Решение системы с уравнениями окружности

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, \(\mathrm\) – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = \(\mathrm<\frac1x>\) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ \mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<7>=-\frac<2> + 2 > \) – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm> \) – это гипербола

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом \( \mathrm=2> \)

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<5>> \) – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
\( \mathrm<5>=-\frac25|x|+2> \)
Строим график для \( \mathrm \), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) \(\mathrm<\frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>\)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

Решение систем уравнений

Содержание:

Графический метод решения систем уравнений

Вспоминаем то, что знаем

Что такое график уравнения с двумя неизвестными?

Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?

Решите графическим методом систему линейных уравнений:

Открываем новые знания

Решите графическим методом систему уравнений:

Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту

В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.

Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Начнём с графического метода

Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.

Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.

Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1:

Решим систему уравнений:

Построим графики уравнений

Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).

Парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).

Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.

Ответ: (2; 5) и (-1; 2).

Пример 2:

Выясним количество решений системы уравнений:

Построим графики уравнений

Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.

Окружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.

Ответ: Два решения.

Решение систем уравнений методом подстановки

Вспоминаем то, что знаем

Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.

Решите систему линейных уравнений методом подстановки:

Открываем новые знания

Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?

Решите систему уравнений методом подстановки:

Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?

Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?

Ранее вы решали системы уравнений первой степени.

Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.

Пример 3:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим х из уравнения

Подставим найденное выражение в первое уравнение:

Решим полученное уравнение:

Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.

Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.

Пример 4:

Решим систему уравнений:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим у из линейного уравнения:

Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:

После преобразований получим:

Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).

Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».

Пример 5:

Подставим во второе уравнение тогда его можно переписать в виде:

Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:

Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:

Корни этого уравнения:

.

Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.

Пример 6:

Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:

.

Корни этого уравнения:

Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:

1)

2) , получим уравнение корней нет.

Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.

Пример 7:

Решим систему уравнений:

Обозначим

Второе уравнение системы примет вид:

Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:

Осталось решить методом подстановки линейные системы:

Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями

Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:

1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;

2) решают полученную систему;

3) отвечают на вопрос задачи.

Пример 8:

Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — см.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Решим систему. Выразим из первого уравнения у:

Подставим во второе уравнение:

Корни уравнения:

Найдём

С учётом условия получим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.

Пример 9:

Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.

Пусть х — первое число, у — второе число.

Тогда: — произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.

Вычтем из второго уравнения первое. Получим:

Дальше будем решать методом подстановки:

Подставим в первое уравнение выражение для у:

Корни уравнения: (не подходит по смыслу задачи).

Найдём у из уравнения:

Получим ответ: 16 и 7.

Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными

Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть не меняется. А вот уравнение не симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть меняется.

Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.

Например, если в системе уравнений

переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:

Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.

Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:

Сначала научитесь выражать через неизвестные выражения:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Система уравнений с параметром.

Задача 1

Найти все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \[\left\< \begin ((x+5)^2+y^2-a^2)\ln <(9-x^2-y^2)>= 0; \\ ((x+5)^2+y^2-a^2)(x+y+5-a) = 0 \\ \end\right. \] имеет два различных решения.

Условие получено от пользователей сайта alexlarin.net.

Задача хорошо решается графическим методом. Мне она показалась интересной тем, что, в отличие от обычной практики, в процессе размышлений здесь графики лучше размещать на отдельных рисунках. Привожу полное решение этой задачи в качестве очередного примера заданий ЕГЭ на параметр.

Подробное решение

Решение любой задачи, содержащей алгебраические выражения, должно начинаться с анализа области допустимых значений (ОДЗ) этих выражений. Особенно важно не забывать об этом при решении заданий второй части ЕГЭ профильного уровня.

Здесь одно из уравнений содержит натуральный логарифм, область определения которого ограничена. Следовательно \[9-x^2-y^2>0; \\ 9>x^2+y^2; \\ x^2+y^2 Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Приравняем поочередно каждый сомножитель к нулю, преобразуем к виду, удобному для графического представления и проанализируем его вклад в решение отдельных уравнений и всей системы в целом.
Начнем с сомножителя, общего для обоих уравнений.

\[ (x+5)^2+y^2-a^2 = 0; \\ (x+5)^2+y^2=a^2 \]

Получили уравнение окружности на координатной плоскости. Радиус окружности равен абсолютному значению параметра а. В случае, когда а = 0, окружность вырождается в точку. (Не забываем, что r = |а| потому, что нужно рассмотреть все возможные значения параметра, в том числе и отрицательные, которые при возведении в квадрат удовлетворяют уравнению окружности.) Центр окружности расположен в точке с координатами <−5;0>. Изобразим несколько таких окружностей для различных значений параметра а.
Так как рассматриваемый сомножитель входит в оба уравнения системы, то все точки этих окружностей могут быть искомыми решениями системы. Но реально являются таковыми только те из них, которые входят в ОДЗ, т.е. те участки окружностей, которые пересекают упомянутый выше круг радиуса 3.

Анализируем рисунок:
— (красные) окружности, радиусы которых меньше 2 или больше 8 не имеют общих точек с (голубым) кругом, т.е. при \(|a| \in [0;2) \cup (8;+\infty)\) рассматриваемый сомножитель не дает вклада в решение системы,
— окружности c r = 2 и r = 8 касаются границы голубого круга, но она не входит в ОДЗ, поэтому при \(|a| = 2\) и \(|a| = 8\) рассматриваемый сомножитель также не даст вклада в решение системы,
— в случае, когда радиус окружности принадлежит промежутку (2;8), она пересекается с кругом ОДЗ в двух точках и решением системы являются все точки дуги (красной) окружности, лежащей внутри этого (голубого) круга. Таких точек, а следовательно и решений системы, бесконечное множество.

Выводы:
1) при \(a \in (-8; -2)\cup (2;8)\) система уравнений имеет бесконечное множество решений;
2) при \(a \in (-\infty; -8] \cup [-2;2] \cup[8;+\infty)\) сомножитель \(((x+5)^2+y^2-a^2)\) не дает вклада в решения системы, поэтому при некоторых значениях параметра а из этого диапазона система может иметь два различных решения, если таковые будут получены из анализа оставшихся двух сомножителей.

Итак, продолжаем искать решения заданной системы уравнений среди решений следующей системы, содержащей оставшиеся два сомножителя \[\left\< \begin \ln <(9-x^2-y^2)>= 0; \\ (x+y+5-a) = 0. \\ \end\right. \] Последняя равносильна заданной при условии, что нас не интересует случай, когда \((x+5)^2+y^2-a^2 = 0\). В дальнейшем эту систему я буду называть сокращенной.

Преобразуем уравнения, чтобы построить графики \[ \ln <(9-x^2-y^2)>= 0; \\ 9-x^2-y^2 = 1; \\ 9-1 = x^2+y^2 ; \\ x^2+y^2 =8. \] Получили уравнение окружности на координатной плоскости. Радиус окружности равен \(\sqrt<8>\), центр находится в точке <0;0>. Вся эта окружность находится в области допустимых значений исходной (заданной в условии) системы уравнений. На рисунке она изображена сплошной синей линией. \[(x+y+5-a) = 0 \\ x+y+5=a ; \\ y = -x + (a-5) \] Получили уравнение прямой на координатной плоскости. Прямая проходит параллельно биссектрисе второго и четвертого координатных углов (тангенс угла наклона равен −1) и пересекает ось ординат в точке \(a-5\). Изобразим несколько таких прямых для различных значений параметра а.

Решением сокращенной системы уравнений будут точки пересечения окружности \(r = \sqrt<8>\) с этими прямыми. Прямые могут пересекать окружность в двух точках, касаться её в одной точке или вообще не иметь общих точек с окружностью. Нас интересуют те из них, которые имеют по два пересечения, что будет соответствовать двум различным решениям системы уравнений. Как видно по рисунку, такие прямые находятся между двумя касательными к окружности. Нужно уточнить их уравнения, чтобы найти соответствующие пределы изменения параметра a.

Если вы очень точно и крупно изобразили координатную плоскость на чертеже, то можно попытаться определить точки касания по рисунку. Например, на увеличенном рисунке с иконкой лупы видно, что касание происходит в точках с координатами <2;2>и <−2;−2>. Однако не забывайте, что экзамен не проверяет ваш глазомер, и истинное значение координаты может отличаться на десятые или сотые доли от видимого, тем более, что радиус окружности у нас имеет иррациональное значение \(\sqrt<8>\). Поэтому, как минимум, необходимы проверка предполагаемых значений координат подстановкой в уравнение окружности и геометрическое обоснование касания. Ещё лучше точно вычислить точки касания через производную и уравнения касательных.

Например, для точки <2;2>применим первый способ:
— пусть x = 2 и y = 2, тогда \(x^2+y^2 = 2^2+2^2 = 4+4=8\), значит точка лежит на окружности;
— радиус, проведенный в эту точку, совпадает с диагональю квадрата 2×2, которая проходит под углом 45° к положительному направлению оси Ох и поэтому перпендикулярна к рассматриваемым (зелёным) прямым. Таким образом, выполняется условие: радиус окружности перпендикулярен касательной.
(Примечания: I.Имелся в виду квадрат с вершинами в точках <0;0>, <0;2> <2;2>и <2;0>). II.Тангенс угла наклона наших прямых равен −1, следовательно они проходят под углом 135° к положительному направлению оси Ох.)

В качестве второго примера, левую точку касания полностью найдём через производную и уравнение касательной. Нижняя часть окружности соответствует графику функции \[ y = — \sqrt <8-x^2>\] Вычислим производную этой функции \[ y’ = (- \sqrt<8-x^2>)’ = -\dfrac<1\cdot(8-x^2)'><2\sqrt<8-x^2>> = -\dfrac<-2x><2\sqrt<8-x^2>> = \dfrac<\sqrt<8-x^2>> \] Приравняем производную к тангенсу угла наклона искомой касательной, т.е. в нашем случае к −1 и решим уравнение относительно x. \[\dfrac<\sqrt<8-x^2>> = -1;\\ x = — \sqrt<8-x^2>; \; x^2 = 8-x^2; \\ 2x^2 = 8; \; x^2 = 4; \; x = \pm2.\] Нашли абсциссы точек касания. Подстановкой в уравнение окружности находим ординаты этих точек \[ y = — \sqrt<8-x^2>; \; y(-2) = — \sqrt <8-(-2)^2>= — \sqrt <8-4>= -2;\]

Итак, точки касания найдены и обоснованы. Определим соответствующие им значения параметра a.
\[ y = -x + (a-5) \\ при \; x=2, \; y = 2 \;имеем\\ 2 = -2 + (a-5) \\ a-5=4;\; a = 9 \\ при \; x=-2,\; y = -2 \; имеем \\ -2 = 2 + (a-5) \\ a-5=-4; \; a = 1 \] Следовательно, при \(a \in (1; 9) \) сокращённая система уравнений имеет ровно два различных решения.

Вернёмся к заданной системе уравнений. Чтобы она имела два различных решения, параметр a должен находиться в таком диапазоне, где первый из рассмотренных нами сомножителей не дает решений (иначе, как мы выяснили, их будет бесконечно много), а система из оставшихся двух сомножителей, сокращенная система, дает ровно два решения. Чтобы определить этот диапазон, найдем пересечение полученных ранее интервалов для параметра а с помощью числовой оси.

Как видно оба условия выполняюися для \(a \in (1; 2]\cup [8; 9)\)

Ответ: \(a \in (1; 2]\cup [8; 9)\)

Конечно, в итоговое решение, которое будет переписано на бланк, вы можете поместить один рисунок, который выглядит примерно так:

В качестве решения приведите все алгебраические выкладки с кратким обоснованием.

Задача для самостоятельного решения.

Задача 2

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \[\left\< \begin (x+y-2a)\sqrt <8x-y^2-x^2>= 0; \\ (x+y-2a) \Large (\normalsize x^2+(y+3)^2-a^2 \Large )\normalsize = 0 \\ \end\right. \] имеет ровно два различных решения.

1) ОДЗ: \( 8x-y^2-x^2 \ge 0 \)
\[ 8x-y^2-x^2 = 0 \\ 2\cdot 4\cdot x-y^2-x^2 +16-16=0 \\ 16 = x^2 -2\cdot x\cdot 4+16+y^2 \\ (x-4)^2+y^2=4^2 \] ОДЗ — круг радиуса 4 центром в точке О₁<4;0>, включая границу.

2) Система равносильна совокупности \[ \left[ \begin x+y-2a = 0; \\ <\left\< \begin \sqrt <8x-y^2-x^2>= 0; \\ x^2+(y+3)^2-a^2 = 0. \end \right.> \end \right. \] 3) Первое уравнение совокупности \[x+y-2a = 0; \\ y=-x+2a \] является уравнением прямых на координатной плоскости.

Находим точки касания этих прямых и окружности ОДЗ: \[ (x-4)^2+y^2 = 4^2 \\ y = \pm \sqrt <16 - (x-4)^2>\\ y’ = \pm \dfrac<1\cdot (16 - (x-4)^2)'><2\sqrt<16 - (x-4)^2>> = \mp \dfrac<\sqrt<16 - (x-4)^2>> \\ \mp \dfrac<\sqrt<16 - (x-4)^2>> = -1 \\ \pm (x-4) = \sqrt <16 - (x-4)^2>\\ (x-4)^2 = 16 — (x-4)^2 \\ (x-4)^2 = 8\\ x = \pm \sqrt <8>+ 4 = 4 \pm 2\sqrt<2>. \\ y = \pm \sqrt <16 - (x-4)^2>= \pm \sqrt <16 - 8>= \pm 2\sqrt<2>. \\ \] При каких \(a\) через точки касания проходят прямые? \[ x+y-2a= 0;\\ 4+2\sqrt<2>+2\sqrt <2>= 2a;\\ a=2+2\sqrt<2>.\] \[ x+y-2a = 0;\\ 4-2\sqrt<2>-2\sqrt<2>=2a;\\ a=2-2\sqrt<2>. \]

Вывод:
— при \( a \in (2-2\sqrt<2>;\; 2+2\sqrt<2>) \) бесконечное множество решений;
— при \( a = 2-2\sqrt<2>\) и \(a = 2+2\sqrt <2>\) уравнение имеет единственное решение;
— при \( a \in (-\infty; 2-2\sqrt<2>)\cup (2+2\sqrt<2>; + \infty) \) уравнение не даёт вклада в решения исходной системы.

4) Рассматриваем систему совокупности (сокращенную систему): \[ <\left\< \begin \sqrt <8x-y^2-x^2>= 0; \\ x^2+(y+3)^2-a^2 = 0. \end \right.> \] \[\sqrt <8x-y^2-x^2>= 0 \Leftarrow\Rightarrow 8x-y^2-x^2=0 \Leftarrow\Rightarrow (x-4)^2+y^2 = 4^2 \] Решениями первого уравнения этой системы являются все точки окружности — границы ОДЗ.
\[x^2+(y+3)^2-a^2 =0 \Leftarrow\Rightarrow x^2+(y+3)^2= a^2 \] Решениями второго уравнения этой системы являются все точки окружностей радиуса \(а\) центром в точке О₂<0;-3>.

Решением системы — пересечение этих множеств.

При каких \(a\) окружности касаются друг друга?
Из геометрии — точки касания окружностей лежат на одной прямой с их центрами. \[O_1O_2 = \sqrt <4^2+3^2>= 5\] Следовательно, \(|a|=5-4=1\) радиус меньшей касательной окружности, \(|a|=5+4=9\) радиус большей.

Вывод:
— при \( |a| \in (1;\;9) \) по 2 решения;
— при \( |a| = 1\) и \(|a| = 9 \) по 1-му решению;
— при \( |a| \in [0;\; 1)\cup (9;\; + \infty) \) решений нет.

5) Общий вывод:
— при \( a \in (-\infty;\; -9)\cup (-1;\; 2-2\sqrt<2>) \cup (9;\; +\infty ) \) система уравнений, заданная в условии задачи, не имеет решений;
— при \( a = \<-9;\;-1;\;2-2\sqrt<2>;\;9\;\> \) она имеет единственное решение;
— при \( a \in (-9;\;-1)\cup (2+2\sqrt<2>;\;9) \) два решения;
— при \( a = 2+2\sqrt <2>\) три решения;
— при \( a \in (2-2\sqrt<2>;\; 2+2\sqrt<2>) \) бесконечное множество решений.

Ответ: \( a \in (-9;\; -1)\cup (2+2\sqrt<2>;\; 9) \)

Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.