Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа

Метод характеристик при решение задачи коши для уравнений гиперболического типа

Стерлитамакский филиал Башкирский государственный университет

NovaInfo58, с. 11-15
Опубликовано 25 января 2017
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 78
CC BY-NC

Аннотация

В статье рассматривается решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа. Продемонстрировано решение данного уравнения методом характеристик.

Ключевые слова

Текст научной работы

Многие задачи физики, в частности механики, приводят к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Так, например, при изучении различных видов волн: звуковых, электромагнитных и других колебательных явлений приходят к волновому уравнению

где u=u(x,y,z,t), a — скорость распространения волны в данной среде. В одномерном случае это уравнение примет вид

которое является уравнением вынужденных колебаний однородной струны [1, 12].

В одномерном случае рассмотрим уравнение струны [2, 26]:

Задача Коши: Найти решение u(x,y) данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

Задача Коши для уравнения струны является математической моделью физической задачи о колебаниях настолько большой струны, что влияние ее концов уже не сказывается на колебаниях других точек струны. По этой причине в этой задаче отсутствуют граничные условия.

Приведем уравнение (1) к каноническому виду. Для этого составим уравнение характеристик

где A=0, 2B=e y , C=-1. Вычислим D=B^2-AC=\frac><4>>0

. Следовательно, уравнение (1) является уравнением гиперболического типа.

Подставляя в уравнение характеристик наши значения, получим:

Смешанная задача для уравнения параболо- гиперболического типа третьего порядка с производными второго порядка в граничных условиях Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Балкизов Ж.А.

В работе исследована смешанная задача с производными второго порядка в граничных условиях для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором Бицадзе-Лыкова в области гиперболичности. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения исследуемой задачи. Для доказательства единственности решения применяется метод Трикоми. Решение выписано в явном виде.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Балкизов Ж.А.

A mixed problem with second-order derivatives in the boundary conditions for the third-order parabolichyperbolic equation with the Bitsadze-Lykov operator in the hyperbolicity region is investigated. Theorems on the existence and uniqueness of the solution of the problem are proved. The Tricomi method is used to prove the uniqueness of the solution. The solution is written out in an explicit form.

Текст научной работы на тему «Смешанная задача для уравнения параболо- гиперболического типа третьего порядка с производными второго порядка в граничных условиях»

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ПРОИЗВОДНЫМИ

ВТОРОГО ПОРЯДКА В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

MIXED PROBLEM FOR EQUATION OF PARABOLIC-HYPERBOLIC TYPE OF THE THIRD ORDER DERIVATIVE TO SECOND ORDER IN BOUNDARY

Ж.А. Балкизов Zh.A. Balkizov

Институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН, Россия, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а

Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkar Scientific Centre of the RAS, 89a

ShortanovaSt, Nalchik, 360000, Russia

В работе исследована смешанная задача с производными второго порядка в граничных условиях для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором Бицадзе-Лыкова в области гиперболичности. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения исследуемой задачи. Для доказательства единственности решения применяется метод Трикоми. Решение выписано в явном виде.

A mixed problem with second-order derivatives in the boundary conditions for the third-order parabolic-hyperbolic equation with the Bitsadze-Lykov operator in the hyperbolicity region is investigated. Theorems on the existence and uniqueness of the solution of the problem are proved. The Tricomi method is used to prove the uniqueness of the solution. The solution is written out in an explicit form.

Ключевые слова: Вырождающееся гиперболическое уравнение, задача Коши, уравнение третьего с кратными характеристиками, смешанная задача, оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля.

Keywords: Degenerate hyperbolic equation, Cauchy problem, third equation with multiple characteristics, mixed problem, fractional integration-differentiation operator in the sense of Riemann-Liouville.

В конечной односвязной области Q евклидовой плоскости точек (x, y) рассмотрим уравнение

0 \У’Uxx — uyy + aux, У 0

где u = u(x, y) — искомая функция, a, b = const — заданные числа, причем |a| 0 область Q ограничена прямоугольником с вершинами в точках A = (0,0) , A0 = (0,h), B0 = (r,h), A = (r,0) (h, r = const, h > 0, r > 0), а при y обозначим ее параболическую

часть; Q = Q1 uQ2 u J .

Уравнение (1) при y 0 уравнение (1) является уравнением третьего порядка с кратными характеристиками [5]

uxxx — uy + bux = (3)

Уравнение (2) в работах [4], [3] было рассмотрено как пример вырождающегося гиперболического уравнения, для которого при |a| 0.

а из соотношения (15) вытекает равенство: У = 0 .

Справедливость леммы 1 вытекает из свойства положительности оператора Бсхф() дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегродифференцирования порядка 5 е [0,1[, которое формулируется следующим образом [12]:

Лемма 2. Для любого 5 е [0,1[ и любой функции ф = ф(х) е АЦ [а, Ъ], где лЦ [а, Ъ] — это множество всех функций ф(х), имеющих абсолютно непрерывный на сегменте [а, Ъ] дробный интеграл порядка 1 -5, который обращается в нуль при х = а, скалярное произведение

(ф, Б5схф(г))0 = |ф(х)Бсф)йх > 0,

причем (ф, Б^ф^))0 = 0 тогда и только тогда, когда ф(х)= 0 .

Далее, переходя в уравнении (1) к пределу при у ^+0, с учетом условий (4), найдем фундаментальное соотношение между функциями т(х) и у(х), принесенное из параболической части О2 области О на линию у = 0 :

у(х)=т»‘(х) + Ъ Т (х), 0 0>. В области О2е рассмотрим тождество:

2(иL^lo)0 = I¿■и^^^рУ’Зх’Зу = |2и[оххх -оу + ъох -ии\дхйу =

= | ! —[2иихх-и2 + Ъи2 -—и2 \йхёу — 2и ¡и2 йхйу = 0.

Применяя к равенству (25) формулу Грина, получим

где Ге — это граница области О2е . Переходя в равенстве (26) к пределу при е ^ 0, с учетом однородных начально-краевых условий (24), приходим к равенству:

2 (и, Lиv)=\[2a(y) — Ъ]и2 (0, у )Оу +1 [Ъ — 2 в(у )]и2 (г, у )Оу —

-|и2 (х, к)йх -1 и% (г, у)йу — 2 и ¡и2 (х, у)йхйу = 0. (27)

Выбирая положительное значение параметра и , и, пользуясь условием (6) теоремы 1, замечаем, что левая часть равенства (27) становится строго отрицательной, что невозможно, если и(х, у0 хотя бы в одной точке области О2. Тогда согласно (22) и(х, у) = 0 всюду в О2 .

Теорема о существовании решения задачи 1 Теорема 2. При условиях (6), (7) решение задачи 1 существует. Действительно, из соотношений (13) и (17) при |а| Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

г'» (х)+Ьт'(х )=- х1/2Щ(х/2), решение которого, в зависимости от знака числа Ь выписывается по формуле:

^л/Ь 93 (0) Бт 4Ьх -1 [1 — ео^л/Ь(х — — )]—1/2 Щ (— / 2)Л— I, Ь > 0 ;

т(х) = ^(о)+ф3(о)x + Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.