Решение систем уравнений в частных производных

Решение систем уравнений в частных производных

МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Точные решения > Системы дифференциальных уравнений в частных производных

Системы дифференциальных уравнений в частных производных

Веб-сайт EqWorld содержит обширную информацию о решениях различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными (уравнений математической физики), интегральных уравнений, функциональных уравнений и других математических уравнений.

Системы уравнений с частными производными. Характеристики

Для решения систем уравнений с частными производными первого порядка могут быть использованы различные разностные схемы метода сеток, разработанные для одного уравнения. С этой целью формально систему уравнений можно записать в векторной форме с помощью одного уравнения, и тогда вид разностных формул сохраняется таким же, как и для скалярного уравнения. Разница состоит в том, что вместо скалярной сеточной функции вводится векторная.

Рассмотрим систему двух квазилинейных уравнений относительно искомых функций :

(2.60)

Коэффициенты этой системы переменные и зависят от х, t, U, V. Введем следующие обозначения: U — искомый вектор; F — вектор правой части; А, В — матрицы коэффициентов:

Запишем систему уравнений (2.60) в векторном виде:

Для решения этого квазилинейного векторного уравнения могут быть использованы различные разностные схемы, которые применяются для решения одного уравнения.

Мы не будем повторять сказанное ранее для одного уравнения, а остановимся на одном частном случае системы (2.60), важном для приложений. Речь идет о системах гиперболического типа. Введем матрицу С где α, β — некоторые числа. Тогда определитель этой матрицы

(2.61)

является квадратичной формой относительно α и β,т.е.

(2.62)

где коэффициенты q1, q2, q3, легко выразить через элементы матриц А, В, раскрывая определитель (2.61).

Система уравнений с частными производными первого порядка (2.60) называется гиперболической,если квадратичная форма (2.62) разлагается на вещественные линейные множители:

причем векторы неколлинеарны. Эти векторы в каждой точке плоскости (х,t) образуют два направления, которые называются характеристическими. Линия, касательная к которой в каждой точке имеет характеристическое направление, называется характеристикой. Через каждую точку проходят две характеристики, соответствующие двум характеристическим направлениям. Таким образом, всю плоскость (х, t) можно покрыть двумя семействами характеристик (рис. 2.18).

Рис. 2.18. Характеристики

Заметим, что в случае системы уравнений (2.60) с постоянными коэффициентами характеристические направления, если они существуют, постоянны для всех точек плоскости. Им соответствуют два семейства прямолинейных характеристик. В самом общем случае, когда коэффициенты системы (2.60) зависят от х, t, U, V, характеристики могут существовать в одной части плоскости (х, t) и отсутствовать в другой. Следовательно, гиперболичность системы (2.60) может быть не на всей плоскости, а лишь в некоторой области.

Наряду с гиперболическими системами существуют также параболические (с одним семейством характеристик) и эллиптические (действительных характеристик нет) системы.

Характеристики можно использовать для построения алгоритма численного решения системы уравнений с частными производными в области ее гиперболичности. Такой способ решения называется методом характеристик.

Не приводя подробных выкладок и опуская сами формулы, изложим идею метода характеристик. Рассмотрим задачу Коши. Пусть при t = 0 заданы начальные значения функций . Выбираем любой отрезок [а,b] на оси х и разбиваем его на части точками (рис. 2.19). В данном случае принято n= 4.

Рис. 2.19. К решению задачи Коши методом характеристик

Из точки А0 проводим характеристику первого семейства, из А1 — второго. Находим точку пересечения В0. Используя некоторые соотношения (характеристические) вдоль отрезков характеристик А0В0 и А1В0,заменяющие исходные уравнения, вычисляем искомые функции в точке В0. Аналогично находим решение в других точках слоя В. При этом в отличие от метода сеток этот слой не является прямолинейным отрезком t= const, а определяется точками пересечения характеристик.

Далее вычисляем искомые значения в точках слоев С, Dи т.д. При этом каждый раз (при решении задачи Коши) при переходе от слоя к слою число узлов уменьшается на единицу, так что на последнем слое получается лишь один узел. Область решения задачи Коши представляет собой криволинейный треугольник с кусочно гладкими сторонами.

При решении краевой задачи используют значения искомых функций на границах. В этом случае расчетная область изменяется: она прилегает к границе х = const, на которой заданы значения функций U(x), V(x). При этом вблизи границы используют характеристики одного семейства, выходящие из границы и попадающие в расчетную область. Если граничные условия задают при двух значениях х, то алгоритм метода характеристик значительно усложняется.

Достоинством метода характеристик является то, что он основан на физической сущности задачи, поскольку возмущения распространяются по характеристикам. Метод позволяет выявить разрывы в решении. Недостатком метода является нерегулярность получаемой сетки, поскольку узлы располагаются неравномерно (в точках пересечения характеристик).

Для устранения этого недостатка разработаны так называемые сеточно-характеристические методы. Их идея состоит в том, что сетка фиксируется заранее, а характеристики проводятся «назад» из узлов (j+ 1)-ого слоя до пересечения с j-ым слоем. Значения U, Vв точках пересечения вычисляются путем интерполяции по ранее найденному решению в узлах j-ого слоя.

Геометрическая интерпретация сеточно-характеристического метода показана на рис. 2.20. Здесь точками отмечены заранее выбранные узлы; штриховые линии — отрезки характеристик. Значения функций в точках пересечения А и В находятся интерполированием решения в узлах и Эти значения используют для определения решения в расчетном узле (i, j+1).

Рис. 2.20. Геометрическая интерпретация сеточно-характеристического метода

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X ₁ , X ₂ , . X_n – заданные функции переменных x ₁ , x ₂ , . x_n .

Чтобы решить линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка:

необходимо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение характеристик):
:
Далее нужно представить решение в виде:
φ ₁( x ₁ , x ₂ , . x_n ) = C ₁ ,
φ ₂( x ₁ , x ₂ , . x_n ) = C ₂ ,
.
φ_{n- 1} ( x ₁ , x ₂ , . x_n ) = C_{n- 1} ,
где C_k – постоянные.
После чего сразу получаем общее решение:
,
где F – произвольная функция от n – 1 аргументов.

Если нужно получить частное решение с определенными граничными условиями, то необходимо подставить значения переменных из граничных условий в общее решение и найти вид функции F .

Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X ₁ , X ₂ , . X_{n+ 1} – заданные функции от переменных x ₁ , x ₂ , . x_n и z .

Чтобы решить линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка:
,
необходимо решить уравнение характеристик:
.
Решение этой системы нужно представить в следующем виде:
φ ₁( x ₁ , x ₂ , . x_n , z ) = C ₁ ,
φ ₂( x ₁ , x ₂ , . x_n , z ) = C ₂ ,
.
φ_n ( x ₁ , x ₂ , . x_n , z ) = C_n .
После чего сразу получаем общий интеграл в неявном виде:

где F – произвольная функция. Также общий интеграл можно представить в различных вариантах, например:
φ ₁ = F ( φ ₂ , φ ₃ , . φ_n ) ,
φ ₂ = F ( φ ₁ , φ ₃ , . φ_n ) ,
и т. д.

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Однородное уравнение

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .

Это линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Это уравнение характеристик содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье будет выполнено автоматически.

Выбираем и решаем первое уравнение:

Здесь переменные уже разделены, интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда

Подставим во второе уравнение:

Или:

Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на x -1 и преобразуем:

Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение C₁ = x y 2 :

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Общее решение исходного уравнения в частных производных имеет вид:

где F — произвольная функция от двух аргументов F(φ₁, φ₂) . Найдем ее вид из граничного условия
при .

Рассматриваем решение на границе.
Положим x y = –1 :

Отсюда

На границе
.

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
F ( φ ₁ , φ ₂ ) = φ ₁ φ ₂ .
Такой же вид она имеет и во всей области
Подставляя
;
,
получаем частное решение исходного уравнения в частных производных с заданным граничным условием:

Общее решение:

где F — произвольная функция от двух аргументов F ( φ ₁ , φ ₂ ) .

Неоднородное уравнение

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность x + y + z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .

Это линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Оно содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье удовлетворится автоматически. Выбираем первое и второе уравнения.

Решаем уравнение:

Умножаем на 2 z и интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда
x = C ₁ y

Подставим во второе уравнение:

Или:

Замечаем, что , тогда

Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Разделим на y 2 и преобразуем:

Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение и преобразуем:

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Для удобства дальнейших вычислений заметим, что функция от постоянной также является постоянной. Поэтому запишем интегралы в виде:

Общий интеграл исходного уравнения в частных производных имеет вид:
F ( φ ₁ , φ ₂) = 0
Но, поскольку F — произвольная функция от двух аргументов, то общий интеграл можно записать также в виде:
φ ₁ = F ( φ ₂) ,
где F — произвольная функция от одного аргумента.

Найдем вид этой функции, рассматривая решение на границе.
На границе, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , .
Из уравнения x + y + z = 0 , z = – ( x + y ) . Подставим в x 2 + y 2 + z 2 = a 2 и преобразуем:
x 2 + y 2 + ( x + y ) 2 = a 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = a 2
2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = a 2
Разделив на y 2 , имеем

Итак, мы нашли, что на границе:

.
Подставим в выражение общего интеграла:
φ ₁ = F ( φ ₂)
.
Сделаем подстановку
:
.

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
.
Такой же вид она имеет и во всей области, тогда
.
Подставляем выражения для φ₁ и φ₂ :

.
Умножим на a 2 y 2 .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-09-2014