Решение системы уравнений второй степени 9 класс видео

Урок-практикум по алгебре. 9-й класс. Тема: «Решение систем уравнений второй степени»

Класс: 9

Презентация к уроку

Цели урока (Слайд 1):

• Обучающие: систематизировать знания по данной теме, выработать умение решать системы уравнений, содержащие уравнения второй степени графическим способом, способами подстановки и сложения.
• Развивающие: развивать вычислительную технику, мыслительную активность, логическое мышление, интерес к предмету; способствовать формированию ключевых понятий; выполнение заданий различного уровня сложности.
• Воспитывающие: воспитывать внимательность, аккуратность, умения четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу.

Оборудование: доска, мел, линейка, карточки – задания для индивидуальной работы, наглядность, презентация.

1. Организационный момент.

а) Отметить отсутствующих;
б) объявить тему урока;
в) объявить цели урока.

2. Фронтальный опрос правил и определений по теме урока. В параллели проводится индивидуальная работа (Приложение 1) с учащимися, имеющими слабую мотивацию к учебе.

Какие способы решения систем уравнений с двумя переменными знаете?

(Графический, подстановки, сложения) (Слайд 3).

Рассмотрим графический способ. (Слайд 4)

• Как решается система графическим способом?
  (Необходимо: построить графики уравнения в одной координатной плоскости; найти координаты точек пересечения графиков, которые и будут решением системы.)
• Почему координаты точек пересечения являются решением системы уравнений?
  (Координаты точек пересечения удовлетворяют каждому уравнению системы.)
• Как записывается решение системы уравнений, если она решается графическим способом?
  (Приближенным равенством для значений переменных.)
• От чего зависит количество решений системы уравнений при графическом способе решения?
  (От количества точек пересечения.)
• Сколько точек имеют графики, если система имеет три решения? (Три точки.)

3. Работа с наглядностью. (Слайды 5, 6)

• Сколько точек пересечения имеют графики. (Приложение 2)
• Сколько решений имеет система, если графики изображены на рисунке. (Приложение 2)
• Совместить графики уравнений с формулами, которыми они задаются. (Приложение 3)

4. Самостоятельная работа 1 (слайд 7) с использованием шаблонов координатной плоскости.

Изобразив схематически графики уравнений, укажите количество решений системы.

5. При графическом способе решения мы находим приближенные значения переменных. А как же найти точные значения?

(Решить систему способом подстановки или сложения . )

• Как решить систему способом подстановки? (Слайд 8)
  (Выражают из уравнения одну переменную через другую. Подставляют эту подстановку в другое уравнение. Решают полученное уравнение с одной переменной. Находят соответствующие значение второй переменной, из подстановки).
• Есть ли разница, из какого уравнения системы получить подстановку?
  (Нет. Если в систему входит уравнение 1-ой степени, то подстановку получают из этого уравнения. Если оба уравнения второй степени, то подстановку получают из любого.)
• Как записать решение системы? (Парой чисел.)
• Как решить систему способом сложения? (Слайд 13)

6 . Устная работа. В параллели проводится индивидуальная работа с учащимися средней мотивации к учебе (Приложение 4)

а) Определите степень уравнения (Слайд 9):

б) Выразите одну переменную через другую (слайд 10):

в) Решите систему уравнений (Слайд 11):

г) Определите корни уравнения (Слайд 12):

6. Работа в тетрадях (Слайд 14): № 440 (а), 433(а), 448(а), 443(а), [438].

7. Самостоятельная работа 2. (Слайд 15)

Решите систему уравнений.

8. Подведение итогов. Занести результаты каждого ученика в оценочный лист.

9. Домашнее задание (Слайд 16): п.18–19, с.109–112, № 433 (б), 440(б), 448(б), 443(б).

1. Учебник “Алгебра 9 класс”, авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова, “Просвещение”, 2008.
2. Уроки алгебры в 9 классе, авторы В.И.Жохов, Л.Б.Крайнева, “Вербум-М”, 2000.
3. Дидактические материалы по алгебре 9 класс, авторы В.И.Жохов и др., “Просвещение”, 2009.
4. Открытый банк задач по ГИА.

Основные методы решения систем повышенной сложности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим изучение всех трех основных методов решения систем уравнений и их комбинаций на примере решения систем повышенной сложности. А также рассмотрим некоторые специфические приемы для упрощения различных типов систем.

Решение системы уравнений второй степени 9 класс видео

Система уравнений второй степени. Способы решения

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

1) в уравнении первой степени одну переменную выражают через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, благодаря чему получается уравнение с одной переменной;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Пример : Решим систему уравнений

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В ней выражаем переменную x через y:

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:

Раскрываем скобки и упрощаем:

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
х – 0,25 = 1
х = 1 + 0,25
х₁ = 1,25.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример : Решим систему уравнений

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

Итак, у нас есть первые ответы:

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

Таким образом, исходная система уравнений решена.

1 1
(–3 — ; –1 — ), (3; 1), (2,5; –0,5), (–2; 1).
2 6

2. Решение способом сложения.

Пример 2 : Решим систему уравнений

Второе уравнение умножим на 3:

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

Приравняем уравнение к нулю:

Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x₁ = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример . Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у 2 + х = 29

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у 2 + 9 – у = 29
у 2 – у – 20 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
х = 9 – 5
х₁ = 4

2) х – 4 = 9
х = 9 + 4
х₂ = 13