Тождественные преобразования
Что такое тождественные преобразования
Тождество — это равенство, выполняемое на всем множестве значений переменных, которые в него включены.
К примеру, тождествами являются, в том числе, квадратные выражения:
a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b )
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
В рассмотренных выражениях любые значения a и b обращают их в верные равенства, что полезно знать при решении примеров.
Тождественно равными выражениями называют такие два выражения, которые обладают равными значениями при всех значениях переменных.
Данное равенство существует только в том случае, когда:
Рассматриваемое равенство не является тождеством, а представляет собой уравнение. Для обозначения тождественного равенства принято использовать символ тройного равенства: ≡ .
Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является верным при любом из значений переменных. Уравнение же верно лишь в том случае, когда имеется одно или несколько значений переменных.
Это уравнение верное только, когда ответ соответствует х = 10 .
В этом случае тождество не включает в себя переменные.
Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями
Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) представляет собой замену одних выражений на другие, которые тождественно равны между собой.
Данное объяснение преобразований позволяет значительно упростить решение задач. К примеру, для этого используют законы сокращенного умножения, арифметические свойства и другие тождества.
Рассмотрим конкретный пример:
Выполним работу по тождественным преобразованиям этой дроби:
x 3 – x x 2 – x = x ( x 2 – 1 ) x – 1 = x ( x – 1 ) ( x + 1 ) x ( x – 1 ) = x + 1
x 3 – x x 2 – x = x + 1
В результате получили тождество, которое существует, если х ≠ 0 и х ≠ 1 . То есть необходимо исключить недопустимые значения, так как знаменатель слева не должен принимать нулевые значения:
Доказательство тождеств
В процессе доказательства тождества необходимо выполнить ряд действий:
- тождественно преобразовать обе или только одну часть равенства;
- получить в обеих частях идентичные алгебраические выражения.
В качестве самостоятельного примера для тренировки докажем следующее тождество:
x 3 – x x 2 – x = x 2 + x x
В первую очередь избавимся от х , записав его за скобками:
x ( x 2 – 1 ) x ( x – 1 ) = x ( x + 1 ) x
Заметим, что можно сократить х :
x 2 – 1 x – 1 = x + 1
( x – 1 ) ( x + 1 ) x – 1 = x + 1
Выполним сокращение на х — 1 :
Заключим, что рассмотренное равенство является тождеством, если х ≠ 0 и х ≠ 1
Когда требуется доказать, что равенство не относится к тождеству, следует определить одно допустимое значение переменной, при котором полученные числовые выражения обращаются в неравные друг другу. К примеру:
x 2 – x x = x 2 + x x → x ≠ 0
Упростим вычисления с помощью сокращения х :
Выполним подстановку какого-то числа вместо х , например, числа 5:
Данное равенство не является тождеством.
Примеры тождеств
Изучить тождества на практике можно с помощью решения задач на различные тождественные преобразования алгебраических выражений. Ключевой целью таких действий является замена начального выражения на выражение, которое ему тождественно равно.
От перестановки местами слагаемых сумма не меняется:
От перестановки местами сомножителей произведение не меняется:
Согласно данным правилам, можно записать примеры тождественных выражений:
128 × 32 = 32 × 128
При наличии в сумме более двух слагаемых допускается группировать их путем заключения в скобки. Также можно предварительно переставлять эти слагаемые местами:
a + b + c + d = ( a + c ) + ( b + d )
Аналогичным способом группируют сомножители в произведении:
a × b × c × d = ( a × d ) × ( b × c )
Приведем примеры таких тождественных преобразований:
15 + 6 + 5 + 4 = ( 15 + 5 ) + ( 6 + 4 )
6 × 8 × 11 × 4 = ( 6 × 4 × 8 ) × 11
При увеличении или уменьшении обеих частей тождества на одинаковое число, данное тождество остается верным:
( a + b ) ± e = ( c + d ) ± e
Равенство сохраняется также при умножении или делении обеих частей этого равенства на одно и то же число:
( a + b ) × e = ( c + d ) × e
( a + b ) ÷ e = ( c + d ) ÷ e
Запишем несколько примеров:
35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ ( 35 + 10 ) + 4 = ( 9 + 16 + 20 ) + 4
42 + 14 = 7 × 8 ⇒ ( 42 + 14 ) × 12 = ( 7 × 8 ) × 12
Какую-либо разность допускается записывать, как сумму слагаемых:
Аналогичным способом можно выполнить замену частного на произведение:
Рассмотрим примеры тождественных преобразований:
76 – 15 – 29 = 76 + ( — 15 ) + ( — 29 )
42 ÷ 3 = 42 × 3 — 1
Заменить математическое выражение на более простое можно с помощью арифметических действий:
Преобразования следует выполнять с соблюдением алгоритма:
- В первую очередь выполняют возведение в степень, извлекают корни, вычисляют логарифмы, тригонометрические и прочие функции.
- Далее можно приступать к действиям с выражениями, заключенными в скобки.
- На последнем этапе, начиная с левой стороны, двигаясь вправо, выполняют действия, которые остались. При этом умножение и деление являются приоритетными, выполняются в первую очередь. Затем можно приступить к сложению и вычитанию. Данное правило распространяется и на выражения, записанные в скобках.
Пример 7
14 + 6 × ( 35 – 16 × 2 ) + 11 × 3 = 14 + 18 + 33 = 65
20 ÷ 4 + 2 × ( 25 × 3 – 15 ) – 9 + 2 × 8 = 5 + 120 – 9 + 16 = 132
В арифметических выражениях можно избавляться от скобок при необходимости. Исходя из знаков в выражении, определяются правила, согласно которым раскрывают скобки.
Рассмотрим несколько примеров преобразований с помощью раскрытия скобок:
117 + ( 90 – 74 – 38 ) = 117 + 90 – 74 – 38
1040 – ( — 218 – 409 + 192 ) = 1040 + 218 + 409 – 192
22 × ( 8 + 14 ) = 22 × 8 + 22 × 14
18 ÷ ( 4 – 6 ) = 18 ÷ 4 – 18 ÷ 6
Другим распространенным действием при упрощении выражений, содержащих скобки, является вынесение за них общего множителя. В результате в скобках остаются слагаемые, поделенные на вынесенный множитель. Данный способ преобразования можно применять в выражениях, которые содержат буквенные переменные.
3 × 5 + 5 × 6 = 5 × ( 3 + 6 )
28 + 56 – 77 = 7 × ( 4 + 8 – 11 )
31 x + 50 x = x × ( 31 + 50 )
В процессе тождественных преобразований часто применяют формулы для сокращенного выражения.
Примеры тождественных преобразований:
( 31 + 4 ) 2 = 31 2 + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4 2 = 1225
Решение тождественных уравнений примеры решений
Пример 5. Решите уравнение 3у + у 2 = у.
Решение:
3у + у 2 = у – неполное квадратное уравнение; у 2 + 3у – у = 0;
у 2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.
x 2 – 5х = – 6 или х 2 – 5х = 36;
х 2 – 5х + 6 = 0 или х 2 – 5х – 36 =0.
По теореме Виета:
х1 = 2, х2 = 3, х3 = – 4, х4 =9.
Ответ: – 4, 2, 3, 9.
Тождество
Тема урока: § 4. Тождество.
Тождественные выражения
Сравним значения выражений \( 2x+3x^<2>\) и \( 5x^<3>\) при некоторых значениях переменной \( x.\) При \( x=2\) значение первого выражения \( 16,\) а второго \( 40.\) Числа \( 16\) и \( 40\) — соответственные значения выражений: \( 2x+3x^<2>\) и \( 5x^<3>.\) Некоторые пары соответственных значений этих выражений показаны в таблице:
$$\textcolor<#ed5fa6> | $$-0,4$$ | $$-0,1$$ | $$ \ \ 0 \ \ $$ | $$0,1$$ | $$ \ \ 1 \ \ $$ |
$$2x+3x^<2>$$ | $$-0,32$$ | $$-0,17$$ | $$0$$ | $$0,23$$ | $$5$$ |
$$5x^<3>$$ | $$-0,32$$ | $$-0,005$$ | $$0$$ | $$0,005$$ | $$5$$ |
Легко заметить, что не при всех значениях переменной \( x\) значения выражений \( 2x+3x^<2>\) и \( 5x^<3>\) равны, а значит нельзя сказать, что выражения тождественно равны.
Что такое тождество?
Выражения \( x+5\) и \( 5+x\) тождественно равны, поэтому равенство \( x+5=5+x\) верно при любых значениях \( x.\) Такое равенство называют тождеством.
Определение:
Тождеством называется такое равенство двух выражений, которое верно при любых значениях переменных.
Примеры тождеств
Верное числовое равенство также называют тождеством.
Тождественные преобразования выражений
Рассмотрим выражения \( x(y+7)\) и \( xy+7x.\) Вычислим их значения при \( x=9\) и \( y=-2\)
Мы видим что при \( x=9\) и \( y=-2\) соответственные значения выражений \( x(y+7)\) и \( xy+7x\) равны. Из распределительного и переместительного свойств умножения следует, что соответственные значения этих выражений равны при любых значениях переменных. О таких выражениях говорят, что они тождественно равны.
При решении уравнений, вычислении значений выражений и ряде других случаев одни выражения заменяют другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами. Мы уже встречались с тождественными преобразованиями выражений. К ним относятся, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок.
Пример 1. Приведем подобные слагаемые в сумме \(5x+2x-3x.\)
Чтобы привести подобные слагаемые, надо, как известно, сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Имеем: $$5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x$$ Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения.
Пример 2. Раскроем скобки выражения \(2a+(b-3c).\)
Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “плюс”: если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.
Получим: $$2a+(b-3c)=2a+b-3c$$ Проведенное преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.
Пример 3. Раскроем скобки в выражении \(a-(4b-c).\)
Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “минус”: если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.
Выполненное преобразование также основано на свойствах действий над числами. Действительно, представим данное выражение в виде суммы: $$a-(4b-c)=a+(-1)\cdot(4b-c)$$ Применим распределительное и сочетательное свойства умножения:
Доказательство тождеств
Если в выражении \(\textcolor<#ed5fa6><5(b-c)-3c>\) раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые, то получится тождественно равное ему выражение \(\textcolor<#ed5fa6><5b-8c.>\)
верно при любых значениях переменных. Такие равенства называют тождественными.
Свойства действий над числами также являются тождествами, приведем некоторые из них:
Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.
Докажем, например, тождество $$\tag <1>7(2+b)-(14-b)=8b$$ Преобразуем левую часть равенства \((1):\)
\[\small\begin
Для доказательства тождества иногда преобразуют каждую его часть. Докажем, например, тождество $$\tag <2>d(c-a)+ab=a(b-d)+cd$$ Выполним преобразования: \[\small\begin
Левая и правая части равенства \((2)\) тождественно равны одному и тому же выражению. Поэтому они тождественно равны между собой. Значит, равенство \((2)\) — тождество.
Не всякое равенство есть тождество. Так, равенство \(x+2=2x\) не является тождеством. Действительно, если бы это равенство было тождеством, то оно было бы верным при всех значениях \(x.\) Однако, например, при \(x=1\) это равенство не является верным. Значит, оно не является тождеством.
Задачи для самостоятельного решения
№1. Являются ли выражения тождественно равными:
Первые два выражения тождественно равны. Т.е. равны при любых значениях переменной \(\footnotesize c. \)
Вторая пара является тождеством, можно понять с помощью сочетательного закона сложения: $$a+(b+c)=(a+b)+c$$
Тождество, т.к. \(\footnotesize -2a+2a=2a-2a=0 \)
Тождество, т.к. \(\footnotesize (x-x)a=0\cdot a=0 \)
Пятая пара выражений не будет являться тождеством. Предположим обратное:
Видно что равенство верно при \(\footnotesize x=y,\) но если \(\footnotesize x\) и \(\footnotesize y\) отличны друг от друга, то равенства достигаться не будет.
Тождество. Рассмотрим первое выражение
Видно, что первое выражение в точности является вторым.
№2. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное
свойства умножения:
http://www.sites.google.com/a/ssga.ru/ssga4school/matematika/tema-3
http://reshu.su/algebra/04/