Решение тригонометрических уравнений алгебра 10 класс решение

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

Образовательные:
- углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
- сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
Воспитательные:
- воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
- формирование умения анализировать поставленную задачу;
- способствовать улучшению психологического климата в классе.
Развивающие:
- способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
- способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

решение тригонометрических уравнений 10 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Содержание

Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

1. Метод разложения на множители

2. Метод введения новой переменной

3. Функционально-графические методы

ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений

ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром

V. Тесты для самостоятельного решения

Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

Все тригонометрические уравнения сводятся к простейшим. Поэтому особое внимание следует уделять решению простейших уравнений. Начинать нужно с самых простых.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида:

Для каждого из простейших тригонометрических уравнений определены формулы, справедливость которых обосновывается с помощью тригонометрического круга и с учетом периодичности тригонометрических функций.

sinx =0, x= πn, nєZ

sinx =–1, x= –+2πn, nєZ;

sinx =1, x=+2πn, nєZ;

x= π– arcsin а +2πn, nєZ.

В последнем случае для сокращения записи используют формулу:

x=(–1) n arcsin а + πn, nєZ.

cos x=0, x= – + π n, n є Z;

cos x=–1, x= π +2 π n, n є Z;

cos x=1, x=2 π n, n є Z;

cos x= а , | а | а +2 π n, n є Z.

Решения уравнения tg x =а и ctg x =а записываются существенно проще:

x = arctg а +π n , n є Z и, соответственно, x = arc с tg а +π n , n є Z .

Пример 1. Решить уравнение sinx = .

Решение: так как n arcsin + πn, nєZ.

Ответ: (–1) n arcsin + πn, nєZ.

Пример 2. Решить уравнение cos x =.

Решение: так как >1, значит уравнение не имеет решения.

Ответ: нет решения.

Пример 3. Решить уравнение tg x + = 0.

tg x+ = 0

tg x = –

x = arctg (– ) + π n, n є Z

x = – arctg + π n, n є Z

x = – +2 π n, n є Z;

Ответ: –+2πn, nєZ.

Пример 4. Решить уравнение 2 cos x = –.

2cos x = –

cos x = –

x= ± arccos (– )+2 π n, n є Z

x= ±( π – arccos )+2 π n, n є Z

x= ±( π – )+2 π n, n є Z

x = ± + 2 π n, n є Z

Ответ : ± + 2 π n, n є Z.

Для отработки общих формул решения простейших уравнений можно предложить для устного решения задания такого вида.

Образуют ли арифметическую прогрессию расположенные в порядке возрастания положительные корни уравнения : sinx =0; cosx = 0,5; tg x =1.

На начальном этапе, пока не отработаны навыки использования общих формул решения простейших уравнений желательно прописывать эти формулы, чтобы учащиеся быстрее их запомнили.

Далее нужно переходить к решению более сложных уравнений, которые чаще всего встречаются в вариантах ЕГЭ в разделе А.

Пример 5. Решить уравнение cos = .

Решение: cos =

Это уравнение сводится к простейшему cos t = заменой t =, которую можно не прописывать.

= ± arccos +2π n , n є Z

= ± +2π n , n є Z

х = ± + 10π n , n є Z

Ответ: ± + 10π n , n є Z .

Пример 6. Решить уравнение: sin (2 x –) = .

Решение: sin (2 x –) =

2 x –= (–1) n arcsin + π n , n є Z

2 x – = (–1) n + π n , n є Z

2 x – = ++ 2π n , n є Z

2 x – = –+ (2m + 1)π,mєZ

2 x = + 2πn, n є Z

2 x =π + 2πm, mє Z

x = + πn, n є Z

x = + πm, mє Z

Ответ: + πn, + πm, n ,mє Z .

Так же нужно обратить внимание учащихся на то, что довольно часто исходное уравнение приводится к простейшему лишь после различных тождественных преобразований и применения формул тригонометрии.

Пример 7. Решить уравнение 4 sin 3 x cos 3 x =1.

Решение : 4 sin3x cos 3x =1

2(2sin3x cos 3x) =1

sin6x =

6x = (–1) n + π n, n є Z

x = (–1) n + n, n є Z

Ответ: (–1) n + n , n є Z .

Часто предлагается решить тригонометрическое уравнение на некотором промежутке. Целесообразно начинать решать такие уравнения до вывода общих формул решения простейших тригонометрических уравнений.

Пример 8. Найдите корни уравнения 2 cosx = –1, принадлежащие промежутку [0;2π].

cosx = –

Выбор значений x , которые принадлежат указанному промежутку можно выполнить различными способами.

Наиболее рационально это делать с помощью единичной окружности.

x₁ = ; x₂ = .

Ответ: ;.

В тестах часто требуется не просто найти корни, принадлежащие данному промежутку, а вычислить их сумму или разность; определить наибольший или наименьший корень; указать количество корней.

Пример 9. Найдите сумму корней уравнения ( cos 2 x –1)(2 sin – 1) = 0, принадлежащих промежутку [–; π ).

Решение: x₁ = 0; x₂ = , x₁ + x₂ =

Ответ: .

1. Найдите сумму корней уравнения 2 sinx = –1 на указанном промежутке

2. Найдите количество корней уравнения 4 cos 2 2х = 1 на указанном промежутке

3. Найдите сумму наименьшего положительного и наименьшего отрицательного корней уравнения sinx cos + sin cos х = на указанном промежутке

Уже при решение простейших тригонометрических уравнений полезно предлагать нестандартные уравнения.

Пример 10. Решить уравнение cos x 2 = 1.

Можно дать это уравнение для самостоятельного решения.

Найдутся ученики, которые решат его в одну строчку:

х = , kЄZ.

Целесообразно продемонстрировать это решение на доске и предложить ученикам найти допущенные ошибки.

В случае затруднений, чтобы внести полную ясность, решить для начала уравнение

Его решение имеет вид х = ± при а0.

Если а sinsinx = 1.

Решение: sinsinx = 1.

sinx = +2πn, nєZ

Выражение |+2πn | > 1 при любых значениях n , nєZ.

Поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

Метод разложения на множители.

Этот метод заключается в том , что исходное уравнение сводится к уравнению вида

f ( x ) g ( x ) h ( x ) = 0, которое можно заменить совокупностью уравнений, каждое из которых сводится к простейшему.

Решив уравнения совокупности нужно взять только те решения, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные корни отбросить.

Пример 1. Решить уравнение sin 4 x = 3 cos 2х.

sin 4 x = 3 cos 2х.

2 sin 2 x cos 2х = 3 cos 2х

Получив такое уравнение, ученики достаточно часто делают ошибку, «сократив» левую и правую части уравнения на cos 2х. Некоторые из них при этом оговаривают, что cos 2х 0,но одной оговорки здесь, увы, недостаточно. Необходимо ещё рассмотреть случай, когда cos 2х = 0, и проверить, не являются ли значения х, удовлетворяющие этому равенству, корнями исходного уравнения. Разумеется, лучше всего не делить левую и правую части уравнения на cos 2х, а разложить на множители

(2 sin 2 x – 3) cos 2х = 0.

Полученное уравнение равносиьно совокупности двух уравнений

х = , nЄZ.

Первое уравнение решения не имеет, так как функция синус не может принимать значений по модулю больших единицы. К сожалению, не все ученики это понимают, а из тех, кто понимает, не всякий вспоминает вовремя.

Ответ: , nЄZ.

Пример 2. Решить уравнение sin 2 x = sin 4 x

Решение: некоторые учащиеся, встретив такое уравнение, решительно записывают

2х = 4х или 2х = 4х + 2πn, nЄZ, что приводит к потере решений исходного уравнения.

Решение исходного уравнения состоит в переходе к уравнению sin 2 x – sin 4 x = 0

и последующем применении формулы для преобразования разности тригонометрических функций в произведение

2 cos = 0

Ответ:

Пример 3. (ЕГЭ 2009г. Вариант 1, С2.).

Найдите все значения , при каждом из которых выражения

принимают равные значения.

Ответ:

Пример 4. (ЕГЭ 2009г. Вариант 2, B 7.).

Найдите наименьший корень уравнения

Решение:

Ответ:

Метод замены переменной.

В школьном курсе в основном рассматриваются уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f ( x ),где f ( x ) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.

Пример 5. Решить уравнение cos 2 π x + 4 sin π x + 4 =0

Решение: 1 – sin 2 π x + 4 sin π x + 4 =0

– sin 2 π x + 4 sin π x + 5 =0

Заменим sin πx = t , -1

t ₂ не удовлетворяет условию -1

πx = –

х = –

Ответ: –

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Уравнение вида а sinx + b cosx =0, где а и b –некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sinx и cosx .

Уравнение вида а sin 2 x + b cos 2 x + с =0, где а,b,с – некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sinx и cosx .

Пример 6. Решить уравнение sinx – cos х = 0.

Решение: легко убедиться, что cosx = 0 не является корнем исходного уравнения.

В самом деле, если cosx = 0, то, в силу исходного уравнения, и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Этот факт позволяет разделить левую и правую части уравнения на cosx .

Получим уравнение tg x = 1, откуда х =

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение sin 2 x – 3 sinx cos х + 2 cos 2 x = 0.

Решение: поскольку cosx = 0 не является корнем tg x данного уравнения,

разделим левую и правую части уравнения на cos 2 x . В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,

решив которое, получим

Ответ:

Введение вспомогательного аргумента.

Уравнение вида а cosx + b sinx = с, где а, b, с –некоторые числа, причем

называют линейными тригонометрическими уравнениями.

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

Так как а 2 + b 2 >0, то можно разделить обе части уравнения на , получим

Введём в рассмотрение угол такой, что

Угол , удовлетворяющий этим двум условиям, принято называть дополнительным (или вспомогательным) аргументом. Для любых значений а и b такой угол существует, так как

Вообще, полезно напомнить учащимся, что любые числа p и g такие, что

p 2 + g 2 = 1 можно рассматривать как косинус и синус некоторого угла.

Теперь исходное уравнение можно записывать в виде

cos cosx + sin sinx =

cos (x – ) =

Аналогично можно вводить вспомогательный угол такой, что:

Тогда исходное уравнение можно привести к виду

sin cosx + cos sinx =

sin (x + ) =

Полезно также обратить внимание учащихся, что умение преобразовывать выражения вида а cosx + b sinx может понадобиться не только при решении уравнений, но и для построения оценок, нахождения наибольших значений и т. д.

Пример 8. Решить уравнение 3 sinx – 4 cos х = 5.

Решение. 3 sinx – 4 cos х = 5

==5

, cosx = ,

cos ( x + ) = –1

x + = π + 2 πn , n Є Z

x = – + π + 2 πn , n Є Z

x = – arcsin + π + 2 πn , n Є Z

Ответ: – arcsin + π + 2 πn , n Є Z .

Пример 9. Решить уравнение 2 cos х = 1– 2 cos 2 х – sin 2 x .

Решение. Воспользуемся формулой 2 cos 2 х – 1 = cos 2 x ,

получим 2 cos х = – cos 2х – sin 2 x .

Применим к правой части процедуру введения вспомогательного аргумента.

2cos х = – 2( cos2 х + sin2x)

2cos х = – 2 ( с os cos2 х + sin sin2x), где

2 cos х = – 2( cos 2х – )

cos х + cos (2х – ) = 0

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение:

2 cos cos

cos

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что в тригонометрических системах и совокупностях при записи имеет смысл употреблять разные буквы, обозначающие целые числа.

Ответ: .

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Универсальная тригонометрическая подстановка позволяет перейти от синуса и косинуса аргумента х к тангенсу половинного аргумента:

sin , cos

При таком переходе возможна потеря решений, следует помнить, что (в этих точках tg не существует). Поэтому всякий раз, когда приходится пользоваться универсальной подстановкой, значения х = π + 2πn, nЄZ необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.

Пример 10. Решить уравнение sinx + cos х = –1.

Решение: = –1, заменим tg , получим

2t +1 – t 2 = –1– t 2

Подставим теперь в исходное уравнение значение и убедимся, что они действительно являются его решениями.

Ответ:

Уравнение вида

Уравнение вида где — многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной

Тогда можно получить выражение для произведения из формулы

Пример 11. Решить уравнение

Решение: введем новую переменную

Тогда

Следовательно, и исходное уравнение принимает вид

Для определения переменной получаем два уравнения

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

Ответ:

После завершения изучения рассмотренных методов, при наличии времени, рекомендуем провести урок-практикум – «Урок решения одного уравнения»

3. Функционально-графические методы

Использование свойств ограниченности функций, метод оценок.

Часто приходится иметь дело с уравнениями, имеющими вид f ( x ) = g ( x ), где f и g – некоторые функции, составленные с помощью тригонометрических выражений, такие, что можно исследовать области значений Е( f ) и Е( g ) и доказать, что эти области либо не пересекаются, либо имеют небольшое число общих точек. В таких случаях решения уравнения f ( x ) = g ( x ) следует искать среди таких x , которые удовлетворяют более простым уравнениям f ( x ) = a , g ( x ) = a , где а – такое действительное число, что

Пример 12. Решить уравнение .

Ответ: нет решения.

Пример13. Решить уравнение .

Ответ: нет решения.

Пример14. Решить уравнение .

Ответ: .

Пример15. Решить уравнение

Ответ:

Пример16. Решить уравнение

Заметим, что сумма в левой части полученного уравнения может принимать значение 2, только если одновременно, т.е. наше уравнение равносильно системе уравнений

И должно выполняться равенство Поскольку

Ответ:

Суть метода использования графиков для решения уравнения f ( x ) = g ( x ) проста: нужно построить графики функций y = f ( x ) и y = g ( x ) и найти все точки их пересечения, абсциссы которых и будут являться корнями нашего исходного уравнения.

Пример 17. Сколько корней имеет уравнение:

Решение: в данном примере для решения уравнений используются свойства графиков функций.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема — основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Теорема — основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений. И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной. Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

Сейчас выполните несколько заданий.

Представьте в виде произведения:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

Ответ: .

Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

. Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Решить уравнение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

Решить уравнение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

. Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

Ответ: .

2. Замена переменной

Еще один метод решения тригонометрических уравнений — это метод разложения на множители. Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Решите уравнение

Сделаем замену . Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

Вернемся к исходной переменной:

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

Решить уравнение: .

Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных — во вторую.