Методы решения систем уравнений с двумя переменными
п.1. Метод подстановки
Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.
Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.
п.2. Метод сложения
п.3. Метод замены переменных
Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.
п.4. Графический метод
Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.
п.5. Примеры
Пример 1. Решите систему уравнений:
а) \( \left\< \begin
Решаем методом подстановки: \( \left\< \begin
Для нижнего уравнения: \( \mathrm
Подставляем в верхнее уравнение: \( \mathrm
б) \( \left\< \begin
Замена переменных: \( \left\< \begin
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: \( \left\< \begin
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ \mathrm< D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=1,\ \ b=\frac<9\pm 1><4>> = \left[\begin
Метод замены переменной
Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.
Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.
У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.
Заменим выражение \(x+\frac<1>
Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).
Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:
Попробуем сделать замену здесь.
Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).
Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.
Примеры использования метода замены переменной
Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.
Теперь используем метод замены.
Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).
Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.
Ответ: \(±1\); \(±\) \(\frac<1><2>\) .
Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти \(x\), а не \(t\)! Поэтому возврат к \(x\) — строго обязателен!
Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Приступим к решению.
Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.
Задача №23. Решение систем логических уравнений.
Решение систем логических уравнений методом замены переменных
Метод замены переменных применяется, если некоторые переменные входят в состав уравнений только в виде конкретного выражения, и никак иначе. Тогда это выражение можно обозначить новой переменной.
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → х2) → (х3→ х4) = 1
(х3 → х4) → (х5 → х6) = 1
(х5 → х6) → (х7 → х8) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Сделаем замену переменных:
(x1 → х2) = y1; (х3 → х4) = y2; (х5 → х6) = y3; (х7 → х8) = y4.
Тогда можно записать систему в виде одного уравнения:
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. Конъюнкция равна 1 (истинна), когда каждый операнд принимает значение 1. Т.е. каждая из импликаций должна быть истинна, а это выполняется при всех значениях, кроме (1 → 0). Т.е. в таблице значений переменных y1, y2, y3, y4 единица не должна стоять левее нуля:
Т.е. условия выполняются для 5 наборов y1-y4.
Т.к. y1 = x1 → x2, то значение y1 = 0 достигается на единственном наборе x1, x2: (1, 0), а значение y1 = 1 – на трех наборах x1, x2: (0,0) , (0,1), (1,1). Аналогично для y2, y3, y4.
Поскольку каждый набор (x1,x2) для переменной y1 сочетается с каждым набором (x3,x4) для переменной y2 и т.д., то количества наборов переменных x перемножаются:
Кол-во наборов на x1…x8
Сложим количество наборов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, . x9, y1, y2, . y9, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, . x9, y1, y2, . y9, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Сделаем замену переменных:
(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9
Систему можно записать в виде одного уравнения:
(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬ z8 ≡ z9)
Эквивалентность истинна, только если оба операнда равны. Решениями этого уравнения будут два набора:
z1 | z2 | z3 | z4 | z5 | z6 | z7 | z8 | z9 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Т.к. zi = (xi ≡ yi), то значению zi = 0 соответствуют два набора (xi,yi): (0,1) и (1,0), а значению zi = 1 — два набора (xi,yi): (0,0) и (1,1).
Тогда первому набору z1, z2,…, z9 соответствует 2 9 наборов (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9).
Столько же соответствует второму набору z1, z2,…, z9. Тогда всего 2 9 +2 9 = 1024 наборов.
Решение систем логических уравнений методом визуального определения рекурсии.
Этот метод применяется, если система уравнений достаточно проста и порядок увеличения количества наборов при добавлении переменных очевиден.
Сколько различных решений имеет система уравнений
где x1, x2, … x10 — логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x1, x2, … x10, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Решим первое уравнение. Дизъюнкция равна 1, если хотя бы один из ее операндов равен 1. Т.е. решениями являются наборы:
Для x1=0 существуют два значения x2 ( 0 и 1), а для x1=1 только одно значение x2 (1), такие, что набор (x1,x2) является решением уравнения. Всего 3 набора.
Добавим переменную x3 и рассмотрим второе уравнение. Оно аналогично первому, значит для x2=0 существуют два значения x3 ( 0 и 1), а для x2=1 только одно значение x3 (1), такие, что набор (x2,x3) является решением уравнения. Всего 4 набора.
Несложно заметить, что при добавлении очередной переменной добавляется один набор. Т.е. рекурсивная формула количества наборов на (i+1) переменных:
Ni+1 = Ni + 1. Тогда для десяти переменных получим 11 наборов.
Решение систем логических уравнений различного типа
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, . x4, y1. y4, z1. z4, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, . x4, y1, . y4, z1, . z4, при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Заметим, что три уравнения системы одинаковы на различных независимых наборах переменных.
Рассмотрим первое уравнение. Конъюнкция истинна (равна 1) только тогда, когда все ее операнды истинны (равны 1). Импликация равна 1 на всех наборах, кроме (1,0). Значит, решением первого уравнения будут такие наборы x1, x2, x3, x4, в которых 1 не стоит левее 0 (5 наборов):
http://cos-cos.ru/math/78/
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/informatika/zadanie-23/