Решение систем уравнений с модулем
§ 3. Решение систем с параметром и с модулями
В данном параграфе мы познакомимся со способами решения систем двух линейных уравнений с модулями.
Решите систему уравнений $$ \left\<\begin
Модуль в уравнении `|x-y|=5` можно «раскрыть», пользуясь определением модуля числа:
$$\left|x-y\right|=\left\<\begin
Итак, `x=5`, `y=0`, условие `x-y>=0` выполняется. Значит, найденные пары чисел является решением исходной системы.
2 случай. Если `x-y =0`, `y>=0`;
4) `x =0`, `y>=0`, система имеет вид:
Оба полученные значения удовлетворяют заданным условиям: `1,5>=0`, `0>=0`.
2 случай. `x>=0`, `y =0`.
3 случай. `x =0` система имеет вид:
Первое уравнение не имеет решения, так как сводится к равенству `0=6`, значит система не имеет решений.
4 случай. `x -5/2`, то `|y+5/2|=y+5/2`; если `y то `|y+5/2|=-y-5/2`.
Выражение `y-1=0`, если `y=1`.
Если `y>1`, то `|y-1|=y-1`, а если `y =1`, то `|y-1|=y-1` и `|y+5/2|=y+5/2`, получаем уравнение:
Тогда `x=1/3(2*2+5)=3`. Число `2>1`, так что пара `(3;2)` является решением системы.
Пусть теперь `-5/2 хождения `y` получаем уравнение
Число `8/13` больше `(-5/2)`, но меньше, чем `1`, поэтому пара чисел `(27/13;8/13)` является решением системы.
Модули в системах уравнений и неравенств с двумя переменными
Подробней о раскрытии модуля в уравнении, см. §40 справочника для 7 класса, а также пример 2 §14 данного справочника.
Подробней о раскрытии модуля в неравенстве, см. §10 данного справочника.
п.1. Примеры
б) \( \left\< \begin
Проанализируем первый график:
Исходная прямая y = x – 1 превращается в ломаную y = |x – 1|, «отражается» в точке (1; 0) в положительную полуплоскость y > 0.
Далее, ломаная y = |x – 1| опускается на 1 вниз y = |x – 1| – 1.
Наконец, области y = |x – 1| – 1 с отрицательными Y снова отражаются в положительную полуплоскость y > 0.
Второй график – окружность с центром (1; 0), радиусом 1.
Решение – точка A(1; 3) и треугольник BCD, заданный системой трех неравенств:
\( \left\< \begin
Пример 3. Найдите значения параметра a, при которых система имеет ровно два решения:
\( \left\< \begin
y = x 2 – 5|x| + 4 – парабола y = x 2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4), x > 0, отраженная в отрицательную полуплоскость x 0 является прямая \( \mathrm
Вершина лежит на оси. Ордината вершины: y0 = 2,5 2 – 5 · 2,5 + 4 = –2,25.
В полуплоскости x –2,25 решений бесконечное множество (отрезки кривой).
Ответ: a = –2,25.
Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули
Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули.
2.Понятия и определения………………………………………….4
4.Способы решение уравнений, содержащих модуль…………. 6
4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12
4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14
4.3.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины…………………………………………………………..15
4.4.Решение нестандартных уравнений, ………….16
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.
В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.
В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и. т.п.
Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.
2. Понятия и определения
Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:
Уравнение-это равенство, содержащее переменные.
Уравнение с модулем — это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).Например: |x|=1
Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.
В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:
Модуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.
3. Доказательство теорем
Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна — a, если a меньше нуля:
Из определения следует, что для любого действительного числа a,
Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или –a
1. Если число a положительно, то — a отрицательно, т. е. — a 0 уравнение имеет 2 различных корня.
Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6
Ответ: x1=6, x2=11/3
Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2= ( x – 1)2.
Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера (и по соотношению (1)):
2х + 3=х – 1 или 2х + 3=-х + 1
2х – х=-1 – 3 2х+ х=1 – 3
Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)
Пример 6. Решим уравнение |x – 6|=|x2 – 5x + 9|
Пользуясь соотношением (1), получим:
х – 6=х2 – 5х + 9 или х – 6 = -(х2 – 5х + 9)
-х2 + 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6=-x2 + 5x — 9
x2 — 6x + 15=0 x2 – 4x + 3=0
D=36 – 4 * 15=36 – 60= -24 0
Проверка: |1 – 6|=|12 – 5 * 1 + 9| |3 – 6|=|32 – 5 * 3 + 9|
5 = 5(И) 3 = |9 – 15 + 9|
4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.
Геометрический смысл модуля разности величин — это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x – a | — длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.
Пример 7. Решим уравнение |x – 1| + |x – 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.
Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка — нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].
Пример8. Решим уравнение |x – 1| — |x – 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.
Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно, решением данного уравнения будет являться не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.
Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:
|x – a| + |x – b|=b – a, где b >a Û a a Û x
http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/moduli-v-sistemah-uravnenij-i-neravenstv-s-dvumya-peremennymi/
http://pandia.ru/text/78/290/1270.php