Решение тригонометрические уравнения и неравенства 10 класс

Презентация к обобщающему уроку «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
учебно-методический материал по алгебре (10 класс)

Презентация может использоваться для самостоятельной работы при обобщении материала и подготовке к контрольной работе.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Тригонометрические уравнения и неравенства Обобщающий урок Алгебра-10 Луценко Ольга Александровна, учитель математики МБОУ «Средняя школа №23 г. Йошкар-Олы »

Как работать Сегодня весь урок ты будешь работать самостоятельно. Ты сможешь обобщить и систематизировать знания по решению тригонометрических уравнений и неравенств. В ходе урока ты сможешь проверить степень своей готовности к предстоящей контрольной работе. К концу урока постарайся зафиксировать свои ошибки (сколько, какие). В дальнейшем вместе с учителем ты сможешь разобрать эти ошибки. Удачи!

План урока Устная разминка Решение уравнений базового уровня Решение неравенств Решение уравнений повышенного уровня Дополнительное задание Подведение итогов

Вспомни формулы arcsin(- a ) = -arcsin a для любого а [-1,1] arctg(- a ) = -arctg a для любого а arc с tg(- a ) = π -arc с tg a для любого а arccos(- a ) = π -arcos a для любого а [0,1]

Устная разминка Вычисли и запиши в столбик ответы в тетради: 1 . arcsin 2 . arccos 3 . arctg 5. arcsin (– ) 4. arctg ( — ) 6 . arccos (- 1 ) 7 arc со s( — ) Проверь ответы: 6) π

Вспомни и запиши формулы для решения уравнений 1. с os x= a , | a |≤1 х = 2. sinx= a , | a | ≤ 1 х= 3. tgx= a х = 4. с tgx= a х = ±arccos a +2 π k (-1) ·arcsin a + π п а rctg a + π k arcctg a + π k

Реши уравнения базового уровня 1) 2со sx — = 0 2) sin2x =- 3) 2со s ( x — ) = -1 4) tg²x — 6 tg х+5=0 5) (2 sinx – 1)( cos х-1) =0 Проверь ответы: х= ± π /6+2 π k . х= (-1) · (- π /6 ) + π n/2 . 3) х= +2 π k , х= — + 2 π k . х= π /4+ π n , х= arctg5+ π k . х= (-1) · π /6 + π n , х= 2 π k . Если не верно Если верно К слайду 9 К слайду 10

Решение некоторых уравнений базового уровня со s ( x — ) = -1/2, 3) 2со s ( x — ) = -1, х — = ±arccos (-1/2) +2 π k , х= ± +2 π k , х- = ± +2 π k , х= +2 π k , х= — + 2 π k 4) tg²x — 6 tg х+5=0 Обозначим tg х=а. тогда а ² -6а+5=0 Отсюда а = 5, а = 1 , tg х=5 и tg х=1 х= ar с tg 5 + π k , х= arctg 1 + π k , х= + π k 5) (2 sinx – 1)( cos х-1)=0 Подсказка : произведение равно 0, если…

Решение неравенств Реши неравенства: 1 ) cos х > 2) sin х ≥0 3) cos х Проверь ответы: Если не верно Если верно К слайду 11 К слайду 12 1 )- π /6 +2 π k Проверь решения неравенств º º 1) cos х > у х 2) sin х ≥0 у х — π /6 +2 π k · º º π /4+ 2 π k Реши уравнения повышенного уровня 1. sin5 х = cos5 х 2. sin² х +cos ( π /2- х )sin( π /2- х )-2cos² х =0 3. tg(2 π + х )+ 2 tg( π /2+ х )= -1 Проверь ответы: 1. х = + 2. х= + π k , х= — arctg2+ π k 3. х= + π k , х= — arctg2+ π k Если не верно Если верно К слайду1 3 К слайду 1 4

Решение уравнений повышенного уровня 1. sin5 х =cos5 х ( однородное 1-й степени ) Разделим обе части на cos5 х. Получим: tg5x=1 , 5х= arctg1+ π k , 5х= π /4+ π k , х = + 2. sin² х +cos ( π /2- х )sin( π /2- х )-2cos² х =0 (однородное 2-й степени). Упростим левую часть по формулам приведения: sin² х +s in х ·cos х -2cos² х =0 . Разделим обе части на со s²x : tg²x + tgx -2=0, отсюда: tgx =1 и t gx =-2 х= + π k , х= — arctg2+ π k 3. tg(2 π + х )+ 2 tg( π /2+ х )= -1 , tg х- 2/ tg х = -1 . Умножим обе части на tg х, при условии tgx≠ 0.Получим: tg²x- 2 =-tgx , tg²x + tgx -2=0, отсюда: tgx =1, tgx =-2. х= + π k , х= -acrctg2+ π k

Дополнительно 1. Реши уравнение: 2 sin( -х )= и найди: а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие промежутку [ 0 , π ] 2.Реши уравнение: sin² 2 x -3=2 sin2 х cos2x

Подведение итогов Итак, мы закончили изучение очень важной темы « Тригонометрические уравнения и неравенства». К этой теме мы вернёмся при изучении следующей главы «Преобразование тригонометрических выражений». Сегодня на уроке повторили общие формулы решений простейших тригонометрических уравнений, а также частные формулы. На уроке также были рассмотрены основные виды и способы решения тригонометрических уравнений: разложение на множители; замена переменной; однородные тригонометрические уравнения 1-й и 2-й степени. Если было что-то непонятно, обратись к учителю.

Решение тригонометрических уравнений и неравенств. 10-й класс

Класс: 10

Презентация к уроку

Урок-игра: “Соревнование по тяжелой атлетике”

Образовательные:

• повторение, обобщение и систематизация теоретических знаний методов решения тригонометрических уравнений;
• отработка способов решения тригонометрических уравнений;
• развитие графической культуры;
• расширение представления учащихся о решении тригонометрических уравнений в нестандартных ситуациях.

Развивающие:

• развитие мышления, математической речи, внимания, памяти.

Воспитательные:

• воспитание чувства ответственности, культуры общения, общей культуры.

Оборудование: проектор, презентация, карточки.

“Предмет математики настолько серьезен, что полезно
не упускать случая делать его немного занимательным”.
Паскаль

I. Организационный этап. Постановка цели и задач.

Сегодня мы проводим необычный урок. Урок-соревнование командное по тяжелой атлетике по теме “Решение тригонометрических уравнений и неравенств”.

Цель соревнования: повторить, обобщить и систематизировать материал темы; повторить чтение графиков, расширить представление о решении тригонометрических уравнений в нестандартных ситуациях.

В наших соревнованиях принимают участие четыре команды. В каждой команде есть капитан.

Итак, капитаны представьте свои команды: sinx, cosx, tgx, ctgx.

За правильностью хода наших соревнований будет наблюдать жюри.

Наши соревнования будут проходить в несколько этапов. На каждом этапе на помост будут вызываться атлеты определенной категории:

Каждый этап будет оцениваться определенным количеством баллов, которые затем будут переводиться в кг умножением на 10. В результате победителем будет та команда, которая возьмет самый тяжелый вес. Все результаты будут заноситься в таблицу.

II. Актуализация опорных знаний. “Разминка”.

Итак, начинаем I этап подготовительный. “Разминка”. На этом этапе принимает участие вся команда. Все должны разогреть свои мышцы, привести в порядок свои мысли. “Разминка” будет проходить по кругу (sinx —> cosxtgx ctgx). И состоит она из трех групп заданий.

Проговорить формулу нахождения корней следующих уравнений:

sinx=а, cosx=a, tgx=a, ctgx=a.

arccos	arcsin	arctg
arccos	arcsin)	arctg (- )
arccos	arcsin	arctg
arccos 2	arcsin	arctg)

sinx= 0	sinx=1	sinx= -1
cosx=0	cosx=1	cosx= -1
tgx=0	tgx=1	tgx= -1
ctgx=0	ctgx=1	ctgx= -1

Жюри сразу же подводит итог “Разминки” и результат заносится в таблицу.

Итак, команды разогрелись. Мы повторили ключевые моменты для решения тригонометрических уравнений и неравенств. Теперь смело можем переходить на следующий этап, “Кто смелее?”.

III. Основной этап.

Конкурс “Кто смелее?”

На помост вызываются тяжелоатлеты легкого веса. Вам будут предложены, три набора карточек: “зеленые”, “желтые”, “красные”. На каждой карточке записано по одному уравнению разного уровня сложности. Каждой команде предоставляется право выбора, из какой группы взять карточку. По одному представителю выходят к доске, тянут карточку, выбранного цвета и решают. Соответственно, если вы решите уравнение по зеленой карточке, то возьмете вес 40 кг (4б*10), по желтой 60 кг, красной – 80 кг.

Каждая команда имеет право на вторую и 3-ю попытку взятия веса (т.е. по две подсказке) если, конечно это будет необходимо.

I уровень (4б)	II уровень( 6б)	III уровень (8б)
зеленые	желтые	красные
2cos=	sin(+x)=cos()	2sinx –sin 2 x=cos 2 x
3tg2x=	cos(+x)=sin	cosx+cos 2 x= – sin 2 x
2sin=-1	sin(+x)=sin	(cosx — 1) 2 =cos 2 x — 1
ctg =1	cos(+x)=sin(- )	cos 2 x+cosx=-sin 2 x

Команды следят за ходом решения. Кто первый готов, тот и отчитывается первый. Жюри сразу же подводит итог.

Итак, мы повторили решение простейших тригонометрических уравнений, можем смело переходить на следующий этап соревнований. “Кто сообразительнее?”

Конкурс. “Кто сообразительнее”.

Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах. Г.Цейтен

Соревнуются тяжелоатлеты среднего веса.

Как часто первое наше затруднение при решении тригонометрических уравнений заключается в том, что мы не видим приема решения таких уравнений.

Назовите типы тригонометрических уравнений.

• Простейшие тригонометрические уравнения.
• Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям.
• Однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени.
• Тригонометрические нестандартные уравнения.

Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений:

• Метод разложения на множители.
• Метод введения новой переменной.
• Решение тригонометрических уравнений как однородное.

Перед вами записано 10 уравнений:

1	2sin 2 x +5cosx=4
2	sinx+sin5x=0
3	2sin(x/4)cos3x – cos3x=0
4	6sinxcosx=5cos2x
5	sin x+cosx=0
6	cosx=sin 2 xcosx
7	2cos 2 x — cosx – 1=0
8	cos2x +9sinx + 4 =0
9	sin 2 x + 9cos 2 x =5sin2x
10	3sin 2 2x + 0,5sin4x=4cos 2 2x

Тяжелоатлеты среднего веса берут листок с таблицей ответов, следующего типа:

Ваша задача: глядя на уравнение, не решая его, определить метод решения, и номер этого тригонометрического уравнения, написать в соответствующий столбец заготовленной таблицы. Как только команды будут готовы, оригинал они сдают, а копию оставляют себе. А затем также по кругу идет проверка (отвечают тяжелоатлеты среднего веса). За каждое верно поставленное уравнение 30 кг (3б*10).

Жюри подводит итог.

Итак, мы повторили основные методы решения тригонометрических уравнений и теперь можем смело приступать к самому тяжелому решению таких уравнений. Т.е. мы переходим на следующий этап соревнований. “Кто больше?”

Конкурс. “Кто больше?”

Каждая команда получает карточку с заданием. Около каждого задания проставлены баллы (*10) в соответствии с уровнем сложности. Атлет тяжелого веса распределяет задания между членами команды (можно с помощью капитана) и каждый приступает к решению на отдельном листочке (подписанном: фамилия и название команды). На все решение дается 7 мин. Как только время истечет, все листочки сдаются. Жюри подводит итог. Какая команда больше решит и правильно, та и возьмет больший вес на данном этапе.

1	sinx=cos 2 xsinx	10 б
2	3 — 3cosx=2sin 2 x	10 б
3	7sin 2 x +4sin2x=7cos 2 x	10 б
4	cos2x 1	15 б
5	2sin3x -1	15 б
6	tg 2 xtgx=0	10 б
7	cos2x + 2cos4x=1	15 б
8	cos( + 2)	20 б
9		20 б
10	4sin 2 2x + 3 =4cos 2 x	20 б

По истечении времени команды сдают листы и жюри подводит итог.

Итак, вы применили все свои знания о методах решения тригонометрических уравнений непосредственно в ходе решения.

Но кроме вышеперечисленных приемов решения есть еще один — графический.

Переходим к следующему этапу “Кто быстрее?”.

Конкурс. “Кто быстрее”.

На помост вызываются тяжелоатлеты супер тяжелого веса. Вам предложено решить одно уравнение:

Поможет в решении данного уравнения вам следующая таблица графиков:

Оформляете решение на листочках (т.е. строите графики). Кто первый решит, поднимает руку и т.д. Кто решит быстрее всех и правильно, тот возьмет вес 100 кг (10б * 10), второй – 80 кг; третий – 50 кг; четвертый 30 кг.

По окончании жюри подводят итог.

Итак, мы закончили соревнование атлетов. Вы видите как они прекрасно выступили. Но чтобы достичь таких высоких результатов спортсмены долгое время проводят на тренировках. Вот сейчас и послушаем отчет тренировок. Переходим к следующему этапу “Тренировка” (дом. задание).

Капитаны каждой команды представляет решение физической задачи с применением решения тригонометрических уравнений. Наибольший вес, который может взять капитан равен 100 кг.

Капитаны по очереди представляют задачи.

Пример: Амплитуда колебаний 10 см, а частота 0,5Гц. Написать уравнение х=х(t) и построить его график. Найти фазу и смещение через 1,5 с. Определите, через сколько времени смещение будет 7,1 см?

По окончании жюри подводят итог.

Моё настроение		Своей работой на уроке я		Материал урока мне был
		не доволен	доволен	бесполезен	полезен	скучен	интересен

V. Домашняя работа. 18.23 (б), 18.33 (б), 18.3 (б).

Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания

Курс математики корпорации «Российский учебник», авторства Георгия Муравина и Ольги Муравиной, предусматривает постепенный переход к решению тригонометрических уравнений и неравенств в 10 классе, а также продолжение их изучения в 11 классе. Представляем вашему вниманию этапы перехода к теме с выдержками из учебника «Алгебра и начало математического анализа» (углубленный уровень).

1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.

Решение. Косинус — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C(0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P_α° и P_β°, симметричных относительно оси абсцисс.

С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой P_α°:

α° ≈ 37° + 360°n, где n — любое целое число.

В силу симметрии относительно оси абсцисс точка P_β° — конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:

β° ≈ –37° + 360°n, где n — любое целое число.

Ответ: 37° + 360°n, –37° + 360°n, где n— любое целое число.

Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.

Решение. Синус — это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D(0; 0,5).

Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P_φ и P_π–φ, симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKP_φ катет KP_φ равен половине гипотенузы OPφ, значит,

Общий вид углов поворота с конечной точкой P_φ:

где n — любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой P_π–φ:

где n — любое целое число.

Ответ: где n — любое целое число.

2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример 2. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC. Прямая OC пересекает единичную окружность в точках P_α° и P_β° — концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n — целое число). С помощью транспортира находим, что угол P_α° OP₀ равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n — целое число)

По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,

Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.