Решение треугольной системы уравнений с

Прямые методы линейной алгебры

Одной из основных задач вычислительной математики является проблема решения систем линейных алгебраических уравнений с вещественными ко- эффициентами. Для нахождения приближенного решения систем уравнений используются прямые и итерационные методы. Математический аппарат ли- нейной алгебры базируется на понятиях нормы вектора и матрицы, числа обусловленности. Рассматриваются классические методы исключения неиз- вестных, отмечаются особенности решения задач с симметричной веществен- ной матрицей.

Метод исключения Гаусса

Начнем с обсуждения того, как можно легко решать треугольные системы. Затем опишем приведение системы общего вида к треугольной форме при помощи преобразований Гаусса. И, наконец, учитывая то, что полученный метод ведет себя очень плохо на нетривиальном классе задач, рассмотрим концепцию выбора ведущих элементов.

Треугольные системы

Рассмотрим следующую треугольную $ 2\times 2 $-систему: $$ \begin l_ <11>& 0 \\ l_ <21>& l_ <22>\end \begin x_1\\ x_2 \end = \begin b_1\\ b_2 \end $$

Если $ l_<11>, l_ <22>\ne 0 $, то неизвестные могут быть определены последовательно: $$ \begin x_1 &= b_1/l_<11>,\\ x_2 &= (b_2 — l_<21>x_1)/l_ <22>\end $$

Это $ 2\times 2 $-версия алгоритма, известного как прямая подстановка. Общую процедуру получаем, разрешая $ i $-е уравнение системы $ Lx = b $ относительно $ x_i $: $$ x_i = \left( b_i — \sum_^ l_ x_j \right)/l_. $$

Если вычисления выполнить для $ i $ от $ 1 $ до $ n $, то будут получены все компоненты вектора $ x $. Заметим, что на $ i $-м шаге необходимо скалярное произведение векторов $ L(i,1:i-1) $ и $ x(1:i-1) $. Так как $ b_i $ содержится только в формуле для $ x_i $, мы можем записать $ x_i $ на месте $ b_i $.

Прямая подстановка

Предположим, что $ L \in \mathbb^ $ — нижняя треугольная матрица и $ b \in \mathbb^n $. Следующий код Python заменяет $ b $ на решение системы $ Lx = b $. Матрица $ L $ должна быть невырождена.

Аналогичный алгоритм для верхней треугольной системы $ Ux = b $ называется обратная подстановка. Вот формула для $ x_i $: $$ x_i = \left( b_i — \sum_^ u_ x_j \right)/u_. $$ и снова $ x_i $ можно записать на месте $ b_i $.

Обратная подстановка

Если матрица $ U \in \mathbb^ $ верхняя треугольная и $ b \in \mathbb^n $, то следующий код Python заменяет $ b $ на решение системы $ Ux = b $. Матрица $ U $ должна быть невырождена.

Отметим, что при реализации формул прямой и обратной подстановки мы использовали срезы массивов (см. раздел ref). В первом алгоритме L[i,:i] означает, что берется из строки двумерного массива с индексом i все элементы с нулевого до i-1 -го включительно, а b[:i] — элементы массива b с индексами от 0 до i-1 включительно. Во втором алгоритме используются срезы U[i,i+1:] , содержащий от i+1 -го до последнего (включительно) элементы i -той строки, и b[i+1:] с элементами от i+1 -го до последнего (включительно). Кроме того использовалась функция dot модуля numpy , которая вычисляет скалярное произведение двух векторов. Таким образом, мы здесь использовали векторизованные вычисления.

$ LU $-разложение

Как мы только что видели, треугольные системы решаются «легко». Идея метода Гаусса — это преобразование системы (1) в эквивалентную треугольную систему. Преобразование достигается соответствующих линейных комбинаций уравнений. Например, в системе $$ \begin 3x_1 + 5x_2 &= 9,\\ 6x_1 + 7x_2 &= 4, \end $$ умножая ее первую строку на 2 и вычитая ее из второй части, мы получим $$ \begin 3x_1 + 5x_2 &= 9,\\ -3x_2 &= -14. \end $$

Это и есть метод исключений Гаусса при $ n=2 $. Дадим полное описание этой важной процедуры, причем опишем ее выполнение на языке матричных разложений. Данный пример показывает, что алгоритм вычисляет нижнюю треугольную матрицу $ L $ и верхнюю треугольную матрицу $ U $ так, что $ A = LU $, т.е. $$ \begin 3 & 5 \\ 6 & 7 \end = \begin 1 & 0 \\ 2 & 1 \end \begin 3 & 5 \\ 0 & -3 \end $$ Решение исходной задачи $ Ax = b $ находится посредством последовательного решения двух треугольных систем: $$ Ly = b, \quad Ux = y \quad \Rightarrow Ax = LUx = Ly = b $$

Матрица преобразования Гаусса.

Чтобы получить разложение, описывающее исключение Гаусса, нам нужно иметь некоторое матричное описание процесса обнуления матрицы. Пусть $ n=2 $, тогда как $ x_1 \ne 0 $ и $ \tau = x_2/x_1 $, то $$ \begin 1 & 0 \\ -\tau & 1 \end \begin x_1\\ x_2 \end = \begin x_1\\ 0 \end $$ В общем случае предположим, что $ x \in \mathbb^n $ и $ x_k \ne 0 $. Если $$ \tau^ <(k)T>= [ \underbrace<0, \ldots, 0>_k, \tau_, \ldots, \tau_n ], \quad \tau_i = \frac \quad i = k+1, k+2, \ldots, n $$ и мы обозначим $$ \begin \tag <2>M_k = I — \tau^ <(k)>e_k^T, \end $$ где $$ \begin e_k^T &= [\underbrace<0, \ldots, 0>_, 1, \underbrace<0, \ldots, 0>_],\\ I &= [e_1, e_2 \ldots, e_n] \end $$ то $$ M_k x = \begin 1 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & -\tau_ & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & -\tau_n & 0 & \dots & 1 \end \begin x_1\\ \vdots \\ x_k \\ x_ \\ \vdots \\ x_n \end = \begin x_1\\ \vdots \\ x_k \\ 0\\ \vdots \\ 0 \end $$

Матрица $ M_k $ — это матрица преобразования Гаусса. Она является нижней унитреугольной. Компоненты $ \tau_, \tau_, \ldots, \tau_n $ — это множители Гаусса. Вектор $ \tau^ <(k)>$ называется вектором Гаусса.

Для реализации данных идей имеется функция, которая вычисляет вектор множителей. Если x — массив из n элементов и x[0] ненулевой, функция gauss возвращает вектор длины $ n-1 $, такой, что если M — матрица преобразования Гаусса, причем M[1:,1] = -gauss(x) и y = dot(M,x) , то y[1:] = 0 :

Применение матриц преобразовния Гаусса.

Умножение на матрицу преобразования Гаусса выполняется достаточно просто. Если матрица $ C \in \mathbb^ $ и $ M_k = I — \tau^ <(k)>e_k^T $, тогда преобразование вида $$ M_k C = (I — \tau^ <(k)>e_k^T)C = C — \tau^ <(k)>(e_k^T C) $$ осуществляет одноранговую модификацию. Кроме того, поскольку элементы вектора $ \tau^ <(k)>$ равны нулю от первого до $ k $-го равны нулю, то в каждой $ k $-ой строке матрицы $ C $ задействованы лишь элементы, начиная с $ k+1 $-го. Следовательно, если «C« — двумерный массив, задающий матрицу $ C $, и «M« задает $ n \times n $-преобразование Гаусса $ M_1 $, причем «M[1:,1] = -t«, «t« — множитель Гаусса, соответствующий $ \tau^ <(1)T>$, тогда следующая функция заменяет $ C $ на $ M_1C $:

Отметим, что если матрица M[k+1:,k] = -t , тогда обращение вида C[k. ] = gauss_app(C[k. ], t) заменяет $ C $ на $ M_kC $

Матрицы преобразовния Гаусса $ M_1, M_2, \ldots, M_ $, как правило, можно подобрать так, что матрица $ M_M_\ldots M_1A = U $ является верхней треугольной. Легко убедиться, что если $ M_k = I — \tau^<(k)>e_k^T $, тогда обратная к ней задается следующим выражением $ M_k^ <-1>= I + \tau^ <(k)>e_k^T $ и поэтому $$ \begin \tag <3>A = LU, \end $$ где $$ L = M_1^ <-1>M_2^ <-1>\ldots M_^<-1>. $$

Очевидно, что $ L $ — это нижняя унитреугольная матрица. Разложение (3) называется $ LU $-разложением матрицы $ A $. Необходимо проверять ведущие элементы матрицы $ A $ ($ a_ $) на нуль, чтобы избежать деления на нуль в функции gauss . Это говорит о том, что $ LU $-разложение может не существовать. Известно, что $ LU $-разложение матрицы $ A $ существует, если главные миноры матрицы $ A $ не равны нулю при этом оно единственно и $ \det = u_ <11>u_ <22>\cdots u_ $.

Рассмотрим пример при $ n=3 $:

Функция numpy.dot

Обратите внимание, что в приведенном примере мы использовали функцию dot модуля numpy , которая выполняет умножение матриц в «правильном смысле», в то время как выражение M1*A производит поэлементное умножение.

Обобщение этого примера позволяет представить $ k $-й шаг следующим образом:

Мы имеем дело с матрицей $ A^ <(k-1)>= M_\cdots M_1A $, которая с $ 1 $-го по $ (k-1) $-й столбец является верхней треугольной.
Поскольку мы уже получили нули в столбцах с $ 1 $-го по $ (k-1) $-й, то преобразование Гаусса можно применять только к столбцам с $ k $-го до $ n $-го. На самом деле нет необходимости применять преобразование Гаусса также и $ k $-му столбцу, так как мы знаем результат.
Множители Гаусса, задающие матрицу $ M_k $ получаются по матрице $ A(k:n,k) $ и могут храниться в позициях, в которых получены нули.

С учетом сказанного выше мы можем написать следующую функцию:

Эта функция возвращает $ LU $-разложение матрицы $ A $. Где же храниться матрица $ L $? Дело в том, что если $ L = M_1^<-1>M_2^ <-1>\ldots M_^ <-1>$, то элементы с $ (k+1) $-го до $ n $-го в $ k $-том столбце матрицы $ L $ равны множителям Гаусса $ \tau_, \tau_, \ldots, \tau_ $ соответственно. Этот факт очевиден, если посмотреть на произведение, задающее матрицу $ L $: $$ L = (I + \tau^<(1)>e_1^T \cdots (I + \tau^<(n-1)>e_^T)) = I + \sum_^ \tau^<(k)>e_k^T. $$ Поэтому элементы $ l_ = lu_ $ для всех $ i > k $. Здесь $ lu_ $ — элементы матрицы возвращаемой функцией lu .

После разложения матрицы $ A $ с помощью функции lu в возвращаемом массивы будут храниться матрицы $ L $ и $ U $. Поэтому мы можем решить систему $ Ax = b $, используя прямую и обратную подстановки описанные в разделе Треугольные системы:

Замечание

Отметим, что во всех представленных функциях мы выполняли явное преобразование входных параметров в массивы NumPy с элементами типа float . Это позволит правильно работать функциям в случае, если мы по ошибке создадим входные параметры не как массивы, а как списки.

Как известно метод Гаусса является прямым, т.е. дает точное решение системы линейных уравнений. Для проверки реализации решения системы линейных уравнений методом Гаусса мы можем написать следующую функцию:

Замечание

Здесь мы задали матрицу A системы и точное решение expected , на основе которых получили вектор правой части b = np.dot(A,x) . Для сравнения численного решения с точным используется функция np.linalg.norm . В случае вызова с одним аргументом вычисляется $ l_2 $-норма: $ \| v \|_2 = \sqrt<\sum_^n v_i^2> $.

Выбор ведущего элемента

Как уже упоминалось, $ LU $-разложение может не существовать. В методе Гаусса с выбором ведущего элемента на очередном шаге исключается неизвестное, при котором коэффициент по модулю является наибольшим. В этом случае метод Гаусса применим для любых невырожденных матриц ($ \det A \ne 0 $).

Такая стратегия предполагает переупорядочивание данных в виде перестановки двух матричных строк. Для этого используются понятие перестановочной матрицы. Перестановочная матрица (или матрица перестановок) — это матрица, отличающаяся от единичной лишь перестановкой строк, например $$ P = \begin 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end. $$

Перестановочную матрицу нет необходимости хранить полностью. Гораздо более эффективно перестановочную матрицу можно представить в виде целочисленного вектора $ p $ длины $ n $. Один из возможных способов такого представления — это держать в $ p_k $ индекс столбца в $ k $-й строке, содержащий единственный элемент равный $ 1 $. Так вектор $ p = [4, 1, 3, 2] $ соответствует кодировке приведенной выше матрицы $ P $. Также возможно закодировать $ P $ указанием индекса строки в $ k $-ом столбце, содержащего $ 1 $, например, $ p = [2, 4, 3, 1] $.

Если $ P $ — это матрица перестановок, а $ A $ — некоторая матрица, тогда матрица $ AP $ является вариантом матрицы $ A $ с переставленными столбцами, а $ PA $ — вариантом матрицы $ A $ с переставленными строками.

Перестановочные матрицы ортогональны, и поэтому если $ P $ — перестановочная матрица, то $ P^ <-1>= P^T $.

В этом разделе особый интерес представляют взаимные перестановки. Такие перестановки осуществляют матрицы, получаемые простой переменой мест двух строк единичной матрицы, например $$ E = \begin 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end. $$

Взаимные перестановки могут использоваться для описания перестановок строк и столбцов матрицы. В приведенном примере порядка $ 4 \times 4 $ матрица $ EA $ отличается от матрицы $ A $ перестановкой $ 1 $-й и $ 4 $-й строк. Аналогично матрица $ AE $ отличается от матрицы $ A $ перестановкой $ 1 $-го и $ 4 $-го столбцов.

Если $ P = E_n E_ \cdots E_1 $ и каждая матрица $ E_k $ является единичной с переставленными $ k $-й и $ p_k $-й строками, то вектор $ p = [p_1, p_2, \ldots, p_n] $ содержит всю необходимую информацию о матрице $ P $. Действительно, вектор $ x $ может быть замещен на вектор $ Px $ следующим образом: $$ \begin \mathbf\ & k = 1:n\\ & x_k \leftrightarrow x_ \end $$ Здесь символ $ \leftrightarrow $ обозначает «выполнение перестановки»: $$ x_k \leftrightarrow x_\ \Leftrightarrow \ r = x_k, \ x_k = x_, \ x_ = r. $$

Поскольку каждая матрица $ E_k $ является симметричной и $ P^T = E_1 E_2 \cdots E_n $, то также можно выполнить замещение вектора $ x $ на вектор $ P^Tx $: $$ \begin \mathbf\ & k = n:1:-1\\ & x_k \leftrightarrow x_ \end $$

Существуют разные стратегии выбора ведущего элемента. Мы остановимся на стратегии частичного выбора. Пусть матрица $$ A = \begin 3 & 17 & 10 \\ 2 & 4 & -2 \\ 6 & 18 & -12 \end. $$ Чтобы добиться наименьших множителей в первой матрице разложения по Гауссу с помощью взаимных перестановок строк, надо сделать элемент $ a_ <11>$ наибольшим в первом столбце. Если $ E_1 $ — матрица взаимных перестановок, тогда $$ E_1 = \begin 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end. $$

Поэтому $$ E_1A = \begin 6 & 18 & -12 \\ 2 & 4 & -2 \\ 3 & 17 & 10 \end $$ и $$ M_1 = \begin 1 & 0 & 0 \\ -1/3 & 1 & 0 \\ -1/2 & 0 & 1 \end \Rightarrow M_1E_1A = \begin 6 & 18 & -12 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 8 & 16 \end. $$

Теперь, чтобы получить наименьший множитель в матрице $ M_2 $, необходимо переставить $ 2 $-ю и $ 3 $-ю строки и т.д.

Пример иллюстрирует общую идею, основанную на перестановке строк. Обобщая эту идею, получим следующий алгоритм:

$ LU $-разложение с частичным выбором

Если матрица $ E \in \mathbb^ $, то данный алгоритм вычисляет матрицы преобразования Гаусса $ M_1, M_2 \ldots, M_ $ и матрицы взаимных перестановок $ E_1, E_2, \ldots, E_ $, такие что матрица $ M_E_ \cdots M_1E_1A = U $ является верхней треугольной. При этом нет множителей, превосходящих $ 1 $ по абсолютной величине. Подматрица $ [a_]_^k $ замещается на матрицу $ [u_]_^k $, $ k = 1, 2, \ldots, n $. Подматрица $ [a_]_^n $ замещается на матрицу $ [m_]_^ $, $ k = 1, 2, \ldots , n-1 $. Целочисленный вектор $ piv $ размера $ n-1 $ задает взаимные перестановки. В частности, матрица $ E_k $ переставляет строки $ k $ и $ piv_k $, $ k = 1, 2, \ldots, n-1 $.

for $ k = 1:n $

Зададим $ \mu $, такое что $ k \leq \mu \leq n $ и $ |a_<\mu k>| = \max_|a_| $
$ a_ \leftrightarrow a_ <\mu,k:n>$; $ piv_k = \mu $

if $ a_ \ne 0 $

Чтобы решить линейную систему $ Ax = b $ после вызова последнего алгоритма, мы должны

1. Вычислить вектор $ y = M_E_ \cdots M_1E_1 b $. 2. Решить верхнюю треугольную систему $ Ux = y $.

Метод Гаусса – теорема, примеры решений

Метод Гаусса – идеальный вариант для решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ). Благодаря методу Гаусса можно последовательно исключать неизвестные путём элементарных преобразований. Метод Гаусса – это классический метод решения СЛАУ, который и рассмотрен ниже.

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

Одно решение;
много решений;
совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

перемена мест уравнений системы;
почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

где а, в, с – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если = = = , тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа , , называются решением СЛАУ, если при подстановке , , в СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

– это основная матрица СЛАУ.

– матрица столбец неизвестных переменных.

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице добавить в качестве – ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой , а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если – матрица невырожденная.

Если с системой уравнений:

Произвести такие действия:

умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число ;
менять местами уравнения;
к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число ,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

В итоге получилось такое преобразование:

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же и вот что получается:

В матрице верхняя строка преобразовалась:

Первую строку делим на и преобразовалась нижняя строка:

И верхнюю строку поделили на то же самое число :

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на и вторую строку прибавили к первой , умноженной на .

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

Верхнюю строку делим на и приводим матрицу к ступенчатому виду:

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим : ,

После находим :

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда . Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной . Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно и полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную :

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что . Из второго уравнения находим . И последнее, находим первое уравнение .

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается через и в первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на ,
берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на .

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную со второго и третьего уравнения системы:

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

В этой системе в первом уравнении нет переменной и поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно , чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной и убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества . В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

У нас получается такая ситуация

Как видим, второе уравнение . Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: , где – число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло вид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную из всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

В третьем уравнении получилось равенство . Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных , и , и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную , и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной . Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной . Если же уже исключались, тогда переходим к , и т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная :

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с исключились и . Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной из всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную из последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к . В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

В нашем примере это , и . В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: , , , где , , – произвольные числа.

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: , и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: , а из первого уравнения получаем:

= =

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Задача

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Так как мы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой превратился в . Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на .Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на (разрешающий элемент данного шага).

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался . Для этого первую строку нужно умножить на и только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на вторую строку. Вот что получилось:

. Теперь прибавляем со второй строки первую строку . У нас получился , который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Записываем новую систему уравнений:

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала :

Так как найден, находим :

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные и :

и .

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем , а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: . В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем , и . Аналогично, и . И умножаем свободный член . Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, . Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

Сначала находим : ,

Обратный ход:

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение

В уравнении , то есть – ведущий член и пусть ≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: , , . Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную из каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в теперь стоит 0.

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

Получилось так, что = b и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную из третьей и четвёртой строк:

Получилась такая матрица:

Также, учитывая, что = , умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную и получаем новую систему уравнений:

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения ,

из третьего: = = =

второе уравнение находим: = = = 2,

из первого уравнения: = .

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

Получился ступенчатый вид уравнения:

Ответ

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

Системы линейных уравнений в математике с примерами решения и образцами выполнения

Уравнения первой степени с двумя и тремя неизвестными изучают в восьмилетней школе. Как показано в курсе геометрии, уравнение первой степени с двумя переменными Ах + Ву = С задает прямую линию. Поэтому принято называть уравнение первой степени линейным. Например, линейное уравнение относительно неизвестных х, у, z, . . . , и может быть сведено к виду

Числа А, В, С . . . , D называют коэффициентами при неизвестных, а Е — свободным членом уравнения.

Мы рассмотрим системы линейных уравнений со многими неизвестными. Для таких систем становится неудобным обозначать неизвестные через х, у, z, . . . , u. Значительно удобнее перенумеровать неизвестные и обозначить их Коэффициенты при неизвестных тоже неудобно обозначить различными буквами А, В, С, . . . , D. Обычно их обозначают одной буквой с двумя номерами (индексами). Первый номер обозначает номер уравнения, а второй — номер неизвестного. Например, — это коэффициент при в третьем уравнении. Вообще — коэффициент при в i -м уравнении. Свободные члены мы будем обозначать через

В восьмилетней школе мы рассматривали лишь системы уравнений, для которых число уравнений равнялось числу неизвестных. Сейчас мы будем изучать системы, состоящие из m линейных уравнений с n неизвестными. Такие системы записываются следующим образом:

Например, для системы

имеем

Нашей задачей является найти все решения системы линейных уравнений (2) или показать, что эта система не имеет решений, что она несовместна. Мы покажем ниже, что возможны три случая: а) система (2) несовместна, б) система (2) имеет единственное решение, в) система (2) имеет бесконечное множество решений.

Теоремы о равносильности систем линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений:

Умножим i-е уравнение этой системы на любое число и прибавим к j-му уравнению той же системы. Мы получим новое линейное уравнение:

Из следствия к теореме 4 п. 7 вытекает, что если заменить j-е уравнение системы (1) уравнением (2), то получится система уравнений, равносильная данной.

Повторно применяя это утверждение, приходим к следующей теореме.

Теорема:

Если к любому уравнению системы (1) прибавить сумму остальных уравнений, взятых с любыми коэффициентами, то получится система линейных уравнений, равносильная исходной.

Отметим еще следующие простые теоремы.

Теорема:

Если среди уравнений системы есть уравнение вида

то после отбрасывания этого уравнения получается система, равносильная исходной.

Эта теорема вытекает из того, что любой набор чисел удовлетворяет уравнению (3).

Теорема:

Если среди уравнений системы есть уравнение вида

где то система несовместна.

Эта теорема вытекает из того, что ни один набор чисел не удовлетворяет уравнению (4).

Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса

В восьмилетней школе системы линейных уравнений (с двумя или тремя неизвестными) решаются или методом подстановки, или методом алгебраического сложения. Сейчас мы изложим метод Гаусса, очень близкий к методу алгебраического сложения, но отличающийся от него большей систематичностью. Покажем сначала этот метод на следующем примере.

Пусть надо решить систему уравнений:

Умножим первое уравнение системы на —2 и прибавим его ко второму, потом умножим первое уравнение на —5 и прибавим к третьему, наконец, умножим первое уравнение на —1 и прибавим к четвертому. Система уравнений примет вид:

Мы видим, что в результате преобразований неизвестное осталось лишь в первом уравнении.

Теперь преобразуем тем же путем три последних уравнения. Умножим второе уравнение на —2 и прибавим к третьему, а по том умножим второе уравнение на —1 и прибавим к четвертому.

Наконец, умножим третье уравнение на — 1 и прибавим к четвертому. В результате получаем систему:

Системы такого вида называют треугольными.

Из теоремы 5 вытекает, что треугольная система (4) равносильна. исходной системе (1). Треугольную систему уравнений легко решить. Из последнего уравнения находим, что Подставляя это значение в третье уравнение, получаем откуда Далее, подставим во второе уравнение. Мы найдем, что Наконец, из первого уравнения вытекает, что Итак, заданная система имеет единственное решение

Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду).

Рассмотрим теперь решение методом Гаусса систем линейных уравнений общего вида. Пусть задана система уравнений:

Если то умножим первое уравнение на — и прибавим ко второму, потом умножим его на — и прибавим к третьему, . . . умножим на — и прибавим к m- му. Получится система вида:

Здесь для краткости введены следующие обозначения:

Таким образом, если то удается исключить из всех уравнений системы, начиная со второго. Если же то возможны различные случаи, в зависимости от того, какой вид имеет первое уравнение системы. Эти случаи таковы:

а) Все коэффициенты и свободный член первого уравнения равны нулю: В этом случае первое уравнение системы имеет вид:

В силу теоремы 6, п. 2, мы можем его отбросить, не меняя множества решений системы (1).

б) Все коэффициенты равны нулю, а отлично от нуля: Тогда первое уравнение нашей системы имеет вид:

и по теореме 7, п. 2, система несовместна.

в) но среди коэффициентов есть отличные от нуля, скажем Тогда надо поменять номера у неизвестных то есть ввести новые неизвестные такие, что Разумеется, при этом мы уже получим систему, неравносильную заданной (например, системы

неравносильны). Но переход от одной системы уравнений к другой сводится к перестановке неизвестных. После изменения номеров у неизвестных место коэффициента займет коэффициент отличный от нуля, и мы сможем исключить из всех уравнений, начиная со второго, неизвестное (то есть ). Таким образом, если то либо система несовместна, либо первое уравнение можно отбросить, либо, наконец, можно переставить неизвестные и исключить вместо другое неизвестное .

Вернемся теперь к системе уравнений (2). Если то мы можем повторить описанный процесс и исключить из третьего, четвертого, . . . , m-го уравнений. Потом мы исключим неизвестное из четвертого и дальнейших уравнений и т. д. На каждом шагу мы будем получать системы уравнений, равносильные заданной. При этом возможны следующие случаи:

а) В ходе решения мы получаем уравнение вида

где Тогда система не имеет решений, она несовместна.

б) При решении системы уравнений вида (3) не получается. Тогда через конечное число шагов (не более чем через т — 1 шаг) мы получим систему вида:

где диагональные коэффициенты , отличны от нуля (напомним, что мы отбрасывали уравнения вида и в случае необходимости меняли номера неизвестных).

Систему уравнений (4) мы будем называть обобщенно-треугольной системой уравнений. Таким образом, метод Гаусса позволяет либо установить, что данная система линейных уравнений несовместна, либо заменить ее равносильной обобщенно-треугольной системой.

Назовем число r уравнений в системе (4) рангом заданной системы уравнений. На первый взгляд может показаться, что ранг заданной системы зависит не только от этой системы, но и от того, каким путем ее приводили к обобщенно-треугольной форме (в каком порядке записывали уравнения, как нумеровали неизвестные и т. д.). Оказывается, это не так: при любом способе приведения за данной системы линейных уравнений к равносильной ей обобщенно-треугольной системе уравнений получается система, состоящая из одного и того же числа уравнений. Доказательство этого утверждения довольно сложно, и мы его опускаем. Отметим, что ранг r системы не больше числа m уравнений этой системы.

Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений

Покажем теперь, что любая обобщенно-треугольная система уравнений совместна, и выясним, когда она имеет единственное решение. Сначала разберем случай, когда ранг системы r равен числу неизвестных n, r =n. Тогда система (4), п. 4, имеет вид:

то есть является треугольной. При этом Треугольная система уравнений решается очень просто. Из последнего уравнения системы находим, что . Подставим это значение в предпоследнее уравнение. Мы получим, что

После этого последовательно определяем и т.д. вплоть до которое находим из первого уравнения. Мы видим, что треугольная система имеет единственное решение. Следовательно, при r = n заданная система уравнений имеет единственное решение. Пусть теперь r

Перенесем слагаемые, содержащие неизвестные в правую часть уравнений. Система примет вид:

Эта система имеет бесконечное множество решений. В самом деле, дадим неизвестным любые значения Тогда мы получим для отыскания остальных неизвестных треугольную систему уравнений:

Решая ее, получим искомые значения для Так как значения неизвестных произвольны, то число решений бесконечно.

Например, решим систему уравнений:

Она приводится к обобщенно-треугольной системе:

Значит, ее ранг равен двум. Перенося слагаемые, содержащие в первую часть, получаем треугольную систему относительно

Из этой системы находим:

Любое решение уравнения (5) получится, если придать некоторые значения неизвестным и вычислить по формулам (6).

Подведем итоги исследования:

Всякая система линейных уравнений либо не имеет решений (несовместна), либо имеет единственное решение, либо бесконечное множество решений.

Первый случай будет, если при решении системы методом Гаусса мы придем к уравнению вида

где . Второй случай имеет место, если она совместна и ранг системы (число уравнений в обобщенно-треугольной форме) равен числу неизвестных. Третий случай имеет место, если система совместна и ее ранг меньше числа неизвестных.

6. Системы однородных линейных уравнений. Линейное уравнение, свободный член которого равен нулю, называется однородным. Оно имеет вид

Мы рассмотрим сейчас систему таких уравнений:

Система однородных линейных уравнений заведомо разрешима, поскольку ей удовлетворяет решение Это решение мы будем называть нулевым. Однако чаще всего нас интересуют именно ненулевые решения системы однородных линейных уравнений.

Если ранг системы однородных линейных уравнений равен числу неизвестных, r = n, то, как мы знаем, система имеет единственное решение. Так как одно решение, а именно нулевое, мы уже знаем, то ненулевых решений система не имеет. Если же ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Поэтому у нее, кроме нулевого будут и ненулевые решения. Мы доказали, таким образом, следующую теорему.

Теорема:

Для того чтобы система однородных линейных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг r этой системы был меньше числа неизвестных n.

Так как ранг системы заведомо меньше числа уравнений исходной системы, то отсюда получаем

Следствие:

Для того чтобы система m однородных линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, достаточно, чтобы число уравнений было меньше числа неизвестных, m

Применяя метод Гаусса, приходим к системе уравнений:

Ее можно записать так:

Отсюда находим, что При любом значении получаем решение системы (*). Отметим, что полученное решение можно представить в следующем виде:

Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений

Симметрические многочлены от двух переменных: При решении многих задач геометрии весьма полезным оказывается использование симметрии и ее свойств. В алгебре также существенную помощь в решении задач оказывает учет симметричности тех или иных алгебраических выражений. Разумеется, понятия симметрии в геометрии и в алгебре имеют различный смысл. В алгебре оно означает, что данное выражение не меняется при перестановке входящих в него букв. Например, выражение симметрично относительно x и у, но не симметрично относительно x и z. Если переставить х и у то получится выражение, отличающееся от заданного лишь порядком сомножителей, а если переставить х и г, получаем совсем иное выражение

Мы изучим сейчас симметрические многочлены от двух переменных, то есть такие многочлены f(х, у), что f(х, у) = f(у, x).

Например, многочлен симметричен. Многочлен же не является симметрическим. Если заменить в нем х на у, а у на х, то получится многочлен который не совпадает с первоначальным.

Простейшими симметрическими многочленами от двух переменных х и у являются сумма и произведение этих переменных, то есть х+у и ху. Введем для этих многочленов специальные обо значения:

Симметрическими являются многочлены вида Их называют степенными суммами. Принято обозначать многочлен через Таким образом,

Выражение степенных сумм через

Рассмотрим первые три степенные суммы Легко видеть, что их можно выразить через многочлены

Докажем, что это утверждение верно для любых степенных сумм.

Теорема:

Любая степенная сумма может быть представлена в виде многочлена от переменных

Иными словами, для любого n существует такой многочлен чтo после подстановки, в него и упрощения он превращается в

Доказательство:

Применим для доказательства метод математической индукции. При n = 1 наше утверждение справедливо, поскольку Таким образом, Предположим теперь, что утверждение доказано для степенных сумм Пусть для любой такой суммы найден многочлен обладающий тем свойством, что Заметим теперь, что

Это равенство можно записать так:

то получаем, что

Мы предположили, что — многочлены от Подставим выражения этих многочленов в полученное равенство, раскроем скобки, приведем подобные члены и сгруппируем их в порядке убывания степеней В результате мы получим выражение для в виде многочлена от

Итак, доказываемое утверждение верно при n = 1 и из его справедливости при следует справедливость для n. Значит, оно верно для всех n.

Примеры:

1) Выразим через степенные суммы По формуле (1) имеем

Точно так же находим:

Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных

Теорема 1, п. 7, является частным случаем следующего общего утверждения.

Теорема:

Для любого симметрического многочлена F(х, у) существует такой (вообще говоря, несимметрический) многочлен что F (х, у) =f(х +у, ху).

Доказательство. Пусть F(х, у) — симметрический многочлен. Возьмем какой-нибудь из его членов Если k =l, то этот член имеет вид и может быть записан так:

Если же скажем k > l, то наряду со слагаемым в F(х, у) входит и симметрическое с ним слагаемое Но сумму можно записать так:

Мы уже умеем выражать через Следовательно, и сумма выражается через Так как это рассуждение применимо к любому слагаемому то и весь многочлен F (х, у) можно выразить через и ст2.

Пример:

Выразить через симметрический многочлен

Применяя формулу для получаем, что

Системы симметрических алгебраических уравнений

Мы уже говорили, что иногда удается упростить решение системы алгебраических уравнений, удачно введя новые неизвестные. Этот путь решения приводит к успеху, если заданная система уравнений симметрична, то есть имеет вид:

где Р(х, у) и Q (х, у) — симметрические многочлены от х и у.

Простейшей системой такого вида является:

Будем рассматривать числа х и у как корни некоторого квадратного уравнения. Тогда по теореме Виета коэффициент при первой степени неизвестного в этом уравнении равен —а, а свободный член равен b. Иными словами, квадратное уравнение с корнями х и у имеет вид:

Пусть корни этого уравнения Тогда либо либо

Рассмотрим теперь более сложную систему:

Так как левые части обоих уравнений симметрично зависят от х и у, то введем вместо х и у новые неизвестные

Выразим через эти неизвестные левые части уравнений (3). Мы получим:

Таким образом, заданная система свелась к следующей:

Сложив эти уравнения, получим квадратное уравнение относительно

Из него следует, что Так как то

Поскольку то наша система свелась к совокупности двух систем

Решая первую систему, находим два решения:

Вторая система действительных решений не имеет. Точно так же решается система уравнений:

то данную систему можно записать в виде:

Подставляя во второе уравнение значение о 4 = 5, получаем квадратное уравнение:

Из него находим, что Тем самым заданная система свелась к системам:

Решая первую систему, получаем:

Вторая же система не имеет действительных решений.

Выгода введения неизвестных состоит в том, что при такой замене понижается степень уравнения, поскольку имеет вторую степень относительно х и у. Например, во втором разобранном примере система пятой степени свелась к квадратному уравнению.

Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений

Решение некоторых иррациональных уравнений можно свести к решению систем симметрических алгебраических уравнений. Рассмотрим иррациональное уравнение

Здесь выгодно ввести два вспомогательных неизвестных, положив

Тогда заданное уравнение примет вид: u + v = 5. Кроме того, имеем: Таким образом, мы получили следующую систему уравнений относительно u и v:

Введем новые неизвестные:

Так как , то мы получим новую систему уравнений:

Подставим во второе уравнение значение Получим квадратное уравнение относительно

Решая его, находим Таким образом, задача свелась к решению двух систем уравнений:

Первая из этих систем имеет два решения: Так как то для первоначального уравнения находим два значения корней:

Вторая система не имеет действительных корней.

Итак, заданное уравнение имеет лишь два корня: и

Дополнение к решению систем линейных уравнений

Системы линейных уравнений — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

Метод Жордана-Гаусса

1°. Система из то линейных уравнений с п неизвестными в общем случае записывается так:

Коэффициенты , и свободные члены , — заданные действительные числа. Первый индекс i в записи обозначает номер уравнения, второй — j — номер неизвестной.

Решить систему (1) — значит найти все ее решения, т.е. все такие наборы чисел , которые при подстановке во все уравнения системы превращают их в верные равенства, или доказать, что решений нет.

Система (1) называется:

— совместной, если она имеет хотя бы одно решение;

— определенно совместной, если она имеет только одно решение;

— неопределенно совместной, если она имеет более одного решения;

— несовместной, если она не имеет ни одного решения.

2°. Две системы называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или обе несовместны.

Переход от одной системы к равносильной осуществляется при помощи множества элементарных преобразований:

— умножение обеих частей любого уравнения на отличное от нуля число;

— прибавление к одному из уравнений произвольного другого, умноженного на любое число;

— удаление (вычеркивание) из системы тривиального уравнения

— если в системе имеются два или более уравнений с пропорциональными коэффициентами, то сохранить нужно только одно из них.

Уравнение не имеет решений. Оно называется противоречивым. Система, содержащая такое уравнение, сама противоречива, т.е. несовместна.

3°. Один шаг метода Жордана-Гаусса состоит в приведении системы (1) к виду

в котором одна неизвестная сохранена с коэффициентом 1 только в p-м уравнении, а из остальных исключена. Систему (2) назовем разрешенной относительно неизвестной , поскольку ее легко выразить через остальные неизвестные данной системы.

Для того, чтобы получить систему (2), требуется следующее:

1) коэффициент при в уравнении с номером р должен быть отличен от нуля; в дальнейшем назовем ведущим, или разрешающим коэффициентом, а р-е уравнение — ведущим уравнением;

2) р-е уравнение надо разделить на ;

3) для получения нулевых коэффициентов при в остальных уравнениях следует из i-го уравнения вычесть ведущее уравнение, сначала разделенное на , а затем домноженное на .

Тогда все остальные коэффициенты и преобразуются по формулам

Эти формулы будем называть формулами Жордана-Гаусса. Расчет по ним удобно выполнять, пользуясь мнемоническим правилом прямоугольника, наглядно показанным на следующих диаграммах:

Смысл диаграмм следующий: новый коэффициент (или ) получается из старого вычитанием из него произведения соседних (по прямоугольнику) коэффициентов, деленного на противолежащий (разрешающий) коэффициент .

4°. На втором шаге сохраним с коэффициентом 1 другую неизвестную в другом уравнении, исключая из остальных.

Через шагов систему (1) можно привести к системе, состоящей из уравнений (остальные тривиальных уравнений, если такие были, отброшены) и содержащей разрешенных неизвестных. Эти неизвестных назовем базисными (используя векторную терминологию, которая появится позже), остальные — свободными, или независимыми. Основная часть метода Жордана-Гаусса завершена.

Если , то система разрешена относительно всех неизвестных, т. е. однозначно совместна.

Если , то, выражая базисные (зависимые) неизвестные через свободные (независимые), получаем «общее» решение системы в соответствующем базисе, которое впоследствии следует параметризовать и из которого можно получать различные частные решения, в том числе базисное (так называется решение, соответствующее нулевому набору свободных неизвестных).

Заметим, что «общее» решение определяется неоднозначно, оно зависит от того, какие неизвестные являются свободными (независимыми, произвольными), а какие — зависимыми (базисными).

5°. Метод Жордана-Гаусса удобно реализовать в виде таблицы, которую назовем таблицей Гаусса. Каждый ее блок содержит результат одного преобразования или одну итерацию. Столбец блока таблицы, состоящий из нулей и одной единицы, будем называть единичным столбцом. Цель преобразований Жордана-Гаусса — получить единичных столбцов. Неизвестные, соответствующие единичным столбцам, являются базисными, остальные — свободными. Последний блок таблицы изображает систему, разрешенную относительно г базисных неизвестных.

Примеры с решениями

Пример:

Решить линейную систему

1. Выполним первую итерацию, т.е. получим первый единичный столбец, выбирая в качестве ведущего коэффициента (в таблице он обведен кружком). Для этого над строками таблицы (над уравнениями системы) выполним следующие действия (они обозначены справа от таблицы):

Решение:

Первый блок таблицы Гаусса данной системы имеет вид («св. ч.» означает «свободные члены» уравнений системы, вертикальная черта соответствует знакам равенства):

1) первую строку сохраняем (переписываем);

2) первую строку, умноженную на 2, прибавим 0 ко второй;

3) первую строку, умноженную на -2, прибавим к третьей;

4) первую строку прибавим к четвертой.

Получаем второй блок таблицы:

2. Приведем к единичному третий столбец, в нем уже имеется один нуль. Ведущий коэффициент обведен кружком. Далее:

1) вторую строку, умноженную на 3, прибавим к первой и запишем вместо первой строки;

2) перепишем вторую строку без изменения;

3) вторую строку, умноженную на —1, прибавим к третьей;

4) четвертую строку перепишем без изменения.

Эти действия выражаются числами и стрелками, показанными справа от второго блока таблицы. Третий блок таблицы имеет вид:

3. Следующая итерация заключается в получении третьего единичного столбца. Для этого примем в качестве ведущего коэффициента и выполним следующие действия: третью строку, умноженную на -5, —1, -2, прибавим к первой, второй и четвертой строкам соответственно. Третью строку переписываем без изменений. Получаем четвертый блок:

4. Наконец, последнюю итерацию выполним, выбирая в качестве ведущего коэффициента . Четвертую строку разделим на -3. Остальные действия очевидны. Получаем:

5. После четырех итераций получили таблицу, соответствующую системе, разрешенной относительно всех неизвестных :

Запишем это также в виде: X = (-2,2,-3,1). Система определенно совместна.

Примечание:

Подставьте эти значения неизвестных в данную систему и убедитесь, что получаются верные числовые равенства.

Пример:

Решить линейную систему

Решение:

Каждый раз в качестве ведущего будем принимать простейший коэффициент, т.е. либо 1, либо — 1. Подчеркнем, что цель преобразований заключается в получении нулей в ведущем столбце. Как получить нулевые коэффициенты в единичном столбце, видно из решения примера 1. Для этого ведущую строку надо умножить на надлежащие числа (иногда на 1 или -1) и прибавить к остальным строкам, не содержащим 0 в этом ведущем столбце. Поэтому ограничимся выделением в каждом блоке ведущего коэффициента, не комментируя сами преобразования и не указывая соответствующие числа со стрелками. Результаты вычислений поместим в единую таблицу Гаусса, которая имеет следующий вид:

Последние две строки удалены как нулевые (они соответствуют тривиальным уравнениям).

Из последнего блока таблицы получаем систему

выражающую «почти» общее решение исходной системы. Смысл слова «почти» заключается в неравноправном участии неизвестных.

Положим ( — произвольные постоянные или параметры).

представляет общее решение системы в параметрическом виде. Все неизвестные выражены (равноправно) через два параметра

Решения, получаемые из общего при фиксированных значениях параметров , называются частными.

Например, при получаем:, , ,

При получаем . Базисное решение соответствует нулевому набору свободных переменных: если то

Ответ запишем так:

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Вместо таблицы Гаусса будем использовать другую, более компактную интерпретацию ее блоков. Вертикальная черта в блоках соответствует знакам равенства в уравнениях системы. Знак

(читается «тильда») между двумя соседними блоками означает, что системы, соответствующие этим блокам, равносильны. Имеем:

единичный столбец второго блока получен в результате умножения первой строки на —3, —3, -1, -4 и последующего прибавления ко второй, третьей, четвертой и пятой строкам соответственно; во втором блоке произвели почленное деление четвертой и пятой строк на 3 и —3, т. е. сокращение уравнений

Вторая и третья строки четвертого блока отброшены как пропорциональные пятой. Заметим, что выделение ведущего (разрешающего) элемента однозначно определяет действия по обнулению элементов ведущего столбца, поэтому мы отказались от применения чисел и стрелок, обозначающих действия над строками блока.

Последний блок изображает систему, состоящую из трех уравнений с четырьмя неизвестными Соответствующая система приведена к трем базисным неизвестным; разрешая ее относительно этих неизвестных, получаем

Положим затем . Тогда общее р базисное решения принимают вид соответственно:

Заметим, что переменную нельзя получить среди свободных (свободная переменная может принимать любые значения, тогда как ).

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

В предыдущих примерах преобразования Жордана-Гаусса свелись к действиям над уравнениями системы, или строками таблицы, потому что все ведущие коэффициенты были равны 1. Если же ведущие коэффициенты отличны от 1, то действия над строками могут вызывать затруднения, и в таких случаях следует пользоваться формулами преобразования Жордана-Гаусса, т.е. правилом прямоугольника.

С целью экономии места решение этой системы приведем также в блоковой записи:

(последняя строка пропорциональна первой, поэтому она удалена). Подчеркнем, что цель наших преобразований состоит в получении единичных столбцов.

Приведем примеры применения правила прямоугольника в третьем блоке. При этом одна из вершин каждого прямоугольника должна совпасть с ведущим элементом противоположная вершина — с элементом, подлежащим пересчету:

Из последнего блока получаем общее решение системы в базисе

При получаем частное решение Базисное решение имеет вид

Примечание:

Метод Гаусса (усеченный метод Жордана-Гаусса) допускает получение в очередном блоке таблицы Гаусса столбца, отличного от единичного, т.е. неизвестную не обязательно исключать из всех уравнений, кроме одного. В этом случае говорят о приведении системы уравнений к ступенчатому виду. Это важно в смысле экономии времени, когда коэффициенты системы «неудобные», особенно, если система окажется неразрешимой.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Нули в столбцах будем получать только под диагональю соответствующей матрицы.

Последняя строка выражает противоречивое уравнение — система несовместна.

Метод Крамера

1°. Если в системе (1) число уравнений равно числу неизвестных

и система имеет единственное решение, то оно может быть найдено при помощи формул Крамера

где — основной определитель системы (3), который символически записывается так:

а получаются из , если в нем заменить соответственно первый, второй, …, n-й столбец на столбец из свободных членов. называется определителем порядка n: он состоит из п строк и п столбцов.

Сначала рассмотрим определение и вычисление определителей различных порядков n.

2°. Если , то состоит из одного элемента (числа) (в этом случае вертикальные черточки означают «определитель», а не «модуль»). По определению

Если то

3°. Для указания способа вычисления определителя третьего и более высоких порядков (см. (5)) введем необходимые понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя (5) называется определитель порядка (n — 1), получаемый из (5) вычеркиванием строки с номером i и столбца с номером j.

Величина и называется алгебраическим дополнением элемента .

Например, для определителя третьего порядка

4°. Способ вычисления определителя порядка п выражается следующей теоремой о разложении определителя по строке или столбцу (под линией понимается строка или столбец).

Теорема:

Определитель порядка равен сумме произведений элементов какой-либо линии на их алгебраические дополнения.

Теорема:

Сумма произведений элементов какой-либо линии на алгебраические дополнения другой параллельной линии равна нулю.
Например, для определителя из п. 3° по первой строке. Получаем
воспользуемся разложением

5°. С теоретической точки зрения при вычислении определителя безразлично, какую строку или какой столбец взять для разложения. С практической точки зрения лучше брать ту линию, которая содержит нулевые элементы, и чем их больше, тем лучше.

Например, для вычисления определителя четвертого порядка

лучше брать сначала разложение по третьему столбцу:

Этот определитель третьего порядка разложим по первому столбцу:

6°. При вычислении определителей порядка могут оказаться полезными следующие их свойства.

1) При транспонировании (так называется действие замены строк столбцами и столбцов строками с сохранением их порядка) значение определителя не изменяется. Таким образом, строки и столбцы определителя равноправны.

2) Если определитель содержит нулевую линию (т. е. состоящую из одних нулей) или две параллельные пропорциональные линии, то его значение равно 0.

3) При умножении любой линии на произвольное число значение определителя умножается на это число. Иными словами, общий множитель элементов некоторой линии можно вывести за знак определителя.

4) При перестановке двух параллельных линий значение определителя изменяется на противоположное (определитель меняет знак).

5) Значение определителя не изменится, если к элементам произвольной линии прибавить соответственные элементы любой другой параллельной линии, умноженные на одно и то же число.

7°. Теорема 3 (Крамера). 1) Если для квадратной системы (3) то она имеет единственное решение, которое определяется по формулам (4).

2) Если и хотя бы один из определителей то система несовместна.

3) Если то система (3) неопределенно совместна.

Примечание. В случае 3) решить систему можно методом Жор-дана-Гаусса. Вместе с тем ее можно решить также методом определителей. Только формулы Крамера применимы не к системе (3), а к модифицированной системе (см. пример 4 ниже).

8°. Определители третьего порядка встречаются чаще. Поэтому для них (и только) покажем два простых правила вычисления.

а) Правило параллельных линий заключается в следующем. К исходному определителю приписываем два первых столбца и составляем две группы произведений, как указано на диаграмме:

б) Правило Саррюса (треугольников) заключается в том, что множители произведений, составляющих суммы А и В, образуют фигуры, показанные на следующей диаграмме:

(показана только фигура А)

Примеры с решениями

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

По формулам Крамера: или

Пример:

Решение:

Следовательно, или

Пример:

Решение:

Вычисление следующих определителей основано на свойствах 2) и 5) из п. 6°. Имеем

Стрелка с числом обозначает умножение соответствующей строки на это число и прибавление результата к указанной стрелкой строке. Далее:

Пример:

Решение:

Имеем (предлагаем самостоятельно убедиться в этом):

Система неопределенно совместна. Покажем, как обойтись формулами Крамера в этом случае.

Если первое уравнение прибавим ко второму, то получаем систему

Не прибегая к методу Жордана-Гаусса, перепишем систему так (это будет модифицированная система):

Следовательно, Система имеет беско нечное множество решений.

Общее решение имеет вид или

Пример:

Решение:

Теорема Крамера непосредственно к этой системе не применима, так как система не квадратная. Тем не менее систему можно решить относительно трех каких-либо неизвестных, если соответствующий определитель отличен от нуля. Перепишем систему в виде

Основной определитель

Вторая (модифицированная) система может быть решена по формулам Крамера, если принять в качестве свободных членов выражения, стоящие в правых частях уравнений (они содержат свободные неизвестные, что и оправдывает их название). Рекомендуем проверить равенства:

(перепишите общее решение в параметрической форме);

Метод обратной матрицы

1°. Матрицей размерности называется таблица, состоящая из чисел или выражений, называемых элементами и расположенных в m строках и n столбцах:

Можно обозначать или просто .

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размерности и элементы, стоящие на одинаковых местах (i,j), равны.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю:

Если число строк m матрицы (6) равно числу столбцов n, то такая матрица называется квадратной.

Элементы квадратной матрицы (с одинаковыми строковыми и столбцовыми индексами) составляют главную диагональ. Другая диагональ матрицы называется побочной.

Квадратная матрица Е называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1, а все остальные — нулю:

Замена строк столбцами, а столбцов — строками (с сохранением их порядка) называется транспонированием матрицы.

2°. Для матриц определяются три действия: умножение матриц на число, сложение (вычитание) и умножение матриц.

1) Произведение матрицы А на число есть матрица , или , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число .

2) Суммой А + В (разностью А — В) матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов Имеем А + В = В +А.

Например, (2 — 1 4) + (0 2 5) = (2 1 9);

3) Произведение АВ определяется не для произвольных матриц A и В. Оно имеет смысл только в том случае, когда число столбцов

А равно числу строк В. При этом есть матрица С, каждый элемент которой равен сумме последовательных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

А и число строк матрицы В).

сравнивая видим, что, вообще говоря, невыполнимо (число столбцов первой матрицы не равно числу строк второй);

— это «редкий случай», когда

—произведение двух ненулевых матриц может быть нулевой матрицей.

3°. Действия с матрицами обладают следующими свойствами:

2) АЕ = ЕА = А <А — квадратная матрица). Например,

если , то (указание:

Например, в этом можно убедиться на следующих парах матриц:

5°. Квадратная матрица А называется невырожденной, если соответствующий определитель (называемый определителем матрицы и обозначаемый det А) отличен от нуля; если det А = 0, то А называется вырожденной матрицей.

Матрица, обозначаемая называется обратной для матрицы А, если

Теорема:

Если А — невырожденная квадратная матрица, то для нее существует обратная матрица, которая может быть определена по формуле

где алгебраическое дополнение элемента в det А .’

6°. Система из m линейных уравнений с n неизвестными может быть записана в матричной форме так (согласно определениям произведения матриц и равенства матриц):

Теорема:

Если (7) — квадратная система (т = п) и то ее решение может быть определено по формуле

7°. Обратную матрицу можно найти методом элементарных преобразований Жордана-Гаусса, а вычисления производить в таблице Гауcса. Блоки таблицы Гаусса делятся на две равные части. В левую часть блока заносятся элементы квадратной невырожденной матрицы А, для которой надо найти обратную матрицу . Правая часть блока заполняется элементами единичной матрицы той же размерности, что и А. Выполняя преобразования над строками блока с целью получения единичной матрицы в левой части таблицы, в правой ее части получаем искомую обратную матрицу.

Примеры с решениями

Пример:

Решить систему

Решение:

Получили или

Пример:

Решение:

Следовательно, А — невырожденная матрица, поэтому она обладает обратной матрицей .

Вычислим 9 алгебраических дополнений:

Согласно теореме 1

Настоятельно рекомендуем проверить равенства

Таким образом, по теореме 5, имея в виду обозначения (8), получаем

Пример:

Найти , если

Решение:

В левую часть первого блока таблицы Гаусса заносим элементы матрицы А. В правую часть блока записываем единичную матрицу третьего порядка. Переход от одного блока к следующему осуществляем при помощи формул Жордана-Гаусса. Ведущие коэффициенты обведены. Рабочая таблица имеет следующий вид:

Ранг матрицы. Исследование систем

1°. Обратимся к матрице (6) . В ней фиксируем некоторые строк и столбцов. Из элементов, стоящих на пересечениях этих строк и столбцов, можно составить минор (определитель) порядка. Он может равняться нулю или’ нет. Наибольший из порядков всевозможных отличных от нуля миноров , где = 1,2,… ,min(m, п), называется рангом матрицы А и обозначается rank А. Очевидно, что

2°. Простейший способ определения ранга матрицы состоит в приведении ее к ступенчатому виду или к единичным столбцам при помощи последовательности элементарных преобразований, к которым относятся:

— умножение строки на произвольное число, отличное от нуля;

— прибавление к некоторой строке любой другой строки, умноженной на любое число;

— вычеркивание нулевой строки.

Элементарным преобразованиям матрицы соответствуют элементарные преобразования системы уравнений.

Теорема:

Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранг.

Между рангом матрицы А и рангом системы уравнений есть связь, выражаемая следующей теоремой.

Теорема:

Ранг системы уравнений равен rank А.

4°. Иногда важно знать, совместна или нет система уравнений , не интересуясь самим решением этой системы.

Если к матрице А присоединим столбец В свободных членов системы, то получаем расширенную матрицу

Теорема:

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности системы. уравнений необходимо и достаточно, чтобы

4°. Однородной называется система уравнений

Эта система всегда имеет нулевое решение или Х° = (0,0…,0).

В связи с однородной системой возникает вопрос: при каких условиях она имеет нетривиальное (ненулевое) решение? Ответ выражается через соотношение m и n в терминах ранга матрицы А, составленной из коэффициентов системы при неизвестных.

Теорема:

Если то система (9) всегда имеет ненулевое решение.

Теорема:

Система (9) имеет ненулевое решение, если

Свойства множества ненулевых решений однородной системы выражаются теоремой.

Теорема:

1) Если — некоторое решение системы (9), то ( — произвольное действительное число) тоже является решением системы (9).

2) Если — два различных решения системы (9), то где — произвольные действительные числа, также являются решениями системы (9).

5°. Предположим, что однородную систему (9) можно разрешить относительно первых неизвестных ( — ранг системы (9)):

Неизвестные являются свободными, и они могут принимать произвольные действительные значения. Предположим, что набор принимает последовательно значения (1,0,0…..0), (0,1,0…..0), …, (0,0…..0,1). Этим наборам соответствуют частные решения .

Множество этих решений называется фундаментальной системой решений (9).

Теорема:

О структуре общего решения однородной системы. Общее решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию решений фундаментальной системы

где — произвольные действительные постоянные.

Рассмотрим теперь неоднородную систему

Система (9) называется однородной системой, соответствующей неоднородной системе (10).

Теорема:

О структуре общего решения неоднородной системы. Общее решение неоднородной системы (10) равно сумме где — общее решение соответствующей однородной системы (9), а — некоторое частное решение системы (10)

Примеры с решениями

Пример:

Определить ее ранг.

Решение:

Миноры более высоких порядков составлять нельзя. Ответ: rank А = 3.

Пример:

Найти ранг матрицы

Решение:

После вычитания первой строки из всех остальных (из последней — с множителем 2) получаем эквивалентную матрицу

Поскольку три строки промежуточной матрицы были пропорциональны, то из них можно получить две нулевые строки, которые мы отбросили.

Ясно, что rank А = 2, ибо

Пример:

Выяснить, разрешима ли система

Решение:

Напишем расширенную матрицу и получим в ней как можно больше единичных столбцов. Каждый раз ведущий коэффициент обведем кружком:

На языке (в терминах) уравнений последней строке соответствует уравнение — это противоречивое уравнение. Однако нас интересует матричная терминология. Напомним, что А — основная матрица, она расположена левее вертикальной черты. Последняя ее строка нулевая, значит rank А не может быть больше, чем 3. А минор порядка 3, не равный нулю, существует:

В расширенной матрице последняя строка ненулевая. Найдем в ней минор , не равный нулю. Вот он:

(разложили по последней строке). Итак Система несовместна (теорема 6).

Пример:

Решение:

Решим сначала однородную систему

Вычтем из третьего уравнения сумму первых двух. Получим тривиальное уравнение, которое отбросим. Затем из второго уравнения вычтем первое. Получим равносильную систему

Свободным переменным дадим последовательно значения (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Получим три частных решения Они составляют фундаментальную систему решений однородной системы. Общее решение однородной системы имеет вид

Для получения общего решения неоднородной системы нужно какое-то частное решение. Заметим, что удовлетворяет неоднородной системе (откуда взялось это решение; несущественно). Тогда

где — произвольные действительные постоянные (параметры).

Отсюда при различных значениях постоянных получаем различные частные решения исходной системы.

Системы линейных уравнений и их вычисление

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и п неизвестных, называется система вида

где числа называются коэффициентами системы, числа — свободными членами. Подлежат нахождению числа .

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме

Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:

Произведение матриц определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице X (п штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется п значений неизвестных при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Пусть дана произвольная система m линейных уравнений с п неизвестными

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера-Капелли.

Теорема:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Примем ее без доказательства. Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема:

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема:

Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Правило решения произвольной системы линейных уравнений

Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если то система несовместна.
Если , система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные п — r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.
Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.
Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

Пример:

Исследовать на совместность систему

Решение:

Таким образом, следовательно, система несовместна.

Пример:

Решение:

Берем два первых уравнения:

Следовательно, — общее решение. Положив, например, получаем одно из частных решений:

Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера

Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными

или в матричной форме

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае Умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим . Поскольку , то

Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способом решения системы.

Матричное равенство (4.1) запишем в виде

Отсюда следует, что

Но есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак,

Аналогично: где получен из путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов;

называются формулами Крамера.

Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).

Пример:

Решение:

Значит,

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

где Коэффициенты называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Опишем метод Гаусса подробнее. Прямой ход.

Будем считать, что элемент (если , то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при отличен от нуля).

Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему

Здесь — новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом , исключим неизвестное из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.

Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0 = 0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида то это свидетельствует о несовместности системы.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные . Затем подставляем значение в предпоследнее уравнение системы и выражаем через затем находим Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

Замечанья: 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. , то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим , из предпоследнего уравнения далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные

На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на ).

Пример:

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы

исходная система свелась к ступенчатой:

Поэтому общее решение системы: Если положить, например, то найдем одно из частных решений этой системы

Пример:

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:

Полученная матрица соответствует системе

Осуществляя обратный ход, находим

Системы линейных однородных уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

Очевидно, что однородная система всегда совместна она имеет нулевое (тривиальное) решение

При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?

Теорема:

Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг г ее основной матрицы был меньше числа п неизвестных, т. е. r

Теорема:

Для того, чтобы однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т. е.

Если система имеет ненулевые решения, то Ибо при система имеет только единственное, нулевое решение. Если же , то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е. r

Решение:

Так как r

Положив получаем одно частное решение:

Положив получаем второе частное решение: и т. д.

Теория к системам линейных алгебраических уравнений

Пусть дано n неизвестных Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

здесь коэффициенты при неизвестных, причем i — номер уравнения, а j — номер неизвестного. Величины — свободные члены. В компактном виде систему можно записать так

или в матричной форме где

Матрица А называется основной (базовой) матрицей системы, X — Матрица-столбец неизвестных, В — матрица-столбец свободных членов. Если к основной матрице системы приписать столбец свободных членов, то получится расширенная матрица системы уравнений

Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, в противном случае система неоднородна. Линейные системы, полученные одна из другой путем элементарных преобразований (перестановкой двух уравнений, умножением одного из них на число, не равное нулю, почленным сложением двух уравнения), называются эквивалентными (или равносильными). Все эквивалентные системы имеют одинаковые решения. Число линейно независимых уравнений в системе (2.34) называется рангом этой системы.

Система (2.34) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения. Линейная система (2.34) является совместной, если ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы, т. е.

Пример:

Определить совместимость системы:

Составим расширенную матрицу системы и проведем с ней ряд элементарных преобразований, не меняющих ранг матрицы

Первую строку оставим без изменения, а во второй и третьей строках с помощью элементарных преобразований (от второй строки отнимем первую, а к третьей прибавим первую строку) в первом столбце получим нули, т. е:

Вычитая из третьей строки вторую, получим

Следовательно, система несовместна. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если у нее существует по крайней мере два различных решения.

Для совместной системы линейных уравнений возможны следующие случаи.

1.Если то исходная система заведомо имеет линейно зависимых уравнений и их можно исключить из системы. Те уравнения, коэффициенты которых образуют минор порядка r, не равный нулю, являются линейно независимыми и называются базисными. После исключения лишних уравнений систему исследуют снова (см. пункт 2 и 3).

2.Если то система имеет единственное решение.

3.Если то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример. Исследовать систему уравнений

Здесь Составим расширенную матрицу и упростим ее путем проведения элементарных преобразований (добавим ко второй строчке первую и вычтем из третьей первую и т. д.)

Система совместна, базисные уравнения -первое и второе. Третье уравнение является их линейной комбинацией и может быть отброшено. Эквивалентная система имеет вид

Решение этой системы:

Пример:

Построим расширенную матрицу

Система совместна, но т.к. то она имеет бесконечное число решений. Действительно, переписав исходную систему в виде

и положив получим решение системы

где k — произвольное число. Выбрав, например, получим такое решение если то и т. д.

Если число уравнений n равно числу неизвестных n, то система имеет вид

Если матрица А невырожденная то существует обратная матрица . Умножим равенство (2.40) на слева и выполним операции с матрицами. Получим,

Решение квадратной системы алгебраических уравнений в матричной форме сводится к построению обратной к А матрицы и последующему умножению ее справа на матрицу свободных членов:

Пример:

Решить систему алгебраических уравнений

Решение:

Вычислим определитель матрицы системы

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А

Присоединенная матрица и обратная матрица соответственно равны

По формуле (2.37) получим решение системы

Всякая однородная система

совместна, так как всегда имеет хотя бы нулевое решение: Такое решение называется три-виальным. Однородная система имеет ненулевые решения, если ранг этой системы меньше числа неизвестных Любая однородная система, у которой число уравнений меньше числа неизвестных, имеет нетривиальное решение. Квадратная однородная система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю.