Решение систем уравнений за 10 класс

Урок по алгебре на тему «Решение систем уравнений» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Решение систем уравнений

систематизировать и углубить сведения учащихся о системах уравнений и методах их решений;

решать системы способом сложения, подстановок, вспомнить алгоритм решения круговых систем, симметричных и однородных систем уравнений:

развивать внимание, умение анализировать и обобщать изучаемый материал, развитие логического мышления, логической речи, умения наблюдать и делать выводы, формировать навыки самоконтроля и самооценки учащимися собственных умений

развивать умения использовать информационные технологии для получения знанний;воспитывать настойчивость,целеустремленность,аккуратность.

Тип: усвоение новых знаний

Оборудование: презентация, карточки с заданиями

І. Организационный момент.

ІІ. Актуализация опорных знаний.

а) Что является решением уравнения с двумя переменными?

б) Что значит решить уравнение с двумя переменными?

г) Какие системы называются равносильными?

д) Какие способы решения систем уравнений вы знаете?

е) Каким способом удобнее всего решить данный пример? ( примеры на слайде )

Устные тестовые задания – презентация.

Круговыми , или цикличными , называют системы вида:

и вида Алгоритм решения :

Сложить уравнения системы.

Разделить обе части полученного уравнения на 2.

Последовательно подставить в полученное уравнение правые части трех уравнений системы.

Алгоритм решения :

Перемножить уравнения системы.

Последовательно подставить в полученное уравнение правые части трех уравнений системы.

Французский писатель Анатоль Франс заметил “Чтобы переварить знания надо поглощать их с аппетитом”, последуем совету писателя, будем на уроке активны, внимательны, будем “поглощать” знания с большим желанием. Перед нами стоит задача: повторить способы решения систем уравнений, расширить знания и проверить свое умение самостоятельно применять полученные знания, дать самооценку своим знаниям.

І V. Закрепление знаний

(повторить определение однородного многочлена от двух переменных)

(2;1)

(1;2), (2;1)

Системы уравнений, решаемые с помощью теоремы, обратной теореме Виета

, (4;9)

(-1;4;3)

(2; ½;4), (-2;- ½;-4)

(2;1), (1;2), (-1;-2), (-2;-1)

(2;0,5;4), (-2;-0,5;-4)

Я все знаю, понял и могу объяснить другим!

Я все знаю, понял, но не уверен, что смогу объяснить другому.

Я сам знаю, понял, но объяснить другому не смогу.

У меня остались некоторые вопросы.

VI. Домашнее задание:

самостоятельно найти и разобраться с решением системы нестандартного вида и донести до одноклассников. Каждый получает задание на самостоятельное решение

Краткое описание документа:

Данный материал содержит конспет урока на тему «Решение систем уравнений» с использованием ИКТ-технологий. Это позволяет сэкономить время и повысить эффективность обучения.

Конспект урока включает актуализацию опорных знаний учащихся по решению систем. В разработке приведены системы как для устного решения, так и для решения методом Гаусса.

Рассмотрен алгоритм решения круговых, симметричных и однородных систем.

Мотивационные моменты рефлексии обеспечивают эмоционально стабильный фон, устойчивость к стрессам и жизненную компетентность учащихся.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 576 919 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

30.11.2014
581
0

30.11.2014
737
0

30.11.2014
748
0

30.11.2014
619
0

30.11.2014
905
0

30.11.2014
987
0

30.11.2014
967
0

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

30.11.2014 4202
DOCX 239 кбайт
113 скачиваний
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бижко Инна Григорьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 7 лет и 2 месяца
Подписчики: 0
Всего просмотров: 6966
Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №14. Алгебраические системы уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) определение алгебраической системы уравнений;

2) методы решений алгебраических систем уравнений;

3) симметрические системы уравнений.

Глоссарий по теме

Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Систему уравнений называют однородной, если P(x;y), Q(x;y) — однородные многочлены одной и той же степени, а а и b — действительные числа.

Уравнение P(x;y)= а, где, называют симметрическим, если P(х;y) — симметрический многочлен.

Систему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если оба ее уравнения — симметрические.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

К определению системы уравнений будем подбираться постепенно. Сначала лишь скажем, что его удобно дать, указав два момента: во-первых, вид записи, и, во-вторых, вложенный в эту запись смысл. Остановимся на них по очереди, а затем обобщим рассуждения в определение систем уравнений.

Пусть перед нами несколько каких-нибудь уравнений. Для примера возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5. Запишем их одно под другим и объединим слева фигурной скобкой:

Записи подобного вида, представляющие собой несколько расположенных в столбик уравнений и объединенных слева фигурной скобкой, являются записями систем уравнений.

Что же означают такие записи? Они задают множество всех таких решений уравнений системы, которые являются решением каждого уравнения.

Не помешает описать это другими словами. Допустим, какие-то решения первого уравнения являются решениями и всех остальных уравнений системы. Так вот запись системы как раз их и обозначает.

А теперь можно сформулировать определение.

Определение. Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.

Мы будем решать сегодня, в основном, системы уравнений с двумя переменными.

Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Рассмотрим методы решения систем уравнений.

Методы решения систем уравнений.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом подстановки:
1. Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы (более простого).
2. Подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение и найти одну из переменных.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в уравнение, полученное на первом шаге и найти вторую переменную.
5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шаге.

Решить систему уравнений

1. Выразим x через y из второго (более простого) уравнения системы x=5+y.

2. Подставим полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (5+y)⋅y=6

3. Решим полученное уравнение:

4. Подставим поочерёдно каждое из найденных значений y в уравнение x=5+y, тогда получим:

5. Пары чисел (−1;−6) и (6;1) — решения системы.

Метод алгебраического сложения

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом сложения:
1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.
2. Сложить или вычесть уравнения.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить поочерёдно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены.

Метод введения новых переменных

При решении систем двух уравнений с двумя переменными метод введения новых переменных можно применять двумя способами:

1. вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы;

2. вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.

Решение: введем новые переменные xy= u, x+y=v.

Тогда систему можно переписать в более простом виде:

Решением системы является две пары чисел.

Первая пара чисел:

Вторая пара чисел:

Однако пара (0;0), являющаяся решением первого уравнения системы, не удовлетворяет второму уравнению, т. к. 0²-3·0·0 + 0² = 0 ≠-1. Отсюда х ≠0, и поэтому можем обе части первого уравнения системы разделить на х² ≠ 0 (это не приведет к потере корней). Разделив обе части первого уравнения системы на х², получим

получим t² -1 — 2 = 0 t₁ =2, t₂ =-1.

Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем уравнений:

Первая из этих систем имеет два решения: х₁ =1, у₁ = 2; х₂ = -1; у₂ = -2.

Вторая система несовместна. Отсюда (1;2), (—1;—2) — решения исходной системы.

Решить систему уравнений

Сложим уравнения почленно.

Решим полученное уравнение с одной переменной.

Подставим поочередно каждый из найденных корней уравнения

в одно из уравнений исходной системы, например во второе, и найдём второе неизвестное.

если х=5, то 25+y 2 =29

если х=-5, то 25+y 2 =29

Пары чисел (−5;−2), (−5;2), (5;−2) и (5;2) — решения системы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений. 10 класс.

Исследовательская работа по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений». 10 класс. Алгебра и начала анализа.

Скачать:

Вложение	Размер
nou._reshenie_sistem_lineynykh_algebraicheskikh_uravneniy.doc	515 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 81

Сормовского района г. Н. Новгорода

Научное общество учащихся

«Решение систем линейных алгебраических уравнений»

Выполнил: Тихонов Никита,

ученик 10 «а» класса

Капочкина Антонина Николаевна,

1.Системы линейных алгебраических уравнений

2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

2.1. Основные понятия.

2.2 Определители второго порядка и их свойства.

2.3 Определители третьего порядка и их свойства.

2.4. Решение СЛАУ методом Крамера.

3. Матрицы и действия над ними.

3.2. Действия над матрицами.

3.3.Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

4.1. Совместность СЛАУ.

4.2. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений и их систем. Овладевая способами их решения, учащиеся находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.).

Многие теоритические и практические вопросы, приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема в школьном курсе математики, задания из данной темы были представлены на экзамене в 9 классе, а также входят в состав заданий для ЕГЭ.

С решением систем линейных уравнений мы познакомились в седьмом классе. Тогда мы решали системы линейных уравнений двумя способами:

метод подстановки;
метод сложения.

Нужно заметить, что не все методы решения системы линейных алгебраических уравнений рассматриваются в школьном курсе математики. Существуют и другие методы, например, такие, как: метод Крамера , Гаусса (исключение неизвестных), матричный способ.

С этими способами решения систем линейных уравнений мы познакомимся в данной исследовательской работе.

В процессе работы приобретаются навыки, с помощью которых последующее решение систем линейных уравнений станет намного проще и быстрее.

Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера, методом Гаусса и матричным методом.

Познакомится с понятием определителя и методами его вычисления.
Рассмотреть метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.
Познакомиться с понятием матрицы, элементами матриц, и их элементарными преобразованиями.
Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1.Системы линейных алгебраических уравнений

1.1 Основные понятия и определения

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a ij, b i (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

Решением системы (1.1) называется такая совокупность n чисел ( x 1 = k 1, x 2 = k 2 ,…, x n = k n ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения. Например, система уравнений – совместная и определенная, так как имеет единственное решение (10;0); система – несовместная; а система уравнений – совместная и неопределенная, так как имеет более одного, а точнее бесконечное множество решений ( x 1 = c, x 2 = 20-c, где с – любое число).

Две системы уравнений называются равносильными , или эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований системы уравнений получается система (1.1), равносильная данной.

2. Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Крамера.

2.1. Основные понятия.

Определителем n-го порядка называется число  n , составленное по определенному правилу и записываемое в виде квадратной таблицы

Определитель вычисляется согласно указанному ниже правилу, по заданным числам ( ), которые называются элементами определителя (всего их n 2 ). Индекс i указывает номер строки, j – номер столбца квадратной таблицы (1), на пересечении которых находится элемент . Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.

Главной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …, определителя (1).

Побочной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …, определителя (1).

Минором M ij элемента a ij называется определитель (n–1)–го порядка  n–1 , полученный из определителя n–го порядка  n вычеркиванием i-й строки и jстолбца.

Алгебраическое дополнение A ij элемента a ij определяется равенством

A ij = (–1) i+j  M ij (2)

Значение определителя  n находится по следующему правилу.

Для n = 3 в определителе выбирается разрешающая строка или столбец, относительно которой или которого вычисляются определители 2-го порядка

Здесь в качестве разрешающей была выбрана первая строка определителя (4), однако, без ограничения общности, в качестве разрешающей может быть выбрана любая другая строка либо столбец.

В дальнейшем в качестве разрешающей будем рассматривать первую строку определителя.

Величины A 11 , A 12 , A 13 – алгебраические дополнения, а M 11 , M 12 , M 13 – миноры, соответствующие элементам a 11 , a 12 , a 13 определителя  3 . Эти миноры являются определителями второго порядка, получаемыми из определителя  3 вычеркиванием первой строки и соответствующих столбцов. Например, чтобы найти минор M 13 , следует в определителе  3 вычеркнуть первую строку и третий столбец, а из оставшихся элементов составить определитель второго порядка.

Для произвольного n

где A 1k = (–1) 1+k M 1k , а миноры M 1k , являющиеся определителями (n–1)-го порядка, получаются из  n вычеркиванием первой строки и k-го столбца.

2.2 Определители второго порядка и их свойства.

Определителем второго порядка называется число

Приведем основные свойства определителей второго порядка.

Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами соответственными столбцами.
При перестановке двух строк (столбцов) абсолютная величина определителя сохранится, а знак изменится на противоположный.
Если определитель содержит две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то его величина равна нулю.
Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Если все элементы какой – либо строки (столбца) определителя равны нулю, то величина определителя равна нулю.
Если к элементам какой – либо строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно то же число, то величина определителя не изменится.

Пример 1. Вычислить определитель ∆= .

Решение. По формуле (1) находим

Пример 2. Вычислить определитель ∆= .

Решение. Вынесем за знак определителя общие элементов 1-й и 2-й строк, т.е. числа 125 и 4:

Вынося за знак определителя общий множитель элементов 2-ого столбца, равный 4, получим

2.3 Определители третьего порядка и их свойства.

Определителем третьего порядка называется число

Свойства определителей третьего порядка аналогичны свойствам определителей второго порядка.

Пример 1. Вычислить определитель

Решение. По формуле (1) находим

Пример 2. Вычислить определитель

Решение. Вынося за знак определителя общие множители элементов 1, 2 и 3-й строк, получим