Решение системы линейных уравнений методом крамера лабораторная

Практическая работа № 7 по учебной дисциплине ЕН.01 Математика
учебно-методический материал на тему

Практическая работа № 7 Решение систем линейных алгебраических уравнений

задания к работе

1 Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы.

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.

В работе имеется Образец решения варианта.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Практическая работа № 7

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Задание к работе

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы.

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Образец решения варианта.

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений

Решение системы находим по формулам Крамера

Вычислим определитель системы

Последовательно заменив в , первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим соответственно

2. Дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Установить, что система уравнений имеет единственное решение и найти его с помощью обратной матрицы

Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение (теорема Крамера).

Вычислим определитель данной системы :

следовательно, система имеет единственное решение.

Данную систему можно записать в матричной форме :

, где , , .

Так как , то для матрицы существует обратная матрица . Умножив матричное уравнение слева на , получим , откуда , или .

Найдем обратную матрицу по формуле

где алгебраическое дополнение элемента .

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений

Выпишем расширенную матрицу данной системы и приведем ее к ступенчатому виду

Последовательно умножим первую строку на (–2) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим

Ко второй строке полученной матрицы прибавим третью строку, умноженную на , затем во вновь полученной матрице умножим третью строку на , четвертую – на (–1), затем последовательно умножим вторую строку на 2 и прибавим ее к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, получим

Третью строку полученной матрицы умножим на , четвертую – на , затем третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, получим

Найденная матрица имеет треугольный вид; по этой матрице запишем систему уравнений, эквивалентную исходной системе,

Последовательно находим неизвестные, начиная с последнего уравнения, ; подставим в третье уравнение найденное , вычислим , ; затем из второго уравнения находим , ; из первого уравнения получим , .

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .

Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу системы к эквивалентной матрице , которой соответствует уравнение , эквивалентное исходной системе. Таким образом, общее решение может быть записано в форме , или , . Решений бесчисленное множество – любая пара, связанная указанной зависимостью, обращает левые части уравнений данной системы в нуль. В системе — число неизвестных и число уравнений. , матрица системы, расширенная матрица системы. В силу теоремы Кронекера-Капелли система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра . Иногда общее решение удобнее использовать в форме

Практическая работа № 7

Решение систем линейных алгебраических уравнений

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы.

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

3.3 3.4

Практическая работа № 7

Решение систем линейных алгебраических уравнений

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы.

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

5.1 5.2

Исследовательская работа » Решение систем методом Крамера»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым Малая академия наук «Искатель»

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Шумилина Мария Сергеевна,

ученица 8-А класса

школа № 5» муниципального

образования городской округ

Шеина Елена Николаевна, учитель

общеобразовательная школа № 5 »

городской округ Красноперекопск

г. Красноперекопск , 2017

РАЗДЕЛ 1. Немного из истории……………………………………………………5

РАЗДЕЛ 2 . Определители n -ого порядка …………………………………………..7

2.1 . Правило вычисления определителя второго порядка.……………. 7

2.2 Вычисление определителей третьего порядка……………….. ………………..8

РАЗДЕЛ 3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера ………. 10

3.1. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными……..10

3.2. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера ……………………………………………………………………………14

3.3. Три случая при решении систем линейных уравнений……………………..19

3.4.Решение систем линейных уравнений с параметром………………………..21

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ …………………………….28

Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.

Многие задачи практики приводят к необходимости решать системы линейных уравнений. При конструировании инженерных сооружений, обработке результатов измерений, решении задач планирования производственного процесса и ряда других задач техники, экономики, научного эксперимента приходится решать системы линейных уравнений.

Не счесть приложений математики, в которых решение систем уравнений является необходимым элементом решения задачи. Способов решения систем уравнений существует много: сложения, подстановки, графический, с помощью обратной матрицы, методом исключения неизвестных, метод Крамера. Какой из них самый рациональный? Среди неизвестных мне методов я заинтересовалась методом Крамера или методом определителей.

При решении систем линейных уравнений в школе на уроках алгебры, мы использовали такие способы, как сложение, подстановка и графический. Каждый способ удобен для определенной системы. В представленной мной работе рассматриваются аналитические методы решения систем уравнений со многими неизвестными с использованием метода Крамера. В основе этого метода лежат элементарные преобразования, осуществляемые над коэффициентами системы, записанными в специальные таблицы – определители.

Применение опыта решения систем линейных уравнений с помощью определителей способствует развитию логической культуры.

Решение систем уравнений с большим количеством неизвестных методом Крамера значительно облегчает работу.

Решение систем линейных уравнений мы можем встретить в других областях науки.

Системы линейных уравнений встречаются на экзаменах и умение решать их несколькими способами значительно увеличивает шанс справиться с заданием.

Целью данной работы является исследование точных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью метода Крамера.

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера.

3. Научиться применять метод Крамера для решения систем линейных уравнений, содержащих параметр.

Объект исследования: Метод Крамера.

Предмет исследования: Системы линейных уравнений.

Гипотеза: С помощью данного метода увеличивается скорость решения систем линейных уравнений.

РАЗДЕЛ 1. Немного из истории

Крамер родился в семье франкоязычного врача. С раннего возраста показал большие способности в области математики. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на вакантную должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета. Кандидатур было три, все произвели хорошее впечатление, и магистрат принял соломоново решение: учредить отдельную кафедру математики и направить туда (на одну ставку) двух «лишних», включая Крамера, с правом путешествовать по очереди за свой счёт.

1727: Крамер воспользовался этим правом и 2 года путешествовал по Европе, заодно перенимая опыт у ведущих математиков — Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и Клеро в Париже и других. По возвращении он вступает с ними в переписку, продолжавшуюся всю его недолгую жизнь.

1728: Крамер находит решение Санкт-Петербургского парадокса, близкое к тому, которое 10 годами спустя публикует Даниил Бернулли.

1729: Крамер возвращается в Женеву и возобновляет преподавательскую работу. Он участвует в конкурсе, объявленном Парижской Академией, задание в котором: есть ли связь между эллипсоидной формой большинства планет и смещением их афелиев? Работа Крамера занимает второе место (первый приз получил Иоганн Бернулли).

В свободное от преподавания время Крамер пишет многочисленные статьи на самые разные темы: геометрия, история математики, философия, приложения теории вероятностей. Крамер также публикует труд по небесной механике (1730) и комментарий к ньютоновской классификации кривых третьего порядка (1746).

Около 1740 года Иоганн Бернулли поручает Крамеру хлопоты по изданию сборника собрания своих трудов. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4 томах, а вскоре (1744) выпускает аналогичный (посмертный) сборник работ Якоба Бернулли и двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Все эти издания имели огромный резонанс в научном мире.

1747: второе путешествие в Париж, знакомство с Даламбером.

1751: Крамер получает серьёзную травму после дорожного инцидента с каретой. Доктор рекомендует ему отдохнуть на французском курорте, но там его состояние ухудшается, и 4 января 1752 года Крамер умирает

РАЗДЕЛ 2 . Определители n -ого порядка

2.1. Правило вычисления определителя второго порядка.

Определителем n -го порядка называется число  _n , составленное по определенному правилу и записываемое в виде квадратной таблицы

(1)

Где а ₁₁ , а ₁₂ , а ₁₃ , …- числовые коэффициенты

Значение определителя  _n находится по следующему правилу.

(3)

2.2 Вычисление определителей третьего порядка.

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

Пример 3. Вычислить определитель методом треугольников.

=31(-2)+331+(-1) 4(-2)-33(-2)-34(-2)-(-1) 11= -6+9+8+18+24+1=54 Ответ. 54

Разложение определителя по строке

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку, в которой есть нули.

Пример 4 . Разложить по первой строке, вычислить определитель Решение.

= а ₁₁ А ₁₁ + а ₁₂ А ₁₂ + а ₁₃ А ₁₃₌ 1(-1) 1+1 + 2(-1) 1+2 + 3(-1) 1+3 = =11 (-3)+2(-1) (-6) +31(-3)=-3+12-9=0

РАЗДЕЛ 3 . Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Метод Крамера – это метод решения систем линейных уравнений. Он применяется только к системам линейных уравнений, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель отличен от нуля. Любая крамеровская система уравнений имеет единственное решение

3.1. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Сначала рассмотрю правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом сложения или подстановки. Более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными. Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера.

Рассмотрю систему уравнений

На первом шаге вычислю определитель , его называют главным определителем системы .

В случае если правило Крамера не поможет. Если, то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
Корни уравнения находим по формулам:
,

Решить систему линейных уравнений

Решение : Решим систему по формулам Крамера

∆ = =1(-4)-(-2)3 = -4+6=20

Определитель ∆0, следовательно, заданная система может быть решена методом Крамера.

Вычислим определитель ∆ _х , для этого заменим первый столбец в главном определителе на столбец свободных членов, получим

∆ _х = =1(-4)-(-2)7 = -4+14=10,

Аналогично, заменяя второй столбец в главном определителе на столбец свободных членов, получим

∆ _у = =17-13 = 7-3=4

Далее по формулам Крамера находим неизвестные переменные:

х= ==5, у===2

Пример 2 . Решить систему линейных уравнений:

Согласно методу Крамера имеем:

∆ = =34-21 = 12-2=100

∆ _х = =14-2(-3) = 4+6=10,

∆ = =3(-3)-11 = -9-1=-10

Далее по формулам Крамера находим неизвестные переменные:

х= ==1, у===-1

Решить систему линейных уравнений

Решение : Коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

∆ = =50611-6666 = 5566-4356=12100 , значит, система имеет единственное решение.

∆ _а = =2315,111-66392,3 = 25466,1-25891,8=-425,7,

∆ _b = =506392,3-2315,166 = 198503,8-152796,6=45707,2

а= =-0,35, b ==37,7

Ответ: а -0,35; b 37,7

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно

Пример 4.
Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях.

Решим систему по формулам Крамера

∆ = =73-(-5)1 = 21+5=260

Определитель ∆0, следовательно, заданная система может быть решена методом Крамера.

Вычислим определитель ∆ _х , для этого заменим первый столбец в главном определителе на столбец свободных членов, получим

∆ _х = =233-11 = 69-1=68,

Аналогично, заменяя второй столбец в главном определителе на столбец свободных членов, получим

∆ _у = =71-(-5)23 = 7+115=1220

Далее по формулам Крамера находим неизвестные переменные:

х= =, у==

Ответ: х=, у=

3.2. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера .

Перехожу к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если, то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:

, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

, ,
Случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решу систему по формулам Крамера. Обозначу главный определитель D , тогда

, значит, система имеет единственное решение.

Встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная х ₁ , во втором – переменная х ₂ . В таких случаях очень важно правильно записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Нахожу главный определитель системы:

Следовательно, система имеет единственное решение. Для нахождения её решения вычисляю определители

По формулам Крамера нахожу:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Нахожу главный определитель системы:

Следовательно, система имеет единственное решение. Для нахождения её решения вычисляю определители

По формулам Крамера нахожу:

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Нахожу определители системы:

Пример 9. Решите систему уравнений по формулам Крамера

Решение.

Ответ : х=1, у=2, z=3

3.3. Три случая при решении систем линейных уравнений

При решении системы линейных уравнений методом Крамера могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение (система совместна и определённа)

Условия:

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений (система совместна и неопределённа)

Условия: , ,

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет (система несовместна)

Условия: .

Итак, система линейных уравнений с называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Пример 10. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Нахожу главный определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений. Для уточнения вычисляю определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Ответ: нет решений

3.4.Решение систем линейных уравнений с параметром

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число.

Пример 11. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Здесь a — некоторое число.

Решение. Нахожу главный определитель системы:

Главный определитель отличен от нуля, значит система имеет единственное решение.

Нахожу определители при неизвестных

По формулам Крамера нахожу:

, .

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое число.

Пример 12. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Нахожу главный определитель системы:

=-24abc-75abc-12abc+30abc+18 abc +40 abc =-23 abc

Нахожу определители при неизвестных

=0-45ab 2 c 2 -8 ab 2 c 2 +18 ab 2 c 2 +12 ab 2 c 2 +0=-23 ab 2 c 2

=8a 2 bc 2 +0+9 a 2 bc 2 -10 a 2 bc 2 -0-30 a 2 bc 2 =-23 a 2 bc 2

=-36a 2 b 2 c-30 a 2 b 2 c +0-0+27 a 2 b 2 c +16 a 2 b 2 c =-23 a 2 b 2 c

По формулам Крамера нахожу:

, , .

Пример 13. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

Поэтому, p 30,-30 .

При p 30,-30 х= , у=

При p = 30 получаем систему уравнений , которая не имеет решений.

При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений

Пример 14. Для всех значений параметра а решить систему уравнений

(а+5)х+(2а+3)у=3а+2

Решение: Нахожу определители системы:

== (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)

_х ==

(3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

_у ==

(а +5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

1) =а(2-а) 0, значит а0 или а2

Тогда х=, у=

2) = а(2-а)= 0, значит а=0 или а=2

При а=0 определители _х = _у =0

Тогда система имеет вид:

5х+3у=2

10х+6у=4, а значит имеет бесконечное множество решений

При а=2, _х 0 . Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.

Ответ: 1) если а 0 и а 2, то х=, у=

2) если а=0, то система имеет бесконечное множество решений ,

3) если а=2, то система не имеет решений.

Пример 15. Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений

(а+1)х+2у=b

Решение: = = а+1-2b

_x = = b -6 _y = = 3 a +3- b 2

1) = а+1-2b0, значит а2b-1. Тогда

х= у=

2)

Подставив выражение параметра а в систему, получим:

2bx+2y=b 2bx+2y=b

Если b6, то система не имеет решений

Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система имеет бесконечное множество решений

Ответ: 1) если , (а ), то x= , y=

2) если b6, a11, то система не имеет решений

3) если b=6, а=11, то система имеет бесконечное множество решений

Пример 16 . При каких значения параметра а система уравнений не имеет решений?

Система не имеет решений, если = 0; x 0; y 0.

= -a – 2 = 0; значит a = -2;

=- 4 – 1=-5 0 ;

= a – 8 0, a 8

Пример 17 . При каких значения параметра а система уравнений не имеет решений?

= (a + 1) (-a+2) – 2 = -a 2 +2a – a + 2 – 2 = — a 2 + a = 0

при a = 0 _х = 6 – 6 = 0; _у = 6 – 6 = 0;

Вывод: при а = 0 система имеет бесконечное множество решений.

2) при а = 1

_х = 3 – 6 = -3 _у = 12 – 6 = 6, т.е. система не имеет решений.

Пример 18 . При каких значениях параметров а и в система уравнений имеет бесчисленно много решений?

Система имеет бесчисленно много решений, если = 0; x = 0; y =0.

= 2(a – 1) – 9b = 2a – 9b – 2.

x =4-(-b)= 4+ b =0 при b= -4;

y = -a -17= 0 при а=-17;

Проверка: ∆=2∙(-17)-9∙(-4)-2=-34+36-2=0 (верно)

Ответ: при a = -17; b = -4

В представленной работе рассматривается метод Крамера для решения систем уравнений со многими неизвестными. В основе этого метода лежат элементарные преобразования, осуществляемые над коэффициентами системы, записанными в специальные таблицы – определители .

В результате работы:

1. Изучена литература по методам решения систем уравнений,

2. Подобраны и решены системы линейных уравнений методом Крамера.

Вывод: Метод Крамера ускоряет процесс решения некоторых систем линейных уравнений и его можно изучать на уроках алгебры, на занятиях элективных курсов по математике в 7- 9 классах как дополнительный метод решения систем уравнений.

Метод Крамера для решения СЛАУ

В данной статье мы разберем, как найти неизвестные переменные по методу Крамера и опишем решение систем линейных уравнений.

Метод Крамера предназначен для того, чтобы решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равняется числу уравнений, а определитель основной матрицы не равен нулю.

Метод Крамера — вывод формул

Найти решение системы линейных уравнений вида:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

В этой системе x 1 , x 2 , . . . , x n — неизвестные переменные,

a i j , i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , n — числовые коэффициенты,

b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Решение такой системы линейных алгебраических уравнений — набор значений x 1 , x 2 , . . . , x n , при которых все уравнения системы становятся тождественными.

Матричный вид записи такой системы линейных уравнений:

A X = B , где A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n — основная матрица системы, в которой ее элементы — это коэффициенты при неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица-столбец свободных членов;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных.

После того как мы найдем неизвестные переменные x 1 , x 2 , . . . , x n , матрица X = x 1 x 2 ⋮ x n становится решением системы уравнений, а равенство A X = B обращается в тождество.

Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы:

• Определитель квадратной матрицы A = a i j , i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , n равняется сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n = a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q

• Сумма произведений какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующие элементы другой матрицы равняется нулю:

a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = 0 a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q = 0

p = 1 , 2 , . . . , n , q = 1 , 2 , . . . , n p не равно q

Приступаем к нахождению неизвестной переменной x 1 :

• Умножаем обе части первого уравнения системы на А 11 , обе части второго уравнения на А 21 и т.д. Таким образом, мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А :

A 11 a 11 x 1 + A 11 a 12 x 2 + . . . + A 11 a 1 n x n = A 11 b 1 A 21 a 21 x 1 + A 21 a 22 x 2 + . . . + A 21 x 2 n x n = A 21 b 2 ⋯ A n 1 a n 1 x 1 + A n 1 a n 2 x 2 + . . . + A n 1 a n n x n = A n 1 b n

• Складываем все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных , и приравниваем получившуюся сумму к сумме всех правых частей уравнения:

x 1 ( A 11 a 11 + A 21 a 21 + . . . + A n 1 a n 1 ) + + x 2 ( A 11 a 12 + A 21 a 22 + . . . + A n 1 a n 2 ) + + . . . + + x n ( A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n ) = = A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n

Если воспользоваться свойствами определителя, то получится:

А 11 а 11 + А 21 а 21 + . . . + А n 1 a n 1 = А А 11 а 12 + А 21 а 22 + . . . + А n 1 а n 2 = 0 ⋮ A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n = 0

A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

Предыдущее равенство будет иметь следующий вид:

x 1 A = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .

x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n A

Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.

∆ = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , ∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n ,

∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , . ∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .

то получаются формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера:

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆ , . . . , x n = ∆ x n ∆ .

Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера

• Необходимо вычислить определитель матрицы системы и убедиться, что он не равен нулю.
• Найти определители

∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

Эти определители являются определителями матриц, которые получены из матрицы А путем замены k -столбца на столбец свободных членов.

• Вычислить неизвестные переменные при помощи формул:

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆ , . . . , x n = ∆ x n ∆ .

• Выполнить проверку результатов: если все определители являются тождествами, то решение найдено верно.

Примеры решения СЛАУ методом Крамера

Найти решение неоднородной системы линейных уравнений методом Крамера:

3 x 1 — 2 x 2 = 5 6 2 x 1 + 3 x 2 = 2

Основная матрица представлена в виде 3 — 2 2 3 .

Мы можем вычислить ее определитель по формуле:

a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 × a 22 — a 12 × a 21 : ∆ = 3 — 2 2 3 = 3 × 3 — ( — 2 ) × 2 = 9 + 4 = 13

Записываем определители ∆ x 1 и ∆ x 2 . Заменяем 1-ый столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель ∆ x 1 = 5 6 — 2 2 3

По аналогии заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель:

Находим эти определители:

∆ x 1 = 5 6 — 2 2 3 = 5 6 × 3 — 2 ( — 2 ) = 5 2 + 4 = 13 2

∆ x 2 = 3 5 6 2 2 = 3 × 2 — 5 6 × 2 = 6 — 5 3 = 13 3

Находим неизвестные переменные по следующим формулам

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆

x 1 = ∆ x 1 ∆ = 13 2 13 = 1 2

x 2 = ∆ x 2 ∆ = 3 13 = 1 3

Выполняем проверку — подставляем полученные значения переменных в в исходную систему уравнений:

3 1 2 — 2 1 3 = 5 6 2 1 2 + 3 1 3 = 2 ⇔ 5 6 = 5 6 2 = 2

Оба уравнения превращаются в тождества, поэтому решение верное.

Ответ: x 1 = 1 2 , x 2 = 1 3

Поскольку некоторые элементы системы линейных уравнений могут равняться нулю, то в системе не будет соответствующих неизвестных переменных.

Найти решение 3-х нелинейных уравнений методом Крамера с 3-мя неизвестными:

2 y + x + z = — 1 — z — y + 3 x = — 1 — 2 x + 3 z + 2 y = 5

За основную матрицу нельзя брать 2 1 1 — 1 — 1 — 3 — 2 3 2 .

Необходимо привести к общему порядку все неизвестные переменные во всех уравнениях системы:

x + 2 y + z = — 1 3 x — y — z = — 1 — 2 x + 2 y + 3 z = 5

С этого момента основную матрицу хорошо видно:

1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3

Вычисляем ее определитель:

∆ = 1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 = 1 × ( — 1 ) × 3 + 2 × ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 2 × 3 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 11

Записываем определители и вычисляем их:

∆ x = — 1 2 1 — 1 — 1 — 1 5 2 3 = ( — 1 ) ( — 1 ) × 3 + 2 ( — 1 ) × 5 + 1 ( — 1 ) × 2 — 1 ( — 1 ) × 5 — 2 ( — 1 ) × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = 0

∆ y = 1 — 1 1 3 — 1 — 1 — 2 5 3 = 1 ( — 1 ) × 3 + ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 3 × 5 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — ( — 1 ) — — 1 ( — 1 ) × 2 = 22

∆ z = 1 2 — 1 3 — 1 — 1 — 2 2 5 = 1 ( — 1 ) × 5 + 2 ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 × 2 — ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 5 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 33

Находим неизвестные переменные по формулам:

x = ∆ x ∆ , y = ∆ y ∆ , z = ∆ z ∆ .

x = ∆ x ∆ = 0 — 11 = 0

y = ∆ y ∆ = 22 — 11 = — 2

z = ∆ z ∆ = — 33 — 11 = 3

Выполняем проверку — умножаем основную матрицу на полученное решение 0 — 2 3 :

1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 × 0 — 2 3 = 1 × 0 + 2 ( — 2 ) + 1 × 3 3 × 0 + ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 ( — 2 ) × 0 + 2 ( — 2 ) + 3 × 3 = — 1 — 1 5

Результатом являются столбцы свободных членов исходной системы уравнений, следовательно, решение верное.

Ответ: x = 0 , y = — 2 , z = 3