 1744 г. выходит посмертная книга Якоба Бернули брата Иоанна Бернули и двухтомная переписка Лейбницы с Иоанном Бернули. Эти работы вызывали большой интерес ученых по всему миру.

Крамер — один из тех, кто изобрел линейную алгебру. Одна из его наиболее известных работ «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованная в 1750 г. на французском.

В ней Крамер создает систему уравнений по линейным уравнениям и алгоритм, который позже будет носить его имя, — метод Крамера. Габриэль умер во Франции 4 Января 1752 года.

Метод Крамера – теоремы замещения и аннулирования

Перед решением систем линейных уравнений методом Крамера необходимо изучить две важные закономерности. К ним относятся: теорема аннулирования; теорема замещения.

Теорема замещения. Складывая произведения алгебраического дополнения какого-то столбца, а также произвольные чисел b1, b2, b3, получается новый определитель, в котором значения заменяют соответствующие элементы первоначального определения, соответствующие данному алгебраическому дополнению.

Теорема аннулирования. В сумме произведения компонентов одного столбца или таблицы и алгоритмических дополнений соответствующих элементов другого столбца – будут равняться нулю.

Применение метода Крамера для решения систем линейных уравнений (СЛАУ)

Для поиска ответов по задачам для решения систем линейных уравнений актуальна эта методика. Метод Крамера позволяет находить решение системы с количеством строк равным количеству неизвестного. Так решаются квадратные уравнения. В процессе нужно вычислить матричные определители, в том числе основные, и дополнительные, полученные с помощью замены одного столбца основного определителя на столбец со свободными членами системы алгоритмов. На рисунке можно найти наглядное представление алгоритма.

Для этого необходимо применить метод Крамера СЛАУ:

Рассмотрим решение системы уравнений методом Крамера:

Первое: вычислим определитель, а именно – определитель системы.

Если \[\Delta=0\] система имеет только 1 решение, чтобы найти корни, следует сделать вычислить еще два определителя:

На практике данные определители обычно могут быть обозначены обычной латинской буквой D. Чтобы найти корни уравнения используем следующую формулу:

Пример: Решите систему уравнений линейным методом Крамера

Решение: Из уравнения следует, что коэффициенты уравнения велики, в правой части уравнения видим десятичные дроби с запятой. Запятая – крайне редко можно увидеть в практике по математике, эта система взята из эконометрической задачи.

1. Есть вариант выразить одну переменную через другую, это не самый удобный способ, так как мы получим дроби, с которыми невозможно будет работать, и будет хромать оформление самого решения.
2. В таких случаях применимо правило Крамера.

Оба корня имеют бесконечные хвосты, решение дает лишь приближенное значение, что допустимо, если это задачи по эконометрике. Данное условие решается по готовым формулам, однако, есть одна деталь. Если используется данный метод, то обязательным условием, является использование вот этого фрагмента: это значит, что уравнение имеет одно решение». Если этого не сделать, то при проверке вас могут наказать за пренебрежением теоремой Крамера.

Оба корня имеют бесконечные хвосты, решение дает лишь приближенное значение, что допустимо, если это задачи по эконометрике. Данное условие решается по готовым формулам, однако, есть одна деталь. Если используется данный метод, то обязательным условием, является использование вот этого фрагмента: \[\neq 0\] это значит, что уравнение имеет одно решение». Если этого не сделать, то при проверке вас могут наказать за пренебрежением теоремой Крамера.

Важно сделать проверку, ее удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения \[a \approx-0,35 \quad b \approx 37,77\] в левую часть каждого уравнения системы. По итогу с небольшой погрешностью получаться числа, которые находятся в правых частях.

Метод Крамера — это простой метод решения линейных алгебраических уравнений. Этот вариант применим только к СЛАУ, в которых количество уравнений согласуется с неизвестным числом, а определитель не равен нулю.

Поэтому, когда вы изучили все шаги, вы можете продолжать использовать метод Крамера для решения алгоритма уравнения. Записываем их по порядку:

• Найти главный определитель матрицы:

Важно, чтобы определитель не имел значения – 0.

• Ищем определители:

В итоге получаем, определители матриц, которые мы вывели из матрицы A заменяя столбцы на свободные члены.

• Найдем неизвестные переменные значения:

Тут важно помнить тождества Крамера, при помощи которых, можно найти корни или по-другому неизвестные переменные.

• Выполняем проверку:

Мы проверяем решение, подставляя x, y и z в исходную СЛАУ. Все уравнения в абсолютной системе необходимо преобразовать в тождества. Вы также можете вычислить произведение матрицы A * X. Если результатом является матрица, равная B, система решена правильно. Если он не равен B, то одно из уравнений, вероятно, содержит ошибку.

Давайте сначала рассмотрим систему, состоящую из двух линейных уравнений, потому что она проще и поможет вам понять, как правильно использовать правило Крамера. Если вы разбираетесь в простых и коротких уравнениях, вы можете решать более сложные системы из трех уравнений с тремя неизвестными.

Среди прочего, существуют уравнения с двумя переменными, и решение этих уравнений целиком связано с правилом Крамера.

Пример. Таким образом, дана система, состоящая из двух линейных уравнений:

• Ищем главный определитель системы:

• Это означает, что если \[\Delta=0\], то либо у системы много решений, либо у системы нет решений. В этом случае нет смысла использовать правило Крамера, потому что решение не будет работать, и вам нужно запомнить метод Гаусса, который можно использовать для быстрого и простого решения этого примера.

Если \[\Delta \neq 0\], система имеет только одно решение, но для этого необходимо вычислить два других определителя и найти корень системы.

На практике определитель обычно может быть представлен не только \[\Delta\], но и латинской буквой D, что тоже правильно.

• Найти корни уравнения несложно, ведь главное знать формулу:

Теперь, когда мы можем решить двух линейные уравнения, мы можем решить трех линейные уравнения без каких-либо проблем. Для этого мы рассмотрим систему:

Здесь алгебраическим дополнением элементов является первый столбец \[A_<11>, A_<21>, A_<31>\]. При решении не забывайте и о других элементах. Следовательно, в системе линейных уравнений вам нужно найти три неизвестных — x, y, z и другие известные элементы.

Составим определитель системы из коэффициентов неизвестных: мы умножаем каждый член уравнения на \[A_<11>, A_<21>, A_<31>\] — алгебраическое дополнение элементов в первом столбце (коэффициент при x), а затем складываем все три уравнения вместе. У нас есть:

Согласно теореме о разложении коэффициент при x равен \[\Delta\].Коэффициенты при y и z будут равняться нулю по теореме аннулирования. Правая часть равенства по теореме замещения даёт новый определитель, который называется вспомогательным и обозначается:

Далее, можно записать равенство:

Для нахождения y и z перемножим каждое из уравнений изначальной системы в первом случае соответственно \[A_<12>, A_<22>, A_<32>\] во втором \[A_<13>, A_<23>, A_<33>\] и прибавим значение.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на для этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную:

Второй столбец умножим на третий столбец — на -ый столбец — на и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение не изменится:

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е.

Определение: Определитель называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Проанализируем полученные формулы:

• если главный определитель системы отличен от нуля (), то система имеет единственное решение;
• если главный определитель системы равен нулю (), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( или , или, . или ), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
• если все определители системы равны нулю (), то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке)

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

Воспользуемся формулами Крамера

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных матpицы-столбцы неизвестных и свободных коэффициентов

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу к матрице А, получим в силу того, что произведение найдем Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы

Найдем матрицу (см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Запишем обратную матрицу (в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид:

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Разделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Разделим все элементы третьей строки на (-3), получим Таким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если то среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, среди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Очевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство для определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

• Скалярное произведение и его свойства
• Векторное и смешанное произведения векторов
• Преобразования декартовой системы координат
• Бесконечно малые и бесконечно большие функции
• Критерий совместности Кронекера-Капелли
• Формулы Крамера
• Матричный метод
• Экстремум функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.