Решение систем уравнений второй степени конспект

Конспект урока по алгебре в 9 классе на тему «Решение систем уравнений второй степени»
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Тема урока: « Решение систем уравнений второй степени»

Тип урока: урок формирования новых умений.

Цели: 1) Закрепить умение решать системы уравнений второй степени;

Повторить алгоритм решения систем уравнений второй степени.

2) Рассмотреть некоторые нестандартные приёмы решения систем

уравнений второй степени с двумя переменными, решение текстовых

задач с помощью систем.

3) Способствовать формированию умений обобщать, проводить

рассуждения, анализировать. Развивать мышление и речь.

Оборудование: компьютер, экран, проектор.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: « Решение систем уравнений второй степени»

Тип урока: урок формирования новых умений.

Цели: 1) Закрепить умение решать системы уравнений второй степени;

Повторить алгоритм решения систем уравнений второй степени.

2) Рассмотреть некоторые нестандартные приёмы решения систем

уравнений второй степени с двумя переменными, решение текстовых

задач с помощью систем.

3) Способствовать формированию умений обобщать, проводить

рассуждения, анализировать. Развивать мышление и речь.

Оборудование: компьютер, экран, проектор.

1.Организация класса. Объявление темы, цели урока.

2. Проверка домашнего задания:

Решения № 435,б; Сборник Лысенко 2.21 стр 103 на экране.

Учащиеся сравнивают результаты пунктов д/р, делают анализ ошибок.

Ответы: №432 в)(3; -1); № 435 б) (-3,5; 2,5) и (3,5; -2,5)

Л. 2.21 : Вычислите координаты точек пересечения парабол

у = 3х 2 – 8х -2 и у = х 2 – 4.

Решение: находим решение уравнения 3х 2 – 8х -2 = х 2 – 4.

Х 2 -4х+1 =0, х 1 = 2+ 3 , х 2 = 2 — 3

Тогда у 1 = 4 3 +3; у 2 = 3 — 4 3 .

Ответ: ( 2+ 3; 43 +3 ) и (2 — 3 ; 3 — 4 3)

3. Фронтальный опрос (мозговой штурм) :

1.Что называется решением уравнения с двумя переменными?

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

2.Равносильные уравнения – это…

Это два уравнения с двумя переменными, имеющие одно и то же множество решений.

3.Что мы называем графиком уравнения с двумя переменными?

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

4. Сколько пар решений может иметь система уравнений?

Одну. Две, несколько пар чисел.

5. Назовите, что является графиком следующих функции?

д) х 2 + (у -1) 2 = 1

а) окружность с центром (0;0) и r = 3.

б) прямая у = 0,5х – 4.

В) прямые х = 2 и х = -2.

Г) у = 6х — гипербола I и III четверти.

Д) окруж с центром (0;1) и r = 1.

4. Самостоятельная работа. ( три группы, в каждой группе свой консультант)

Задание: указать номер верного ответа (на карточках).

1. (-1; 1) и (2 13 ; 3)
2. (-1; 1) и (-2; 4)
3. (2 13 ; 3) и (-1; 1).

Верные ответы: 1 группа: № 2,

5. « Для тех, кто хочет знать больше» Фронтальная работа (15 мин)

1) Решим систему: х 2 – 9у 2 –х + 3у = 0,

Решение: Многочлен из левой части 1-го уравнения разложим на множители:

х 2 – 9у 2 –х + 3у = (х – 3у) (х + 3у) – (х – 3у) = (х – 3у) (х + 3у — 1),

тогда получаем равносильную систему:

(х – 3у) (х + 3у — 1) = 0, х – 3у = 0,

Х 2 –ху +у =7. х + 3у – 1 =0;

Решим отдельно 1-ую систему: х – 3у = 0,

9у 2 -3у 2 +у – 7 = 0;

Из 2-го уравнения: 6у 2 +у -7 = 0

Д = 169, у 1 =- 1 16 , у 2 = 1.

Тогда х 1 =-3 12 и х 2 = 3. Получили пары (-3 12 ; -1 16 ) и (3; 1).

Из второй системы: х = -3у + 1,

(-3у + 1) 2 – у(-3у + 1) + у – 7 = 0

У 3 = — 12 , у 4 = 1. Тогда х 3 = 2,5 и х 4 = -2.

Получили пары (2,5 ; -12 ) и (-2; 1)

Ответ: (-3 12 ; -1 16 ); (3; 1) и (2,5 ; -12 ) и (-2; 1)

2) Решим систему: х 2 + 3ху + у 2 = 11,

Решение: уравнения этой системы содержат сумму переменных (х + у),

Произведение ху и сумму квадратов (х 2 + у 2 ). Если в этой системе заменить х на у , а у на х , то получим ту же систему. Такие системы называют симметричными.

Их удобно решать, вводя новые переменные. Пусть х + у = u, ху = v ,

Тогда х 2 + у 2 = (х +у) 2 — 2ху = u 2 — 2v.

Получаем u 2 — 2v + 3v = 11, u 2 + v = 11

v + u = 5; v + u = 5;

Решив эту систему способом подстановки, найдём,

что u 1 = -2; v 1 = 7; u 2 = 3; v 2 = 2.

Тогда, подставив в замену, получим:

Х + у = -2, х + у = 3,

Первая система даёт : х = -2 – у,

Вторая система: х = 3 – у,

Д = 1, у 1 = 1, у 2 = 2; тогда х 1 = 2, х 2 = 1.

Для той группы учащихся, которым такая работа непосильна, можно предложить задачи из учебника

№ 538 Решение: составим систему: х +у = 5 (х — у),

ОДЗ: х, у > 0. Ответ: 18 и 12.

№ 541. Решение: пусть число десятков – х, а число единиц – у,

тогда данное число имеет вид 10х + у.

Из условия имеем: 4(х +у) = 10х + у,

Получим х = 3, у = 6, 10* 3 +6 = 36.

Если позволит время можно «устроить» обмен информацией между этими

6. Из материалов ГИА. 2х + 3у= 4,

Задание: При каком р верно решение системы х – у = -3,

Решение: Надо решить систему 2х + 3у= 4 ,

получим пару (-1; 2) и эту пару подставим в третье уравнение :

Ответ: система имеет решение при р =3.

По желанию дома решите аналогичное задание: при каком р система имеет решение 3х – 2у = 7,

Выставление оценок. Д/з : №441, № 444(б) + Сборник Лысенко №2.23

МБОУ «Сеитовская ООШ»

Урок в 9 классе по алгебре на тему

«Решение систем уравнения второй степени»

Учитель: Якупова А.И-М.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Итоговый урок по теме:Решение задач на составление систем уравнений второй степени в форме защиты проектов.

Представленный ниже урок в форме защиты проектов явился результатом совместного творчества учителя и группы ребят, увлекающихся математикой. Совместная работа над этой проблемой показала к.

Конспект урока по алгебре 8 класс по теме «Квадратные уравнения»

Презентация к обощающему уроку по алгебре в 8 классе по теме «Квадртаные уравнения&quot.

Алгебра 9. План — конспект урока по теме «Решение систем уравнений второй степени»

Алгебра 9. План — конспект урока по теме «Решение систем уравнений второй степени». Урок практической отработки полученных ЗУН. Цель и задачи урока: отработать практические н.

Урок алгебры «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени», 9 класс

Конспект урока по теме «Решение задач с помощью систем уранений второй степени&quot.

Конспект урока по алгебре 7 класс на тему «Линейное уравнение с одной переменной»

Конспект урока по алгебре 7 класс на тему «Линейное уравнение с одной переменной» Тип урока : урок изучения первичного закрепления новых знаний.Цели: — общеобразовательные.

Технологическая карта урока алгебры в 9 классе по теме: «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений»

1. Разработка технологической карты урока алгебры в 9 классе по теме: «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений.2. Технологическая .

План-конспект урока по алгебре 9 класс на тему: » Корень n-ой степени «.

КОНСПЕКТ ОТКРЫТОГО УРОКА ПО АЛГЕБРЕ В 9 КЛАССЕ.

Конспект урока по теме: «Решение систем уравнений второй степени» (Алгебра, 9 класс)

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по теме: «Решение систем уравнений второй степени» (Алгебра, 9 класс)»

9 класс АЛГЕБРА Урок № __

Тема: Решение систем уравнений второй степени.

Цель: рассмотреть способ подстановки для решения систем уравнений.

I. Организационный момент

Учитель и ученики приветствуют друг друга. Выявляются отсутствующие

II. Сообщение темы и цели урока

III. Повторение и закрепление раннее пройденного материала

1. Проверка выполнения домашнего задания

2. Контроль усвоения материала

1. Графически решите систему уравнений

2. Для каждого значения параметра а найдите число решений системы уравнений

1. Графически решите систему уравнений

2. Для каждого значения параметра а найдите число решений системы уравнений

IV. Изучение нового материала

Рассмотрим теперь аналитическое решение систем уравнений с двумя переменными. Наиболее распространённый способ решения систем – способ подстановки. Для этого необходимо:

1) выразить из более простого уравнения одну переменную через другую;
2) подставить это выражение в другое уравнение и получить уравнение с одной неизвестной;
3) решить полученное уравнение с одной переменной;
4) найти соответствующие значения второй неизвестной.

Решим систему уравнений

Второе уравнение системы является линейным (первой степени) и, соответственно, более простым. Выразим из него переменную у через переменную х: у = 2х – 3. Подставим это уравнение в первое уравнение и получим уравнение с переменной х:

х(2х – 3) + 5х + (2х – 3) = 8, или (после преобразований) -8х+4=0. Корни этого квадратного уравнения: х₁ = 2 и х₂ = . Используя формулу у = 2х – 3, найдём соответствующие значения переменнной у: у₁ = 2∙2 – 3 = 1 и у₂ = 2∙ – 3 = — .

Итак, система имеет два решения: (2; 1) и .

Во многих случаях оба уравнения системы являются нелинейными. Иногда способ подстановки пригоден и для таких систем.

Решим систему уравнений

Очевидно, что х ≠ 0. Из второго уравнения выразим переменную у через х: у = и подставим в первое. Получаем уравнение + 5∙3 – 2∙ = -2, или (после преобраований) +17 -18=0. Корни этого биквадратного уравнения: х₁ = 1 и х₂ = -1. По формуле у = найдём соответствующие значения у: у₁ = = 3 и у₂ = = -3. Итак, система уравнений имеет два решения: (1;3) и (-1;-3).

Способ подстановки полезен и при решении систем уравнений с параметрами.

При всех значениях параметра а определите число решений системы уравнений

Из второго уравнения выразим переменную у через х: у = а + х. Подставим это выражение в первое уравнение и получим: + (а – х) 2 = 1, или — 2ах + а 2 – 1 = 0. Дискриминант этого квадратного уравнения D = 4(2 — а 2 ). Число решений уравнения (а следовательно, и системы уравнений) определяется знаком дискриминанта.

Если D 0, или а ∈ (- , система имеет два решения (пересечение прямой и окружности – случай а).

Если D = 0, или а ∈ , система имеет одно решение (касание прямой и окружности – случай б).

Если D или а ∈ (-∞;- ⋃( , система не имеет решений (прямая не пересекает окружность – случай в).

Заметим, что в ряде случаев при решении используют способ сложения (как частный случай способа подстановки).

Решим систему уравнений

Сложим уравнения системы и получим: = 32, или =4, откуда х+1 = 2 и х₁ = 1 и х₁ = -3. Подставим выражение =4, например, в первое уравнение системы. Получим: 3 ∙ 4 — 2 = 10, откуда = 1, или у + 3 = 1 и у = -2.

Итак, система уравнений имеет два решения: (1; -2) и (-3; -2).
Остальные способы решения систем уравнений будут рассмотрены в конце главы.

План -конспект на тему: » Решение систем уравнений второй степени» ( 9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Открытый урок по алгебре

Решение систем уравнений второй степени с двумя методом подстановки.

Подготовила и провела

МБОУ « Новопокровская школа»

систематизировать знания по данной теме

выработать умение решать системы уравнений, содержащие уравнения второй степени способами подстановки.

развивать вычислительную технику, мыслительную активность, логическое мышление;

способствовать формированию ключевых понятий;

выполнять задания различного уровня сложности; развивать правильную математическую речь

формировать графическую и функциональную культуру обучающихся.

воспитывать внимательность, аккуратность, умение четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу, воспитывать глубокий и устойчивый интерес к изучению математики

формировать навыки общения, умения работать в коллективе.

1. Отработать алгоритм решения систем уравнений второй степени способом подстановки и различного уровня сложности.

2. Отработать навыки и умения иллюстрировать решения систем уравнений графически.

Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная, коллективная, групповая, самостоятельная, работа в парах.

Тип урока : комбинированный.

Методы урока: практический, наглядный, словесный.

Оборудование: учебник «Алгебра – 9 класс» Макарычева Ю.Н., под ред. С.А.Теляковского, раздаточный материал, карточки с алгоритмом портреты.

Математике должны учить в школе

еще с той целью,

чтобы познания, здесь приобретаемые,

были достаточными для обыкновенных

потребностей в жизни.

Сегодняшний урок я хотела начать с философской загадки «Что самое быстрое, но и самое медленное, самое большое, но и самое маленькое, самое продолжительное и краткое, самое дорогое, но и дёшево ценимое нами?» (Время).

Итак, у нас всего 45 минут, и мне очень хотелось, чтобы это время пролетело для вас незаметно и с пользой.

Сегодня на уроке мы должны рассмотреть способ подстановки для решения систем уравнений.

Проверка домашнего задания.

III Актуализация опорных знаний.

Определение системы уравнения с двумя переменными.

(Уравнения, объединенные фигурной скобкой, имеющие множество решений одновременно удовлетворяющих для каждого уравнения)

Что называют решением системы уравнений с двумя переменными?

(Пара значений, которые обращают каждое уравнение в системе в верное равенство)

Какие уравнения называются равносильными?

(Уравнения, которые имеют одно и тоже множество решений )

Назовите основные способы решения систем уравнений.

Графический, метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод замены переменной.

Учащиеся определяют вид уравнения, формулируют определения).

1) 6) ,

2) , 7) ,

3) , 8)

4) , 9)

5) 10)

3. Какая фигура является графиком уравнения?

4.Какая из следующих пар чисел является решением системы уравнений

х 2 +у 2 =1

5. Решение какой системы изображено

IV Из истории решения систем уравнений.

Еще древним вавилонянам и египтянам было известно много задач, решение которых сводилось к решению уравнений с одной переменной. Только в то время не умели применять в математике буквы. Поэтому вместо букв брали числа, показывали на числах, как решать задачу, а потом уже все похожие на нее задачи решали тем же способом.
В древневавилонских текстах, написанных в III – II тысячелетиях до н.э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй степени.

Многие уравнения умел решать греческий математик Диофант, который даже применял буквы для обозначения неизвестных.

Но по-настоящему метод уравнений сформировался в руках арабских ученых. Они, по-видимому, знали, как решали задачи в Вавилоне и Индии, улучшили эти способы решения и привели их в систему. Первым написал книгу на арабском языке о решении уравнений Мухаммед ибн Мусса ал-Хорезми. Название у нее было очень странное − «Краткая книга об исчислении ал-джабры и ал-мукабалы». В этом названии впервые прозвучало известное нам слово «алгебра».

Книга ал-Хорезми о решении уравнений не была столь распространена, как его сочинение об индийском счете. Но и с нею познакомились математики Западной Европы. Когда они овладели методами ал-Хорезми, то стали их улучшать, применять к все более сложным уравнениям, настолько сложным, что без букв оказалось невозможно к ним подступиться.

Французский ученый Франсуа Виет(XVIв.) впервые ввел символическую запись уравнения: стал обозначать неизвестные величины одними буквами, а известные − другими. Алгебраическая символика совершенствовалась в трудах Декарта, Ньютона, Эйлера.

Рене Декарт
(1596 — 1650)
французский математик и философ

Мыслю, следовательно существую.

Исаа́к Нью́то́н 4 января 1643 — 31 марта 1727 — английский физик , математик и астроном , один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда « Математические начала натуральной философии », в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики , ставшие основой классической механики . Разработал дифференциальное и интегральное исчисление , теорию цвета и многие другие математические и физические теории.

ЛЕЙБНИЦ ( Leibniz ) Готфрид Вильгельм (1 июля 1646, Лейпциг — 14 ноября 1716, Ганновер), немецкий философ, логик, физик, математик и языковед.

Леонард Эйлер (1707—1783), — российский, немецкий и швейцарский математик. Анализировал бесконечно малые. Благодаря его работам, математический анализ стал вполне оформившейся наукой.

Карл Гаусс (1777—1855), — немецкий математик, астроном и физик. Создал теорию «первообразных» корней, из которой вытекало построение семнадцатиугольника. Один из величайших математиков всех времён.

Жозе́ф Луи́ Лагра́нж ( 25 января 1736 — 10 апреля 1813) — французский математик и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером — лучший математик XVIII века . Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала.

Основная цель при решении систем линейных уравнений — решить систему уравнений, то есть найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для решения системы уравнений с двумя переменными используются разные способы. Практическое применение этих способов — это решение задач, по алгебре, физике, химии, геометрии.

V . Изучение нового материала

Основными методами решения систем уравнений являются метод подстановки и метод сложения.

При этом используют приемы: замена переменных, формулы сокращенного умножения, равенство произведения нулю и другие.

Записать на доске 3 метода решения систем уравнений.

1. Графический метод

2. Метод подстановки

3.Метод алгебраического сложения

С системами уравнений мы познакомились в курсе алгебры 7-го класса, но это были системы специального вида – системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Алгоритм, который был выработан в 7 классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений с двумя переменными х и у.

Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы.

Подставить полученное выражение вместо переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение относительно одной переменной.

Подставить поочередно каждый из найденных на 3 шаге корней уравнения в выражение, полученное на первом шаге и найти другую переменную.

Записать ответ в виде пар значений (х;у).

Покажу, как работает этот метод при решении систем.

Решим систему уравнений:

Применим метод подстановки. Преобразуем исходную систему:

Ответ: (1;0), (2;1)

VI . Закрепление знаний.

Рассмотреть по учебнику № 433( а), № 437 (а)

Решение системы уравнений по алгоритму.

Реши систему уравнений