Решение системы нелинейных уравнений методом зейделя пример

Метод Гаусса–Зейделя

Одним из самых распространенных итерационных методов, отличающийся простотой и легкостью программирования, является метод Гаусса–Зейделя.

Проиллюстрируем сначала этот метод па примере решения системы

(2.27)

Предположим, что диагональные элементы а11, а22, а33отличны от нуля (в противном случае можно переставить уравнения). Выразим неизвестные х1, х2и х3 соответственно из первого, второго и третьего уравнений системы (2.27):

(2.28)

(2.29)

(2.30)

Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений неизвестных: Подставляя эти значения в правую часть выражения (2.28), получаем новое (первое) приближение для х1:

Используя это значение для x1 и приближение для х3, находим из (2.29) первое приближение для х2:

И наконец, используя вычисленные значения находим с помощью выражения (2.30) первое приближение для х3:

На этом заканчивается первая итерация решения системы (2.28) — (2.30). Теперь с помощью значений х1(1), х2(1)и х3(1)можно таким же способом провести вторую итерацию, в результате которой будут найдены вторые приближения к решению: х1 = х1 (2), х2 = х2(2)и х3 = х3(2)и т.д.

Приближение с номером kможно вычислить, зная приближение с номером k– 1, как

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения х1(k), х2(k)и х3(k)не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х1(k-1), х2(k-1)и х3(k-1).

Пример. Решить с помощью метода Гаусса – Зейделя следующую систему уравнений:

Легко проверить, что решение данной системы следующее: х1 = х2 = х3 = 1.

Решение. Выразим неизвестные х1, х2и х3соответственно из первого, второго и третьего уравнений:

В качестве начального приближения (как это обычно делается) примем х1= 0, х2 = 0, х3 = 0. Найдем новые приближения неизвестных:

Аналогично вычислим следующие приближения:

Итерационный процесс можно продолжать до получения малой разности между значениями неизвестных в двух последовательных итерациях.

Рассмотрим теперь систему п линейных уравнений с п неизвестными. Запишем ее в виде

Здесь также будем предполагать, что все диагональные элементы отличны от нуля. Тогда в соответствии с методом Гаусса – Зейделя k-e приближение к решению можно представить в виде

(2.31)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения не станут близкими к , т.е. критерием завершения итераций является одно из условий (2.21) – (2.24).

Для сходимости итерационного процесса (2.31) достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов (преобладание диагональных элементов):

(2.32)

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго. Эти условия являются достаточными для сходимости метода, но они не являются необходимыми, т.е. для некоторых систем итерации сходятся и при нарушении условий (2.32).

Алгоритм решения системы п линейных уравнений методом Гаусса – Зейделя представлен на рис.2.6. В качестве исходных данных вводят п, коэффициенты и правые части уравнений системы, погрешность ε, максимально допустимое число итераций М, а также начальные приближения переменных xi(i=1,2,…,n).Отметим, что начальные приближения можно не вводить в компьютер, а полагать их равными некоторым значениям (например, нулю). Критерием завершения итераций выбрано условие (2.22), в котором через δобозначена максимальная абсолютная величина разности и :

Для удобства чтения структурограммы объясним другие обозначения: k— порядковый номер итерации; i– номер уравнения, а также переменного, которое вычисляется в соответствующем цикле; j– номер члена вида или в правой части соотношения (2.31). Итерационный процесс прекращается либо при δ Будет полезно почитать по теме:

1.2.3. Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя, метод последовательных замещений)

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) – е приближения неизвестных x1, х2, .

В этом методе, как и в методе простой итерации, необходимо привести систему к виду (3), чтобы диагональные коэффициенты были максимальными по модулю, и проверить условия сходимости. Если условия сходимости не выполняются, то нужно произвести элементарные преобразования (см. п. 4). Пусть дана система из трех линейных уравнений. Приведем ее к виду (3). Выберем произвольно начальные приближения корней: х1(0), х2(0), х3(0), стараясь, чтобы они в какой-то мере соответствовали искомым неизвестным. За нулевое приближение можно принять столбец свободных членов, т. е. х(0) = b

(т. е. x1(0)=b1, x2(0)=b2, x3(0)=b3). Найдем Первое приближение х(1) по формулам:

Следует обратить внимание на особенность метода Зейделя, которая состоит в том, что полученное в первом уравнении значение х1(l) сразу же используется во втором уравнении, а значения х1(1), х2(1) – в третьем уравнении и т. д. То есть все найденные значения х1(1) подставляются в уравнения для нахождения хi+1(1) [6, 8].

Рабочие формулы для метода Зейделя для системы трех уравнений имеют следующий вид:

Запишем в общем виде для системы n-уравнений рабочие формулы:

Заметим, что теорема сходимости для метода простой итерации справедлива и для метода Зейделя.

Зададим определенную точность решения e, по достижении которой итерационный процесс завершается, т. е. решение продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие для всех уравнений: где i=1,2,3,…,n.

Пример №2. Методом Зейделя решить систему с точностью e = 10-3:

1. Приведем систему к виду:

2. В качестве начального вектора х(0) возьмем элементы столбца свободных членов, округлив их значения до двух знаков после запятой:

3. Проведем итерации методом Зейделя. При k = 1

.

При вычислении х2(1) используем уже полученное значение х1(1) =

.

При вычислении х3(1) используем значения х1(1) и х2(1):

Наконец, используя значения х1(1), х2(1), х3(1), получаем:

Аналогичным образом ведем вычисления при k=2 и k=3. При k= 2:

Найдем модули разностей значений при k = 2:

Они меньше заданного числа e, поэтому в качестве решения возьмем: x1 = 0,80006, x2 = 1,00002, x3 = 1,19999, x4 = 1,40000.

МЕТОД ГАУССА-ЗЕЙДЕЛЯ: ОБЪЯСНЕНИЕ, ПРИЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРЫ — МАТЕМАТИКА — 2022

Метод Гаусса-Зейделя представляет собой итерационную процедуру нахождения приближенных решений системы линейных алгебраических уравнений с произвольно выбранной точностью. Этот метод применяется к квадратным матрицам с ненулевыми элементами на диагоналях, и сходимость гарантируется, если матрица диагонально доминирует.

Он был создан Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855), который провел частную демонстрацию одному из своих учеников в 1823 году. Позднее он был официально опубликован Филиппом Людвигом фон Зайделем (1821-1896) в 1874 году, отсюда и название обоих математиков.

Рис. 1. Метод Гаусса-Зейделя быстро сходится для получения решения системы уравнений. Источник: Ф. Сапата.

Для полного понимания метода необходимо знать, что матрица является доминирующей по диагонали, когда абсолютное значение диагонального элемента каждой строки больше или равно сумме абсолютных значений других элементов той же строки.

Математически это выражается так:

Объяснение на простом случае

Чтобы проиллюстрировать, из чего состоит метод Гаусса-Зейделя, мы возьмем простой случай, в котором значения X и Y могут быть найдены в системе линейных уравнений 2 × 2, показанной ниже:

Шаги, которым нужно следовать

1- Во-первых, необходимо определить, является ли конвергенция безопасной. Сразу видно, что это, по сути, диагонально доминирующая система, поскольку в первой строке первый коэффициент имеет более высокое абсолютное значение, чем другие в первой строке:

Аналогичным образом, второй коэффициент во второй строке также доминирует по диагонали:

2- Переменные X и Y очищены:

3- Помещается произвольное начальное значение, называемое «семя»: Xo = 1, I = 2.

4-Итерация начинается: для получения первого приближения X1, Y1 начальное число подставляется в первое уравнение этапа 2, а результат — во второе уравнение этапа 2:

X1 = (1-2 I) / 5 = (1-2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Мы действуем аналогичным образом, чтобы получить второе приближение решения системы уравнений:

X2 = (1-2 Y1) / 5 = (1-2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Третья итерация:

X3 = (1-2 Y2) / 5 = (1-2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Четвертая итерация, как последняя итерация этого иллюстративного случая:

X4 = (1-2 Y3) / 5 = (1-2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Эти значения достаточно хорошо согласуются с решением, найденным другими методами разрешения. Читатель может быстро проверить это с помощью математической онлайн-программы.

Анализ метода

Как видно, в методе Гаусса-Зейделя приблизительные значения, полученные для предыдущей переменной на том же шаге, необходимо подставить в следующую переменную. Это отличает его от других итерационных методов, таких как метод Якоби, в котором каждый шаг требует приближения предыдущего этапа.

Метод Гаусса-Зейделя не является параллельной процедурой, в отличие от метода Гаусса-Жордана. Это также причина того, что метод Гаусса-Зейделя имеет более быструю сходимость — за меньшее количество шагов — чем метод Жордана.

Что касается условия диагонального преобладания матрицы, то это не всегда выполняется. Однако в большинстве случаев для выполнения условия достаточно простой замены строк из исходной системы. Более того, метод почти всегда сходится, даже если не выполняется условие диагонального доминирования.

Предыдущий результат, полученный четырьмя итерациями метода Гаусса-Зейделя, можно записать в десятичной форме:

Точное решение предложенной системы уравнений:

Таким образом, всего за 4 итерации вы получите результат с точностью до одной тысячной (0,001).

На рисунке 1 показано, как последовательные итерации быстро сходятся к точному решению.

Приложения

Метод Гаусса-Зейделя не ограничивается только системой линейных уравнений 2 × 2. Предыдущая процедура может быть обобщена для решения линейной системы из n уравнений с n неизвестными, которая представлена ​​в виде матрицы:

А Х = Ь

Где A — это матрица размера nxn, а X — компоненты вектора n переменных, которые необходимо вычислить; а b — вектор, содержащий значения независимых членов.

Чтобы обобщить последовательность итераций, примененную в иллюстративном случае к системе nxn, из которой требуется вычислить переменную Xi, будет применяться следующая формула:

В этом уравнении:

— k — индекс значения, полученного на итерации k.

-k + 1 указывает новое значение в следующем.

Конечное количество итераций определяется, когда значение, полученное на итерации k + 1, отличается от значения, полученного непосредственно перед этим, на величину ε, которая является в точности желаемой точностью.

Примеры метода Гаусса-Зейделя

— Пример 1

Напишите общий алгоритм, позволяющий вычислить вектор приближенных решений X линейной системы уравнений nxn, учитывая матрицу коэффициентов A, вектор независимых членов b , количество итераций (i ter) и начальное значение или «seed «вектора X .

Решение

Алгоритм состоит из двух циклов «До», один для количества итераций, а другой — для количества переменных. Это было бы так:

X: = (1 / A) * (b — ∑ _{j = 1} n (A * X) + A * X)

— Пример 2

Проверьте работу предыдущего алгоритма через его приложение в бесплатной математической программе SMath Studio, доступной для Windows и Android. Возьмем в качестве примера случай с матрицей 2 × 2, который помог нам проиллюстрировать метод Гаусса-Зейделя.

Решение

Рис. 2. Решение системы уравнений для примера 2 x 2 с использованием программного обеспечения SMath Studio. Источник: Ф. Сапата.

— Пример 3

Примените алгоритм Гаусса-Зейделя для следующей системы уравнений 3 × 3, которая была предварительно упорядочена таким образом, что коэффициенты диагонали являются доминирующими (то есть имеют большее абсолютное значение, чем абсолютные значения коэффициентов тот же ряд):

9 Х1 + 2 Х2 — Х3 = -2

7 Х1 + 8 Х2 + 5 Х3 = 3

3 Х1 + 4 Х2 — 10 Х3 = 6

Используйте нулевой вектор в качестве начального числа и рассмотрите пять итераций. Прокомментируйте результат.

Решение

Рисунок 3. Решение системы уравнений решенного примера 3 с помощью SMath Studio. Источник: Ф. Сапата.

Для той же системы с 10 итерациями вместо 5 получаются следующие результаты: X1 = -0,485; X2 = 1,0123; X3 = -0,3406

Это говорит нам, что пяти итераций достаточно, чтобы получить три десятичных знака точности, и что метод быстро сходится к решению.

— Пример 4

Используя алгоритм Гаусса-Зейделя, указанный выше, найдите решение системы уравнений 4 × 4, приведенной ниже:

10 х1 — х2 + 2 х3 + 0 х4 = 6

-1 x1 + 11 x2 — 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 — 1 x2 + 10 x3 — 1 x4 = -11

0 х1 + 3 х2 — 1 х3 + 8 х4 = 15

Чтобы запустить метод, используйте это семя:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 и x4 = 0

Рассмотрим 10 итераций и оценим погрешность результата, сравнивая с итерацией номер 11.

Решение

Рисунок 4. Решение системы уравнений решенного примера 4 с помощью SMath Studio. Источник: Ф. Сапата.

При сравнении со следующей итерацией (номер 11) результат идентичен. Наибольшие различия между двумя итерациями составляют порядка 2 × 10 -8 , что означает, что отображаемое решение имеет точность не менее семи десятичных знаков.