Решение системы уравнений с модулями 9 класс

Решение системы уравнений с модулями 9 класс

§ 3. Решение систем с параметром и с модулями

В данном параграфе мы познакомимся со способами решения систем двух линейных уравнений с модулями.

Решите систему уравнений $$ \left\<\begin\left|x-y\right|=5,\\ 3x+2y=10.\end\right.$$

Модуль в уравнении `|x-y|=5` можно «раскрыть», пользуясь определением модуля числа:

$$\left|x-y\right|=\left\<\beginx-y,\;\mathrm<или>\;x-y\geq0,\\y-x,\;\mathrm<или>\;x-y =0` записывается в виде `x-y=5`, а при `x-y =0`, система имеет вид:

Итак, `x=5`, `y=0`, условие `x-y>=0` выполняется. Значит, найденные пары чисел является решением исходной системы.

2 случай. Если `x-y =0`, `y>=0`;

4) `x =0`, `y>=0`, система имеет вид:

Оба полученные значения удовлетворяют заданным условиям: `1,5>=0`, `0>=0`.

2 случай. `x>=0`, `y =0`.

3 случай. `x =0` система имеет вид:

Первое уравнение не имеет решения, так как сводится к равенству `0=6`, значит система не имеет решений.

4 случай. `x -5/2`, то `|y+5/2|=y+5/2`; если `y то `|y+5/2|=-y-5/2`.

Выражение `y-1=0`, если `y=1`.

Если `y>1`, то `|y-1|=y-1`, а если `y =1`, то `|y-1|=y-1` и `|y+5/2|=y+5/2`, получаем уравнение:

Тогда `x=1/3(2*2+5)=3`. Число `2>1`, так что пара `(3;2)` является решением системы.

Пусть теперь `-5/2 хождения `y` получаем уравнение

Число `8/13` больше `(-5/2)`, но меньше, чем `1`, поэтому пара чисел `(27/13;8/13)` является решением системы.

Модули в системах уравнений и неравенств с двумя переменными

Подробней о раскрытии модуля в уравнении, см. §40 справочника для 7 класса, а также пример 2 §14 данного справочника.
Подробней о раскрытии модуля в неравенстве, см. §10 данного справочника.

п.1. Примеры

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(x-1)^2+y^2=1>& \end\right. \)
Проанализируем первый график:
Исходная прямая y = x – 1 превращается в ломаную y = |x – 1|, «отражается» в точке (1; 0) в положительную полуплоскость y > 0.
Далее, ломаная y = |x – 1| опускается на 1 вниз y = |x – 1| – 1.
Наконец, области y = |x – 1| – 1 с отрицательными Y снова отражаются в положительную полуплоскость y > 0.
Второй график – окружность с центром (1; 0), радиусом 1.

Решение – точка A(1; 3) и треугольник BCD, заданный системой трех неравенств:
\( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)

Пример 3. Найдите значения параметра a, при которых система имеет ровно два решения:
\( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
y = x 2 – 5|x| + 4 – парабола y = x 2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4), x > 0, отраженная в отрицательную полуплоскость x 0 является прямая \( \mathrm<2>=\frac<1+4><2>=2,5> \)
Вершина лежит на оси. Ордината вершины: y₀ = 2,5 2 – 5 · 2,5 + 4 = –2,25.
В полуплоскости x –2,25 решений бесконечное множество (отрезки кривой).
Ответ: a = –2,25.

Урок алгебры в 9-м классе (занятие элективного курса) по теме «Решение уравнений и неравенств, содержащих модули»

Презентация к уроку

На занятии изучается методика решения уравнений и неравенств, содержащих модули. Даётся подробная классификация уравнений и неравенств с модулем.

Введение. Определение модуля и его геометрический смысл.

«Модуль» (от лат. modulus-мера) ввёл английский математик Р. Котес (1682–1716). Знак модуля – немецкий математик (в 1841г.) К. Вейерштрасс (1815–1897).

Модуль числа a есть расстояние от нуля до точки a,

Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, соответствующим этим точкам.

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно решить простейшие уравнения и неравенства с модулем. Простейшие уравнения и неравенства удобно решать с помощью равносильных преобразований: возведение в квадрат и т.д.

Изучение нового материала

Учитель даёт систематизацию материала, классификацию уравнений и неравенств с модулем. Показывает презентацию. Таблица №1

Таблица №1 Классификация уравнений и неравенств с модулем