Методы решения систем уравнений с двумя переменными
п.1. Метод подстановки
Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.
Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.
п.2. Метод сложения
п.3. Метод замены переменных
Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.
п.4. Графический метод
Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.
п.5. Примеры
Пример 1. Решите систему уравнений:
а) \( \left\< \begin
Решаем методом подстановки: \( \left\< \begin
Для нижнего уравнения: \( \mathrm
Подставляем в верхнее уравнение: \( \mathrm
б) \( \left\< \begin
Замена переменных: \( \left\< \begin
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: \( \left\< \begin
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ \mathrm< D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=1,\ \ b=\frac<9\pm 1><4>> = \left[\begin
Урок в 9-м классе «Система уравнений, сводящихся к квадратным»
Разделы: Математика
Цели урока:
- Повторить ранее изученные различные способы решения уравнений, сводящихся к квадратным.
- Научить сотрудничеству учеников посредством работы в малых группах, а так же взаимопомощи в процессе обучения. 3. Развитие познавательного интереса, интереса к педагогической деятельности.
Форма проведения: Работа в малых группах, с участием консультантов.
ХОД УРОКА
I. Организация начала урока.
Деление на группы
II. Сообщение учащимся цели предстоящей работы. Мотивация учения.
III. Интеллектуальная разминка. (Приложение 1)
Разминка в форме тестовых заданий. Подготовка к ЕГЭ.
IV. Проверка индивидуального домашнего задания, направленного на повторение основных понятий, основополагающих знаний, умений, способов действий. У доски работают консультанты. На предыдущем уроке им было задано индивидуальное домашнее задание.
Системы нелинейных уравнений, сводящихся к квадратным. (Приложение 2)
Решить систему уравнений
Решение: Если вычесть второе уравнение из первого, получим Значит надо решить систему уравнений
откуда . Корнями этого квадратного уравнения служат . Если y1=3, то из находим х1=1. Если же .
Ответ:
Ответ:
Метод введения новых неизвестных при решении систем уравнений. (Приложение 3)
Решить систему уравнений
Решение. Обозначим через u, а через v. Тогда система примет вид
То есть получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными u и v. Из первого уравнения выражаем u через v: и подставляя во второе уравнение, получим , откуда v=2. Теперь находим u=1 и решаем уравнения
Ответ:
Ответ:
Решить систему уравнений
Решение. Заметим, что для решений системы выполняется условие . В самом деле, из первого уравнения системы следует, что если , а числа не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на . Получится уравнение
Введем вспомогательное неизвестное . Уравнение примет вид . Это квадратное уравнение, имеющее корни . Таким образом, из первого уравнения мы получаем, что либо либо . Осталось подставить выражения и (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получится уравнение , откуда ; соответственно . Во втором случае получается уравнение , откуда ; соответственно
Ответ:
Возможный способ оформления
разделим первое уравнение на , получим
Пусть , тогда
Ответ:
V. Работа в малых группах.
Решите систему уравнений
Решите систему уравнений
VI. Подведение итогов урока.
VII. Задание на дом.
Задание по группам. Группа консультантов выполняет № 624 (4, 6, 8).
Системы уравнений по-шагам
Результат
Примеры систем уравнений
- Метод Гаусса
- Метод Крамера
- Прямой метод
- Система нелинейных уравнений
Указанные выше примеры содержат также:
- квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) - тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x) - число Пи pi
- комплексное число i
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5
Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:
http://urok.1sept.ru/articles/517220
http://mrexam.ru/systemofequations