Решение системы уравнений 2 степени методом подстановки
Система уравнений второй степени. Способы решения
Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.
Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:
1) в уравнении первой степени одну переменную выражают через другую;
2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, благодаря чему получается уравнение с одной переменной;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующие значения второй переменной.
Пример : Решим систему уравнений
1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В ней выражаем переменную x через y:
2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:
Раскрываем скобки и упрощаем:
Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:
3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:
4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
х – 0,25 = 1
х = 1 + 0,25
х1 = 1,25.
Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.
1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.
Пример : Решим систему уравнений
Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:
(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).
В результате наша система уравнений обретает иной вид:
Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.
Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:
Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.
Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.
Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:
Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:
Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:
Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:
Итак, у нас есть первые ответы:
Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:
Таким образом, исходная система уравнений решена.
1 1
(–3 — ; –1 — ), (3; 1), (2,5; –0,5), (–2; 1).
2 6
2. Решение способом сложения.
Пример 2 : Решим систему уравнений
Второе уравнение умножим на 3:
Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).
Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:
Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:
Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:
Приравняем уравнение к нулю:
Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.
Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.
Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:
Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.
Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x1 = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).
Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).
Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).
3. Решение методом подстановки.
Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.
Пример . Решить систему уравнений
│х + у = 9
│у 2 + х = 29
Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:
Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:
у 2 + 9 – у = 29
у 2 – у – 20 = 0
D = b 2 – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81
Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:
1) х + 5 = 9
х = 9 – 5
х1 = 4
2) х – 4 = 9
х = 9 + 4
х2 = 13
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.
С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2
В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)
Решить систему уравнений
Немного теории.
Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\< \begin
Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Пара (1;4) — решение системы
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
Решение систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\< \begin
Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \( x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \( 11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\( -3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \( x=11; y=-9 \) или \( (11; -9) \)
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Решение систем уравнений второй степени способом подстановки (9 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
МБОУ «Акатовская основная школа»
Гагаринского района Смоленской области
Открытый урок алгебры в 9 классе по теме:
«Решение систем уравнений второй степени способом подстановки».
Тема : Решение систем уравнений второй степени способом подстановки.
· повторить графический способ решения систем уравнений, алгоритм способа алгебраического сложения при решении систем уравнений;
· научиться применять данные способы при решении систем, содержащих уравнения второй степени;
· научиться решать системы уравнений способом подстановки.
- учиться преодолевать трудности и не боятся их;
- воспитывать познавательную активность.
· развивать умения правильно выбрать способ решения;
· способствовать развитию мыслительных операций таких как анализ и обобщение;
· интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика.
Тип урока : объяснение нового материала
Используемый метод: кейс-метод
1. Организационный момент.
3. Представление кейса учителем;
4. Индивидуальное изучение кейса каждым членом группы;
5. Разработка вариантов индивидуальных решений;
6. Обсуждение вариантов индивидуальных решений;
7. Подготовка к обсуждению и дискуссия.
8. Домашнее задание.
10. Подведение итогов.
1. Организационный момент .
Ребята, эпиграфом к нашему уроку взяты слова известного немецкого поэта и мыслителя Йоганна Вольфганга фон Гете.
«Настоящий ученик умеет выводить известное из неизвестного и этим приближается к учителю». Думаю, сегодня на уроке у каждого из вас появится возможность, «приблизиться» к учителю.
Мы продолжаем работать над какой проблемой? (решение систем уравнений второй степени)
Какими способами мы уже научились решать системы уравнений второй степени? (графический и метод сложения).
Какой метод у нас еще встречался при решении систем линейных уравнений? (метод подстановки).
Этот метод широко распространен и им мы сегодня займемся.
И поможет нам в этом кейс.
3. Представление кейса учителем.
4. Индивидуальное изучение кейса каждым членом группы.
Выполни задания и запиши ответ в отведенное поле.
отметка о выполнении
Определить степень уравнения:
в) х 5 – 5х 4 у 2 + ху = 0
г) (х 2 — 2у 2 ) 2 = 5у
Является ли пара чисел решением уравнения?
а) 2х + 3у = — 4; (1; -2)
а) 2х — 3, если х = -3
б) 1 – 4х, если х =2
Выразить одну переменную через другую.
Проверь ответы и отметь результат проверки.:
х = 8 -2у или у = 4- 0,5 х
х= у – 1 или у = х +1
Ответь себе на вопросы, проговорите ответы в парах.
1. Что значит решить систему уравнений?
2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?
3. Сколько пар решений может иметь система уравнений?
4. Какие способы решения систем уравнений вы знаете?
5. Какие способы уже применяли при решении систем уравнений второй степени?
6. Чем «ненадежен» графический метод?
7. Какие более надежные методы решения систем уравнений вы знаете?
Четвертый лист кейса:
Вспомнить алгоритм решения систем уравнений методом подстановки.
Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом подстановки:
1. Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы (более простого).
2. Подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение и найти одну из переменных.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в уравнение, полученное на первом шаге и найти вторую переменную.
5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шаге.
Решить систему уравнений по алгоритму:
Разработка вариантов индивидуальных решений.
Обсуждение вариантов индивидуальных решений.
Пример. Дана система уравнений.
Решим ее методом подстановки.
1. Выразим у из второго уравнения системы. Какое выражение для у мы запишем?
2 . Выразили у, что дальше? Подставим в первое уравнение. 
— Что же мы видим? 1-ое уравнение системы зависит от одной переменной х.
— Какое это уравнение? Это квадратное уравнение.
— А решать их мы с вами умеем.
3. Выпишем 1-ое уравнение системы
— Решите его самостоятельно.
Решив уравнение, получаем х=3, х=5,5.
4. Подставим поочередно каждый из найденных корней уравнения вместо
— Найдите значения переменной у и запишите ответ.
Подготовка к обсуждению и обсуждение.
№ 429 (а, в) выполняем в парах.
6. Домашнее задание.
Инструктаж по выполнению домашнего задания.
«Комплимент», «Благодарю», «Три момента» (понравилось, огорчило, порадовало).
8. Подведение итогов.
— Вы все сегодня молодцы! Все активно участвовали в работе.
— Ребята, давайте еще раз вспомним эпиграф к уроку.
-Как вы считаете, удалось ли вам «приблизиться» к учителю?
Спасибо всем. Урок закончен.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 592 321 материал в базе
Материал подходит для УМК
«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
19. Решение систем уравнений второй степени
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
- 28.10.2021
- 71
- 0
- 28.10.2021
- 71
- 0
- 28.10.2021
- 375
- 43
- 28.10.2021
- 62
- 0
- 28.10.2021
- 93
- 0
- 28.10.2021
- 87
- 3
- 28.10.2021
- 74
- 0
- 28.10.2021
- 224
- 5
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 28.10.2021 277
- DOCX 45.1 кбайт
- 14 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Полтева Елена Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 3 месяца
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 395
- Всего материалов: 2
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля
Время чтения: 1 минута
В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной
Время чтения: 0 минут
В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах
Время чтения: 0 минут
Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей
Время чтения: 1 минута
Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной
Время чтения: 1 минута
В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
http://www.math-solution.ru/math-task/sys-lin-eq
http://infourok.ru/reshenie-sistem-uravnenij-vtoroj-stepeni-sposobom-podstanovki-9-klass-5424094.html