Решение системы уравнений с помощью об

Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) матричным методом (методом обратной матрицы), вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений матричным методом (методом обратной матрицы), вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.

Решить систему линейных уравнений матричным методом

Изменить названия переменных в системе

Заполните систему линейных уравнений:

Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений матричным методом

• В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
• Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа.
• Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
• Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.

Например, линейное уравнение x ₁ — 7 x ₂ — x ₄ = 2

будет вводится в калькулятор следующим образом:

Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений матричным методом

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево», «вправо», «вверх» и «вниз» на клавиатуре.
• Вместо x ₁, x ₂, . вы можете ввести свои названия переменных.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

• Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

• Выражаем из этого уравнения X :

• Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

• Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

• Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1