Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности

Метод Фурье для уравнения теплопроводности

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Займемся решением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности: найти решение и(х, t) уравнения удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям Начнем с простейшей задачи: найти решение u(x,t) однородного уравнения удовлетворяющее начальному условию и нулевым (однородным) граничным условиям Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Будем искать нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие граничным условиям (6), в виде Псдстаапя в форме (7) в уравнение (4), получим или откуда имеем два обыжювенных дифференциальных уравнения Чтобы получить нетривиальные решения и(х, *) вида (7), удовлетворяющие граничным условиям (6), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (10), удовлетворяющие граничным условиям.

Таким образом, для определения фунмдои Х(х) мы приходим к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи Эта задача была рассмотрена в предыдущей главе. Там было показано, что только при существуют нетривиальные решения При А = А„ общее решение уравнения (9) имеет вид удовлетворяют уравнению (4) и граничным условиям (6). Образуем формальный ряд.

Потребовав, чтобы функция и(х> t), определяемая формулой (12), удовлетворяла начальному условию , получим Ряд (13) представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в интервале (О, I). Коэффициенты а„ разложения определяются по известным формулам Метод Фурье для уравнения теплопроводности Предположим, что Тогдаряд (13) с коэффициентами, определяемыми по формулам (14), будет сходиться к функции абсолютно и равномерно.

Так как при то ряд при также сходится абсолютно и равномерно.

Поэтому функция и(х, t) — сумма ряда (12) — непрерывна в области и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Остается показать, что функция и(х, t) удовлетворяет уравнению (4) в области 0. Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (12) почленным дифференцированием по t один раз и почленным дифференцированием по х два раза, также абсолютно и равномерно сходятся при.

Но это следует из того, что при любом t > 0 если п достаточно велико. Единственность решения задачи (4)-(6) и непрерывная зависимость решения от начальной функции были уже установлены ранее. Таким образом, для t > 0 задача (4)-(6) поставлена корректно; напротив, для отрицательных t зада ча эта некорректна. Замечание.

В отличие отдомового уравнения уравнение неомметрично огноситн о времени t: если заменить t на -t, то получаем уравнение другого вида описывает необратимые процессы: Мы можем предсказать, каким станет данное и через промежуток времени данной t, но мы не можем с уверенностью сказать, какн м было это и за время t до рассматриваемого момента. Это раолич иемежду предсказание м и предысторией типично для параболического ура внения и не имеет места, например, для волнового уравн сния; в случае последнего заглянуть в прошлое так же легко, как и в будущее.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример:

Найти распределение температуры в однородном стерве длины ж, если начальная температура стержня и на концах стержня поддерживается нулевая температура. 4 Задача сводится к решению уравнения при начальном условии и граничных условиях Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (15), удовлетворяющие граничным условиям (17), в виде Подставляя u(x,t) в форме (18) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим откуда Собственные значения задачи . собственные функции Хп(х) = мп пх.

При А = А„ общее решение уравнения (19) имеет вид Tn(t) = апе а п\ так что Решение задачи (15)—(17) ищем в виде ряда Потребовав выполнения начального условия (16), получим откуда . Поэтому решением исходной задачи будет фунхция 2. Рассмотрим теперь следующую задачу: найти решение гх(ж, t) неоднородного уравнения _ удовДстворя ющее начальному условию и однородным граничным услови м Предположим, что функци / непрерывна, имеет непрерывную производ-ную и при всех t > 0 выполняется условие .

Решение задач:

Решение задачи (1)-(3) будем искать в виде где определим как решение задачи а функци — как решение задачи Задача (8)—(10) рассмотрена в п. 1. Будем искать решение v(x, t) задачи (5)-(7) в виде ряда по собстве нным функциям < краевой задачи . Подсгааяяя t) в виде в уравнение (5), получим Разложим функцию /ОМ) в ряд Фурье по синусам, где Сравнивая два разложения (12) и (13) функции /(х, t) в ряд Фурье, получаем ! Пользуясь начальным условием для v(x, t).

Находим, что Решения уравнений (15) при начальных условиях (16) имеют вид: Подставляя найденные выражения для Tn(t) в ряд (11), получим решение Функция будет решением исходной задачи (1)-(3). 3. Рассмотрим задачу: найти в области решение уравнения при начальном условии и неоднородных граничных условиях Непосредственно метод Фурье неприменим из-за неоднородности условий (20).

Введем новую неизвестную функцию v(x, t), положив где Тогда решение задачи (18)—(20) сведется к решению задачи (1)-(3), рассмотренной в п. 2, для функции v(x, J). Упражнения 1. Задан бесконечный однородный стержень. Покажи те, что если начальная температура то влобой момент температура стержня 2. Ко|рцы стержня длиной ж поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 3.

Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура стержня определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 4. Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальное распределение температуры Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. Ответы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Уравнение теплопроводности

Ранее (см. разд. 2.1.2, 2.1.3) уже были построены и исследованы разностные схемы решения смешанной задачи для одномерного уравнения теплопроводности:

(2.75)

Были получены две двухслойные схемы — явная (2.3) и неявная (2.4). В явной схеме значения сеточной функции на верхнем (j + 1)-ом слое вычисляли с помощью решения на нижнем слое [соотношение (2.13)]. Для нахождения решения на (j + 1)-м слое по неявной схеме была получена трехдиагональная система линейных алгебраических уравнений (2.22), которую решают методом прогонки.

Неявная схема безусловно устойчива, явная схема устойчива при выполнении условия

Обе схемы сходятся к решению исходной задачи со скоростью .

Схемы (2.3), (2.4) построены для случая, когда значения искомой функции (температуры) Uна границах х = 0, х = 1определяются заданными функциями . Однако граничные условия в смешанной задаче (2.75) могут быть и иными, в них может входить производная искомой функции. Например, если конец стержня х=0 теплоизолирован, то условие имеет вид

В этом случае, как и при решении волнового уравнения, данное условие нужно записывать в схемах (2.3), (2.4) в разностном виде.

Перейдем теперь к построению разностных схем для уравнения теплопроводности с двумя пространственными переменными. Примем для простоты а = 1. Тогда это уравнение можно записать в виде

(2.76)

Пусть при t=0 начальное условие задано в виде

(2.77)

В отличие от волнового уравнения, требующего два начальных условия, в уравнение теплопроводности входит только первая производная по t, и необходимо задавать одно начальное условие.

Часто задачи теплопроводности или диффузии, описываемые двумерным уравнением (2.76), решаются в ограниченной области. Тогда, кроме начального условия (2.77), нужно формулировать граничные условия. В частности, если расчетная область представляет прямоугольный параллелепипед (рис. 2.24), то нужно задавать граничные условия на его боковых гранях. Начальное условие (2.77) задано на нижнем основании параллелепипеда.

Рис. 2.24. Расчетная область

Введем простейшую сетку с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов, для чего проведем три семейства плоскостей: хi= ih1(i=0,1. I), (j=0,1. J), . Значение сеточной функции в узлах обозначим символом . С помощью этих значений можно построить разностные схемы для уравнения (2.76).

Рассмотренные выше схемы для одномерного уравнения легко обобщаются на двумерный случай.

Построим явную разностную схему, шаблон которой изображен на рис. 2.25. Аппроксимируя производные отношениями конечных разностей, получаем следующее сеточное уравнение:

Рис. 2.25. Шаблон двумерной схемы

Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на (k + 1)-ом слое:

(2.78)

Условие устойчивости имеет вид

(2.79)

При получается особенно простой вид схемы (2.78):

(2.80)

Полученная схема сходится со скоростью

Формулы (2.78) или (2.80) представляют собой рекуррентные соотношения для последовательного вычисления сеточной функции во внутренних узлах слоев k = 1,2. К. На нулевом слое используется начальное условие (2.77), которое записывается в виде

(2.81)

Значения в граничных узлах вычисляют с помощью граничных условий.

Алгоритм решения смешанной задачи для двумерного уравнения теплопроводности изображен на рис. 2.26. Здесь решение хранится на двух слоях: нижнем (массив ) и верхнем (массив ). Блоки граничных условий необходимо сформировать в зависимости от конкретного вида этих условий. Результаты выводят на каждом слое, хотя можно ввести шаг выдачи (см. рис. 2.13).

Рис. 2.26. Алгоритм решения двумерного уравнения теплопроводности

Построим теперь абсолютно устойчивую неявную схему для решения уравнения (2.76), аналогичную схеме (2.4) для одномерного уравнения теплопроводности. Аппроксимируя в (2.76) вторые производные по пространственным переменным на (k + 1)-ом слое, получаем следующее разностное уравнение:

(2.82)

Это уравнение можно записать в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции на каждом слое:

(2.83)

К этой системе уравнений нужно добавить граничные условия для определения значений сеточной функции в граничных узлах (т.е. при i= 0, I; j = 0, J). На нулевом слое решение находится из начального условия (2.77), представленного в виде (2.81).

Система (2.83), полученная для двумерного уравнения теплопроводности, имеет более сложный вид, чем аналогичная система (2.22) для одномерного случая, которую можно решить методом прогонки. Таким образом, распространение неявной схемы на многомерный случай приводит к значительному усложнению вычислительного алгоритма и увеличению объема вычислений.

Недостатком явной схемы (2.78) является жесткое ограничение на шаг по времени τ, вытекающее из условия (2.79). Существуют абсолютно устойчивые экономичные разностные схемы, позволяющие вести расчет со сравнительно большим значением шага по времени и требующие меньшего объема вычислений. Две из них будут рассмотрены в разд. 2.3.3.