Решение текстовых задач при помощи систем уравнений

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

1. Обучение составлению системы уравнений по условию задачи.
2. Повышение интереса к решению текстовых задач.

Ход урока

I. Устный счет (8 мин)

Является ли решением уравнения х+2у=5 пара чисел: а) (0;1) б) (3;-1) в) (-1;3)

1. Является ли решением системы уравнений ,

пара чисел: а) х=1, у=6 б)х=3, у=2

2. Решите систему уравнений:

3. Определите степень уравнения:

• А) х-у-1,2=0
• Б)
• В)
• Г)

II. Изучение нового материала (10 мин)

При решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений.

Решить задачу двумя способами: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого».

1 способ— с помощью одной переменной.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет – х+7 см. Используя теорему Пифагора, составим уравнение:

корень х=-12 не удовлетворяет условию х>0.

Один катет равен 5 см, второй 12 см

2 способ— с помощью введения двух переменных.

Пусть первый катет х см, второй катет у см (х>0, у>0)

,

,

,

у1=5, у2=-12 (не удовл. условию)

если у=5, то х=7+5=12

один катет равен 5 см, второй катет 12 см

Ответ: 12 см, 5 см

III. Закрепление нового материала (10 мин)

Решение задач:

1. Прямоугольный газон обнесён изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найдите длины сторон газона?

Решение: пусть х м –длина газона, у-ширина газона.

,

,

Ответ: 7 см, 8 см

2. Двое рабочих совместно могут выполнить заданную работу за 12 дней. Если первый рабочий сделает половину работы, а затем второй – вторую половину, то вся работа будет закончена за 25 дней нужно каждому из рабочих в отдельности для выполнения работы?

Решение: пусть для выполнения всей работы первому рабочему потребуется х дней, а второму у дней, тогда за 1 день первый выполняет 1/х часть, а второй 1/у часть всей работы. Работая совместно, всю работу они выполняют за 12 дней.

Таким образом 12(1/х+1/у)=1.

Пусть теперь работа выполняется рабочими поочередно. Тогда для выполнения половины всей работы первому потребуется 1/2:1/х=х/2 дней, а второму 1/2: 1/у=у/2 дней.

,

,

,

,

,

Одному рабочему для выполнения всей работы требуется 20 дней, а другому 30 дней.

Ответ: 20 дней, 30 дней

Решаем по учебнику: №455, №457 (15 мин)

IV. Итог урока.

Домашнее задание: №456, №458, №460 (2 мин)

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <\left\< \begin P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3b+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 18 \\ b = 6 \end \right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <\left\< \begin 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end \right.> (-) \Rightarrow <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end \right.>$$

$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 17x = 11900 \\ y = x-185 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 700 \\ y = 515 \end \right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 350 \\ y = 280 \end \right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <\left\< \begin 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x+3y = 170 |\times \frac<2,4> <5>\\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <\left\< \begin x+ \frac<1> <2>y = 44 | \times 2 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2x+y = 88 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 1\frac<5> <6>x = 44 \\ y = 88-2x \end \right.> \Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ \frac = \frac<0,5> <2>= 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = \frac<2s> = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

«Использование систем уравнений при решении текстовых задач» (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: «Использование систем уравнений при решении текстовых задач»

Научиться использовать системы уравнений при решении текстовых задач.

Образовательная: повторить понятия уравнения первой и второй степени с двумя переменными; закрепить на практике решение систем уравнений; составить алгоритм решения текстовых задач.

Воспитательная: воспитать познавательный интерес к математике, настойчивость, целеустремленность в учебе;

Развивающая: развить познавательные навыки обучающихся, критическое и творческое мышление.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Организационный момент (2 минуты);

Актуализация знаний (6 минут);

Проверка домашнего задания (3 минуты);

Изучение нового материала (10 минут);

Физкультминутка (2 минуты);

Решение заданий по данной теме (18 минут);

Рефлексия (3 минуты);

Домашнее задание (1 минута).

Организационный момент : приветствие; проверка готовности класса и учащихся к уроку; проверка отсутствующих.

Учитель: сегодня мы научимся решать текстовые задачи с помощь систем уравнений с двумя переменными.

Учитель: давайте вспомним материал предыдущих уроков.

Что называется уравнением с двумя переменными ? (Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными).

Что называется решением системы ? (Упорядоченная пара значений переменных, которые одновременно обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство, называется решением системы).

Что называется линейным уравнением с двумя переменными ? (Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

где числа, переменные).

Что называется уравнением второй степени с двумя переменными ? (Уравнением второй степени с двумя переменными х и у называется уравнение вида

где хотя бы один из коэффициентов а , b , c не равен нулю).

Проверка домашнего задания :

Решите системы уравнений .

Решим второе уравнение системы:

)кого видарое уравнение. Получим систему, равносильную данной:о второе уравнение.

Подставив уравнение (1), получим:

Подставим найденное значение в уравнение (1), получим:

Подставим найденное значение в уравнение (1), получим:

Изучение нового материала .

Рассмотрим на конкретных примерах, как можно использовать системы уравнений при решении текстовых задач.

Сумма двух целых чисел равна 79, а их произведение равно 1254. Найти эти числа.

Пусть одно из чисел, а другое. Тогда по условию задачи составим систему уравнений

Решим эту систему:

Решим уравнение (2):

Из уравнения (1) получим соответственно:

Степа и Настя, готовясь к олимпиаде по математике, еженедельно обменивались информацией о числе решенных задач из сборника. В первую неделю выяснилось, что Настя решила на 24 задачи больше, чем Степа. В следующую неделю, после того как каждый решил еще по 19 задач, оказалось, что Степа решил в два раза меньше задач, чем Настя. Сколько задач решил каждый?

Пусть Степа решил в первую неделю задач, а Настя – задач. Согласно условию За две недели Степа решил задач, а Настя задач. По условию Таким образом, составим и решим систему уравнений:

Степа решил всего задач, т. е. 5 + 19 = 24, а Настя решила всего задач, т. е. 29 + 19 = 48.

Ответ: 24 задачи; 48 задач.

«Черепаха»: наклоны головы вперед-назад.

«Маятник»: наклоны головы влево-вправо.

«Собачка»: вращение головы вокруг воображаемой оси, проходящей через нос и затылок.

«Сова»: поворот головы вправо-влево.

«Весы»: левое плечо вверх, правое вниз. Поменять положение рук.

«Тянемся-потянемся»: руки вверх, вытягиваем позвоночник.

Решение заданий по данной теме .

По скольку окуней поймали Володя и Андрей, если известно, что разность между количеством Володиных и Андреевых окуней равна 3, а произведение этих чисел равно 54?

Пусть количество окуней, которых поймал Володя, а количество окуней, которых поймал Андрей. По условию задачи составим систему уравнений:

Решим эту систему:

Решим уравнение (2):

Подставим найденные значения в уравнение (1), получим:

Сколько записок Ярослав написал Даше и сколько раз Даша написала ответы, если известно, что разность этих чисел равна 64, а их частное равно 17, причем Даша написала меньше записок, чем Ярослав?

Пусть записки, которые Ярослав написал Даше, а записки, которые Даша написала Ярославу. По условию задачи составим систему уравнений:

Решим эту систему:

Решим уравнение (2):

Подставим найденное значение в уравнение (1):

Нам вдвоем 63 года. Сейчас я на 3 года старше, чем был тогда, когда мне было столько, сколько тебе теперь. Сколько лет сейчас каждому из нас?

Пусть возраст первого, а возраст второго. По условию задачи составим систему уравнений:

Решим эту систему:

Рассмотрим уравнение (1):

Подставим найденное значение в уравнение (2), получим:

В карьере работают самосвалы двух грузоподъемностей. Три самосвала одной грузоподъемности и два – другой за один раз перевозят 55 т груза, а пять самосвалов одного типа и семь – другого за один раз перевозят 110 т груза. Найдите грузоподъемности самосвалов.

Пусть самосвал одной грузоподъемности, а другой. По условию задачи составим систему уравнений:

Решим эту систему:

Рассмотрим уравнение (2):

Подставим найденное значение в уравнение (1), получим:

Давайте сейчас подведем итоги урока:

Какие трудности возникли на уроке?

Что для вас было легко?

С чего начинается решение задачи с использованием системы уравнений?

№ 3.74 (2); 3.78 (2), п.3.8.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 578 437 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 25.04.2020
• 145
• 1

• 25.04.2020
• 119
• 0

• 25.04.2020
• 134
• 0

• 25.04.2020
• 233
• 7

• 25.04.2020
• 246
• 6

• 25.04.2020
• 537
• 15

• 25.04.2020
• 85
• 0

• 24.04.2020
• 427
• 22

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 25.04.2020 312
• DOCX 30.9 кбайт
• 0 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Кумища Диана Станиславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 7212
• Всего материалов: 24

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.