Решение системы линейных уравнений php

Примеры скриптов на PHP

Решение системы уравнений с тремя и более неизвестными

Скрипт предназначен для решения системы уравнений с тремя неизвестными по правилу Крамера.

Напоминаем, что если детерминант матрицы равен 0, это означает, что система уравнений линейно зависима и получить единственное решение невозможно.

При решении систем с более чем тремя переменными, следует прибегать к более сложным алогиритмам. Одним из таких алгоритмов является метод Гаусса-Жордана, который часто используют и при ручном вычислении систем линейных уравнений. Ниже приведена возможная реализация для все той же системы с тремя неизвестными, но в отличие от представленного выше скрипта, здесь можно увеличивать количество неизвестных в системе.

Функция gaussj() принимает два параметра: квадратную матрицу коэффециентов $a и вектор свободных членов $b. На выходе также возвращаются два решения: $b содержит значения переменных, а $a — обратную матрицу. Если задача состоит только в нахождении обратной матрицы можно воспользоваться решением из темы Как найти обратную матрицу?

Методы решения СЛАУ

Прямые методы

1. Решение СЛАУ методом Гаусса. Этот сервис также используется для исследования системы алгебраических уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
2. Решение СЛАУ методом Крамера происходит через нахождение определителей матрицы.
3. Метод обратной матрицы. Также смотрите онлайн-калькулятор по нахождению матричных уравнений ( A*X = B , X*A = B , и других).

Исследование системы линейных уравнений

1. Базисные решения системы линейных уравнений.
2. Исследование системы линейных уравнений на совместность и определенность.
3. Решение системы линейных однородных уравнений позволяет найти нетривиальное и фундаментальное решения.
4. Координаты вектора в базисе. В естественном базисе заданы векторы a=(1,1,0) T , b=(1,-1,1) T , c=(-3,5,-6) T , d=(4,-4,5) T . Показать, что векторы образуют базис.

Итерационные методы

1. Решения СЛАУ методом простой итерации.
2. Решения СЛАУ методом Зейделя.
3. Решения системы методом декомпозиции (LU-разложение).

см. также раздел Высшая математика онлайн: онлайн-сервисы по аналитической геометрии, линейной алгебре, теории вероятности и другим.

Фундаментальное решение системы линейных уравнений. Взгляд со стороны

В данной статье я попробую взглянуть по новому на алгоритм поиска общего решения системы линейных уравнений.

Задача, которой мы займемся звучит так.
Найти общее решение следующей системы уравнений

Такую задачу решают, приведя исходную систему к треугольному виду по методике Гаусса. Потом выбрав свободные переменные вычисляют общее решение.

Я хочу показать, как можно решать подобные системы другим способом. Насколько она известна и применяется где либо, я узнать не смог. Во всех публичных/популярных материалах, используется метод Гаусса.

Сразу скажу что решение конечно же не оптимально (по быстродействию), так как при вычислении векторного произведения, надо вычислять определитель матрицы, а это так или иначе вычисление треугольной матрицы.

Но решение красиво и наглядно, кроме этого легко видеть критерий при котором система не имеет решений.

В чем же суть методики?

Решая эту систему как произведение двух векторов, мы получим

А следовательно, корни системы равны

Для тех кто не верит, это легко проверяется подстановкой

Используем этот прием и рассмотрим, как же решаются такие системы с помощью векторных произведений.

Итак, у нас есть исходная система

Перенесем свободные члены в левую часть

У нас получилось 6 столбцов.

На этом этапе не будем вводить новых сущностей и не используем в своей работе понятия ранга матрицы. (Прошу отнестись снисходительно)
Мы просто видим что уравнений 3, а переменных 5-ть. Следовательно общее решение будет использовать 5-3=2 независимых переменных.

На этом же шаге, мы можем определить, какие же из переменных будут свободными. Возьмем две переменных, которые будут правее всех, и назначим их свободными.
Note: Для других уравнений не всегда получается, что надо брать именно последние правые коэффициенты

А теперь за три шага определяем фундаментальное решение исходной системы

Шаг 1. Здесь последняя колонка это свободные члены системы

Шаг 2. Здесь последняя колонка это коэффициенты при переменной

Шаг 3. Здесь последняя колонка это коэффициенты при переменной

Нет необходимости подробно рассказывать откуда мы берем данные. Я думаю для читающих это очевидно. (Кто решал систему уравнений методом Крамера, найдут общие черты)

Интереснее то, что мы с этими «векторами» делать будем.

Разделим их на -81

получаем следующие три вектора

выстроим их в вертикаль и таким образом фундаментальное решение принимает вид

Великолепно! Не правда ли…

Для критерия разрешимости заданной системы уравнений в большинстве случаев используется правило Кронекера-Копелли, здесь же просто анализируется результат векторного произведения.

Если результирующий вектор имеет вид

где , а среди всех оставшихся есть хотя бы один не нулевой, то такая система решений не имеет

Если результирующий вектор имеет все нулевые коэффициенты, то это говорит о том, что или как минимум одно из уравнений есть линейное представление другого, и/или одна из переменных пропорциональна другой.

Эта статья первая, и хотелось бы услышать замечания, критику, пожелания в свой адрес.

Алгоритм и калькулятор создан еще в январе 2019 года и только сегодня я решил опубликовать информацию на Хабре.

Если примете в свой коллектив/общество, то следующая тема будет
— как находить общее решение системы диофантовых уравнений.