Урок-практикум по алгебре. 9-й класс. Тема: «Решение систем уравнений второй степени»
Класс: 9
Презентация к уроку
Цели урока (Слайд 1):
- Обучающие: систематизировать знания по данной теме, выработать умение решать системы уравнений, содержащие уравнения второй степени графическим способом, способами подстановки и сложения.
- Развивающие: развивать вычислительную технику, мыслительную активность, логическое мышление, интерес к предмету; способствовать формированию ключевых понятий; выполнение заданий различного уровня сложности.
- Воспитывающие: воспитывать внимательность, аккуратность, умения четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу.
Оборудование: доска, мел, линейка, карточки – задания для индивидуальной работы, наглядность, презентация.
1. Организационный момент.
а) Отметить отсутствующих;
б) объявить тему урока;
в) объявить цели урока.
2. Фронтальный опрос правил и определений по теме урока. В параллели проводится индивидуальная работа (Приложение 1) с учащимися, имеющими слабую мотивацию к учебе.
Какие способы решения систем уравнений с двумя переменными знаете?
(Графический, подстановки, сложения) (Слайд 3).
Рассмотрим графический способ. (Слайд 4)
- Как решается система графическим способом?
(Необходимо: построить графики уравнения в одной координатной плоскости; найти координаты точек пересечения графиков, которые и будут решением системы.) - Почему координаты точек пересечения являются решением системы уравнений?
(Координаты точек пересечения удовлетворяют каждому уравнению системы.) - Как записывается решение системы уравнений, если она решается графическим способом?
(Приближенным равенством для значений переменных.) - От чего зависит количество решений системы уравнений при графическом способе решения?
(От количества точек пересечения.) - Сколько точек имеют графики, если система имеет три решения? (Три точки.)
3. Работа с наглядностью. (Слайды 5, 6)
- Сколько точек пересечения имеют графики. (Приложение 2)
- Сколько решений имеет система, если графики изображены на рисунке. (Приложение 2)
- Совместить графики уравнений с формулами, которыми они задаются. (Приложение 3)
4. Самостоятельная работа 1 (слайд 7) с использованием шаблонов координатной плоскости.
Изобразив схематически графики уравнений, укажите количество решений системы.
5. При графическом способе решения мы находим приближенные значения переменных. А как же найти точные значения?
(Решить систему способом подстановки или сложения . )
- Как решить систему способом подстановки? (Слайд 8)
(Выражают из уравнения одну переменную через другую. Подставляют эту подстановку в другое уравнение. Решают полученное уравнение с одной переменной. Находят соответствующие значение второй переменной, из подстановки). - Есть ли разница, из какого уравнения системы получить подстановку?
(Нет. Если в систему входит уравнение 1-ой степени, то подстановку получают из этого уравнения. Если оба уравнения второй степени, то подстановку получают из любого.) - Как записать решение системы? (Парой чисел.)
- Как решить систему способом сложения? (Слайд 13)
6 . Устная работа. В параллели проводится индивидуальная работа с учащимися средней мотивации к учебе (Приложение 4)
а) Определите степень уравнения (Слайд 9):
2 | 1 | 2 | 2 | 1 |
б) Выразите одну переменную через другую (слайд 10):
в) Решите систему уравнений (Слайд 11):
Решений нет | (-1; 2) ; (-2; 1) | (1,6; 3) | (10;1,8) |
г) Определите корни уравнения (Слайд 12):
-1; 4 | 3; 4 | -4; -2 |
6. Работа в тетрадях (Слайд 14): № 440 (а), 433(а), 448(а), 443(а), [438].
7. Самостоятельная работа 2. (Слайд 15)
Решите систему уравнений.
Вариант 1 | Вариант 2 |
(-4;-5); (2;1) | (-6;-9); (8;5) |
Решений нет | (4;-1); (-4;1) |
(-0,5;-11); (8; 6) | (-4;-5); (14;4) |
(-0,4;0,3); (3;2) | Решений нет |
(3;1) |
8. Подведение итогов. Занести результаты каждого ученика в оценочный лист.
№ п/п | Ф.И. ученика | Индивидуальная | Устная | Самостоятельная 1 | Самостоятельная 2 | Письменная | Итоговая оценка |
1. | |||||||
2. | |||||||
3. |
9. Домашнее задание (Слайд 16): п.18–19, с.109–112, № 433 (б), 440(б), 448(б), 443(б).
- Учебник “Алгебра 9 класс”, авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова, “Просвещение”, 2008.
- Уроки алгебры в 9 классе, авторы В.И.Жохов, Л.Б.Крайнева, “Вербум-М”, 2000.
- Дидактические материалы по алгебре 9 класс, авторы В.И.Жохов и др., “Просвещение”, 2009.
- Открытый банк задач по ГИА.
План -конспект на тему: » Решение систем уравнений второй степени» ( 9 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Открытый урок по алгебре
Решение систем уравнений второй степени с двумя методом подстановки.
Подготовила и провела
МБОУ « Новопокровская школа»
систематизировать знания по данной теме
выработать умение решать системы уравнений, содержащие уравнения второй степени способами подстановки.
развивать вычислительную технику, мыслительную активность, логическое мышление;
способствовать формированию ключевых понятий;
выполнять задания различного уровня сложности; развивать правильную математическую речь
формировать графическую и функциональную культуру обучающихся.
воспитывать внимательность, аккуратность, умение четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу, воспитывать глубокий и устойчивый интерес к изучению математики
формировать навыки общения, умения работать в коллективе.
1. Отработать алгоритм решения систем уравнений второй степени способом подстановки и различного уровня сложности.
2. Отработать навыки и умения иллюстрировать решения систем уравнений графически.
Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная, коллективная, групповая, самостоятельная, работа в парах.
Тип урока : комбинированный.
Методы урока: практический, наглядный, словесный.
Оборудование: учебник «Алгебра – 9 класс» Макарычева Ю.Н., под ред. С.А.Теляковского, раздаточный материал, карточки с алгоритмом портреты.
Математике должны учить в школе
еще с той целью,
чтобы познания, здесь приобретаемые,
были достаточными для обыкновенных
потребностей в жизни.
Сегодняшний урок я хотела начать с философской загадки «Что самое быстрое, но и самое медленное, самое большое, но и самое маленькое, самое продолжительное и краткое, самое дорогое, но и дёшево ценимое нами?» (Время).
Итак, у нас всего 45 минут, и мне очень хотелось, чтобы это время пролетело для вас незаметно и с пользой.
Сегодня на уроке мы должны рассмотреть способ подстановки для решения систем уравнений.
Проверка домашнего задания.
III Актуализация опорных знаний.
Определение системы уравнения с двумя переменными.
(Уравнения, объединенные фигурной скобкой, имеющие множество решений одновременно удовлетворяющих для каждого уравнения)
Что называют решением системы уравнений с двумя переменными?
(Пара значений, которые обращают каждое уравнение в системе в верное равенство)
Какие уравнения называются равносильными?
(Уравнения, которые имеют одно и тоже множество решений )
Назовите основные способы решения систем уравнений.
Графический, метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод замены переменной.
Учащиеся определяют вид уравнения, формулируют определения).
1) 6) ,
2) , 7) ,
3) , 8)
4) , 9)
5) 10)
3. Какая фигура является графиком уравнения?
4.Какая из следующих пар чисел является решением системы уравнений
х 2 +у 2 =1
5. Решение какой системы изображено
IV Из истории решения систем уравнений.
Еще древним вавилонянам и египтянам было известно много задач, решение которых сводилось к решению уравнений с одной переменной. Только в то время не умели применять в математике буквы. Поэтому вместо букв брали числа, показывали на числах, как решать задачу, а потом уже все похожие на нее задачи решали тем же способом.
В древневавилонских текстах, написанных в III – II тысячелетиях до н.э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй степени.
Многие уравнения умел решать греческий математик Диофант, который даже применял буквы для обозначения неизвестных.
Но по-настоящему метод уравнений сформировался в руках арабских ученых. Они, по-видимому, знали, как решали задачи в Вавилоне и Индии, улучшили эти способы решения и привели их в систему. Первым написал книгу на арабском языке о решении уравнений Мухаммед ибн Мусса ал-Хорезми. Название у нее было очень странное − «Краткая книга об исчислении ал-джабры и ал-мукабалы». В этом названии впервые прозвучало известное нам слово «алгебра».
Книга ал-Хорезми о решении уравнений не была столь распространена, как его сочинение об индийском счете. Но и с нею познакомились математики Западной Европы. Когда они овладели методами ал-Хорезми, то стали их улучшать, применять к все более сложным уравнениям, настолько сложным, что без букв оказалось невозможно к ним подступиться.
Французский ученый Франсуа Виет(XVIв.) впервые ввел символическую запись уравнения: стал обозначать неизвестные величины одними буквами, а известные − другими. Алгебраическая символика совершенствовалась в трудах Декарта, Ньютона, Эйлера.
Рене Декарт
(1596 — 1650)
французский математик и философ
Мыслю, следовательно существую.
Исаа́к Нью́то́н 4 января 1643 — 31 марта 1727 — английский физик , математик и астроном , один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда « Математические начала натуральной философии », в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики , ставшие основой классической механики . Разработал дифференциальное и интегральное исчисление , теорию цвета и многие другие математические и физические теории.
ЛЕЙБНИЦ ( Leibniz ) Готфрид Вильгельм (1 июля 1646, Лейпциг — 14 ноября 1716, Ганновер), немецкий философ, логик, физик, математик и языковед.
Леонард Эйлер (1707—1783), — российский, немецкий и швейцарский математик. Анализировал бесконечно малые. Благодаря его работам, математический анализ стал вполне оформившейся наукой.
Карл Гаусс (1777—1855), — немецкий математик, астроном и физик. Создал теорию «первообразных» корней, из которой вытекало построение семнадцатиугольника. Один из величайших математиков всех времён.
Жозе́ф Луи́ Лагра́нж ( 25 января 1736 — 10 апреля 1813) — французский математик и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером — лучший математик XVIII века . Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала.
Основная цель при решении систем линейных уравнений — решить систему уравнений, то есть найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для решения системы уравнений с двумя переменными используются разные способы. Практическое применение этих способов — это решение задач, по алгебре, физике, химии, геометрии.
V . Изучение нового материала
Основными методами решения систем уравнений являются метод подстановки и метод сложения.
При этом используют приемы: замена переменных, формулы сокращенного умножения, равенство произведения нулю и другие.
Записать на доске 3 метода решения систем уравнений.
1. Графический метод
2. Метод подстановки
3.Метод алгебраического сложения
С системами уравнений мы познакомились в курсе алгебры 7-го класса, но это были системы специального вида – системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Алгоритм, который был выработан в 7 классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений с двумя переменными х и у.
Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы.
Подставить полученное выражение вместо переменной в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение относительно одной переменной.
Подставить поочередно каждый из найденных на 3 шаге корней уравнения в выражение, полученное на первом шаге и найти другую переменную.
Записать ответ в виде пар значений (х;у).
Покажу, как работает этот метод при решении систем.
Решим систему уравнений:
Применим метод подстановки. Преобразуем исходную систему:
Ответ: (1;0), (2;1)
VI . Закрепление знаний.
Рассмотреть по учебнику № 433( а), № 437 (а)
Решение системы уравнений по алгоритму.
Реши систему уравнений
Конспект урока по теме: «Решение систем уравнений второй степени» (Алгебра, 9 класс)
Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по теме: «Решение систем уравнений второй степени» (Алгебра, 9 класс)»
9 класс АЛГЕБРА Урок № __
Тема: Решение систем уравнений второй степени.
Цель: рассмотреть способ подстановки для решения систем уравнений.
I. Организационный момент
Учитель и ученики приветствуют друг друга. Выявляются отсутствующие
II. Сообщение темы и цели урока
III. Повторение и закрепление раннее пройденного материала
1. Проверка выполнения домашнего задания
2. Контроль усвоения материала
1. Графически решите систему уравнений
2. Для каждого значения параметра а найдите число решений системы уравнений
1. Графически решите систему уравнений
2. Для каждого значения параметра а найдите число решений системы уравнений
IV. Изучение нового материала
Рассмотрим теперь аналитическое решение систем уравнений с двумя переменными. Наиболее распространённый способ решения систем – способ подстановки. Для этого необходимо:
1) выразить из более простого уравнения одну переменную через другую;
2) подставить это выражение в другое уравнение и получить уравнение с одной неизвестной;
3) решить полученное уравнение с одной переменной;
4) найти соответствующие значения второй неизвестной.
Решим систему уравнений
Второе уравнение системы является линейным (первой степени) и, соответственно, более простым. Выразим из него переменную у через переменную х: у = 2х – 3. Подставим это уравнение в первое уравнение и получим уравнение с переменной х:
х(2х – 3) + 5х + (2х – 3) = 8, или (после преобразований) -8х+4=0. Корни этого квадратного уравнения: х1 = 2 и х2 = . Используя формулу у = 2х – 3, найдём соответствующие значения переменнной у: у1 = 2∙2 – 3 = 1 и у2 = 2∙ – 3 = — .
Итак, система имеет два решения: (2; 1) и .
Во многих случаях оба уравнения системы являются нелинейными. Иногда способ подстановки пригоден и для таких систем.
Решим систему уравнений
Очевидно, что х ≠ 0. Из второго уравнения выразим переменную у через х: у = и подставим в первое. Получаем уравнение + 5∙3 – 2∙ = -2, или (после преобраований) +17 -18=0. Корни этого биквадратного уравнения: х1 = 1 и х2 = -1. По формуле у = найдём соответствующие значения у: у1 = = 3 и у2 = = -3. Итак, система уравнений имеет два решения: (1;3) и (-1;-3).
Способ подстановки полезен и при решении систем уравнений с параметрами.
При всех значениях параметра а определите число решений системы уравнений
Из второго уравнения выразим переменную у через х: у = а + х. Подставим это выражение в первое уравнение и получим: + (а – х) 2 = 1, или — 2ах + а 2 – 1 = 0. Дискриминант этого квадратного уравнения D = 4(2 — а 2 ). Число решений уравнения (а следовательно, и системы уравнений) определяется знаком дискриминанта.
Если D 0, или а ∈ (- , система имеет два решения (пересечение прямой и окружности – случай а).
Если D = 0, или а ∈ , система имеет одно решение (касание прямой и окружности – случай б).
Если D или а ∈ (-∞;- ⋃( , система не имеет решений (прямая не пересекает окружность – случай в).
Заметим, что в ряде случаев при решении используют способ сложения (как частный случай способа подстановки).
Решим систему уравнений
Сложим уравнения системы и получим: = 32, или =4, откуда х+1 = 2 и х1 = 1 и х1 = -3. Подставим выражение =4, например, в первое уравнение системы. Получим: 3 ∙ 4 — 2 = 10, откуда = 1, или у + 3 = 1 и у = -2.
Итак, система уравнений имеет два решения: (1; -2) и (-3; -2).
Остальные способы решения систем уравнений будут рассмотрены в конце главы.
http://infourok.ru/plan-konspekt-na-temu-reshenie-sistem-uravneniy-vtoroy-stepeni-klass-2682691.html
http://multiurok.ru/files/konspekt-uroka-po-teme-reshenie-sistem-uravnenii-1.html