Решение системы линейных уравнений методом крамера презентация

Презентация «Метод Крамера для решения систем уравнений»
презентация по алгебре по теме

Цель: познакомить студентов с методом Крамера для решения систем линейных уравнений

Методические рекомендации: презентация предназначена для демонстрации метода Крамера. Не содержит теоретического материала. Разбирается определитель матрицы второго порядка, формулы и примеры решения систем уравнений с двумя переменными, определитель матрицы третьего порядка, формулы и приемы решения систем уравнений с тремя переменными.

Положительные стороны: Наглядно демонстрируется каждый шаг решения. Презентация легко может быть разделена на 3-4 части для представления на разных уроках с закреплением материала самостоятельной работой студентов.

Отрицательные стороны: Нет теоретического материала, не показаны свойства матриц.

Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Решения систем линейных уравнений методом Крамера» — урок 12-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Метод решения систем линейных уравнений методом Крамера ГБОУ СПО МО «ЛПТ» Преподаватель математики Осипова Людмила Евгеньевна Mila139139 @ yandex.ru Тема 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 10 УРОК ДВЕННАДЦАТЫЙ

Габриель Крамер швейцарский математик. 31.08.1704 – 04.01.1752 Крамер родился в семье франкоязычного врача. С раннего возраста показал большие способности в области математики. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета. Самая известная из работ Крамера —трактат «Введение в анализ алгебраических кривых» 1750 году. Для доказательства Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера

Рассмотрим квадратную систему линейных алгебраических уравнений а11×1 + а12×2 + . + а1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 ……………………………….. am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm 1 Количество неизвестных равно числу уравнений m = n

Вспомним такие понятия как: А – основная матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов. А = а11 а12 . a1n a21 a22 … a2n . am1 am2 … amn X = X1 X2 …. Xn B = b1 b2 …. bm АХ = В — запись СЛАУ в матричном виде

Метод Крамера Решение системы квадратных линейных уравнений AX= B , где количество неизвестных равно количеству уравнений данной системы, с невырожденной квадратной матрицей А — единственно и имеет вид : Х1 = Δ1 Δ , Х2 = Δ2 Δ , Х3 = Δ3 Δ , . , Хn = Δn Δ Где : Х1, Х2 , Х3 ,…, Хn — неизвестные переменные, значения которых надо найти, а Δ ; Δ1 ; Δ2 ; Δ3 ; . ; Δn – определители, которые нужно составить по методу Крамера, а затем вычислить

Δ = а11 а12 . a1n a21 a22 … a2n . am1 am2 … amn — определитель системы, определитель основной матрицы. Δ1 = b1 а12 . a1n b2 a22 … a2n . bm am2 … amn -получается из главного определителя заменой 1-го столбца столбцом свободных членов. 1) Составим главный определитель — Δ 2) Составим определитель — Δ1

3) Составим определитель — Δ2 Δ2 = а11 b1 . a1n a21 b2 … a2n . am1 bm … amn -получается из главного определителя заменой 2-го столбца столбцом свободных членов. 3) Составим определитель — Δn Δn = а11 а12 . b1 a21 a22 … b2 . am1 am2 … bm -получается из главного определителя заменой n-го столбца столбцом свободных членов.

Рассмотрим пример 1 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера 2Х1 – Х2 = 0 Х1 + 3Х2 = 7 Решение. Основная матрица системы имеет вид 1) Вычислим ее определитель А = -1 1 3 Δ = -1 1 3 = 6 + 1 = 7 Δ — отличен от нуля система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = 0 -1 7 3 = 7 ; Δ2 = = 14 ; 0 1 7 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ = 7 7 = 1 Х2 = Δ2 Δ = 14 7 = 2 Ответ: Х1 = 1, Х2 = 2.

Рассмотрим пример 2 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера Решение. Основная матрица системы имеет вид 1) Вычислим ее определитель

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. 2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = 3 -1 -2 1 2 0 2 = -36 + 6 + 0 – 4 – 18 – 0 = — 52 Δ2 = 2 9 -1 1 3 1 1 2 2 = 12 + 9 – 2 + 3 -18 – 4 = 0 Δ3 = 2 3 9 1 -2 3 1 0 2 = -8 + 9 + 0 +18 – 6 – 0 = 13

3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ = -52 -13 = 4 Х2 = Δ2 Δ = 0 -13 = 0 Х3 = Δ3 Δ = 13 -13 = -1 Ответ: Х1 = 4, Х2 = 0, Х3 = -1.

Рассмотрим пример 3 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера Решение. Основная матрица системы имеет вид 1) Вычислим ее определитель А = -1 1 1 -1 1 -2 1 Δ = -1 1 1 -1 1 -2 1 = 2 — 2 + 1 — 1 — 4 + 1 = -3

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. 2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = 4 -1 1 2 1 -1 1 -2 1 = -6 Δ2 = 2 4 1 1 2 -1 1 1 1 = -3 Δ3 = 2 -1 4 1 1 2 1 -2 1 = -2 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ Х2 = Δ2 Δ Х3 = Δ3 Δ = 2 ; = 1 ; = 1 Ответ: Х1 = 2, Х2 = 1, Х3 = 1.

Рассмотрим пример 4 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера Решение. Основная матрица системы имеет вид 1) Вычислим ее определитель А = 1 5 -1 2 -1 1 1 2 -3 Δ = = 31 1 5 -1 2 -1 1 1 2 -3 Δ — отличен от нуля система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = = 31 Δ2 = = 0 Δ3 = = 31 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ Х2 = Δ2 Δ Х3 = Δ3 Δ = 1 ; = 0 ; = 1 Ответ: Х1 = 1, Х2 = 0, Х3 = 1. 0 5 -1 3 -1 1 -2 2 -3 1 0 -1 2 3 1 1 -2 -3 1 5 0 2 -1 3 1 2 -2 31 31 = 0 31 = 31 31 =

Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. — 576с.: ил. – ( Высшее образование ) Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил. Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с. http://mathsun.ru/ — История математики. Биографии великих математиков

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 588 481 материал в базе

Другие материалы

• 13.03.2016
• 2298
• 14

• 12.03.2016
• 709
• 0

• 12.03.2016
• 753
• 2

• 12.03.2016
• 518
• 0

• 12.03.2016
• 359
• 0

• 12.03.2016
• 388
• 1

• 12.03.2016
• 484
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 13.03.2016 2374
• PPTX 516.5 кбайт
• 90 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Осипова Людмила Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 8
• Всего просмотров: 77250
• Всего материалов: 26

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Системы линейных уравнений Метод Крамера Метод Гаусса. — презентация

Презентация была опубликована 7 лет назад пользователемНаталья Говендяева

Похожие презентации

Презентация на тему: » Системы линейных уравнений Метод Крамера Метод Гаусса.» — Транскрипт:

1 Системы линейных уравнений Метод Крамера Метод Гаусса

2 Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

3 Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы, которую назовём матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

4 Решение системы совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему обращает все ее уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.совместной

5 Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными: Рассмотрим матрицу системы

6 Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

7 Определитель, действие 1 а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33

8 Определитель, действие 2 а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33

9 Определитель, действие 3 а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33

10 Определитель, действие 4 а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33

11 Определитель, действие 5 а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33

12 Определитель, действие 6 а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33

13 = а 11 * а 22 * а 33 + а 12 * а 23 * а 31 + а 21 * а 32 * а а 31 * а 22 * а 13 — а 12 * а 21 * а 33 — а 23 * а 32 * а 11

15 Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

16 Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

17 КРАМЕР Габриель (Cramer Gabriel ) Крамер — швейцарский математик. Родился в Женеве. Был учеником и другом Иоганна Бернулли. Учился и работал в Женеве. Основные труды по высшей алгебре и аналитической геометрии. Установил и опубликовал правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными с буквенными коэффициентами (правило Крамера), заложил основы теории определителей, но при этом еще не пользовался удобным обозначением определителей. Член Лондонского королевского общества (1749 г.)

19 Методы решения системы Прямые методы Метод Гаусса Метод Жордана-Гаусса Метод Крамера Матричный метод Метод прогонки Приближенные методы Метод Якоби (метод простой итерации) Метод Якобиметод простой итерации Метод Гаусса-Зейделя Метод релаксации Многосеточный метод

20 Литература Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. 6-е изд., стер. М.: ФИЗМАТЛИТ, с. Амосов А.А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.П. Вычислительные методы для инженеров. М.: Мир, Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Г. Численные методы. 8-е изд.. М.: Лаборатория Базовых Знаний, Волков Е.А. Численные методы. М.: Физматлит, Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, С