Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение
Немного теории.
Тригонометрические уравнения
Уравнение cos(х) = а
Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.
Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a
Уравнение sin(х) = а
Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а
Уравнение tg(х) = а
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0
Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb
Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0
Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3
Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c
Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0
Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac
Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac
Обозначая \( \text
В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):
Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5
Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0
Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0
Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0
РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.
19.1. Уравнение cos x = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравненияcosx=a.
При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)
2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).
Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда
Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,
Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,
Примеры решения задач
Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:
19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a
Объяснение и обоснование
1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a
Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.
Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:
При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).
Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.
Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:
таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни
Примеры решения задач
Вопросы для контроля
- Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
- Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
- Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.
Упражнения
Решите уравнение (1-11)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)
Решение тригонометрических уравнений с помощью подстановок: sinx+cosx=t, sinx-cosx=t, tgx+ctgx=t, tgx-ctgx=t
Разделы: Математика
Классы: 10 , 11
Цели:
1). Образовательные:
- Определение уровня овладения знаниями, повторение решения уравнений, решаемые с помощью вспомогательных аргументов.
- Коррекция знаний, умений, навыков.
- Организовать деятельность, направленную на выполнение постепенно усложняющихся заданий. Рассмотреть уравнения, решаемые с помощью подстановок.
- Учащиеся должны творчески применять знания, учится переносить в новые ситуации, применять в данной теме ранее полученные знания.
2) Развивающие:
- Развивать у учащихся способность самостоятельно применять полученные знания в нестандартных ситуациях.
- Развивать у учащихся творческий подход к предложенным заданиям.
- Развивать у учащихся переносить приобретённые знания в новые условия.
3) Воспитательные задачи:
- Формирование самостоятельности, мыслительной активности.
Ход урока
- Повторение. Рассмотрение свойств тригонометрических функций, применяемых при решении уравнений.
- Объяснение нового материала. Рассмотрение уравнений, которые решаются с помощью замены.
- Закрепление нового материала.
- Самостоятельная работа.
- Домашнее задание.
Вместе с учащимися разбираются свойства:
1) Выразить sinx cosx, если известно, что sinx +cosx= 3/4.
(sinx +cosx) 2 = sin 2 x +cos 2 x +2 sinx cosx.
2 sinx cosx = 9/16 — 1= — 7/ 16, следовательно sinx cosx = -7/32.
2) Выразить tg 2 x+ctg 2 x, если tgx+ctgx=3.
9= (tgx+ctgx) 2 = tg 2 x+ctg 2 x + 2tgx ctgx= tg 2 x+ctg 2 x + 2.
Следовательно tg 2 x+ctg 2 x = 7.
Вместе с учащимися разбирается уравнение, в котором используется одно из выведенных свойств.
№ 1. Используем эту подстановку при решении уравнения sin 2 x – 4 sin x = 4 + 4 cos x.
4(sin x + cos x) – 2 sin x cos x +4 = 0.
Введем обозначение: sin x + cos x = t , тогда 2sin x cos x = t 2 -1.
4 t – ( t 2 — 1) + 4 = 0,
Решая квадратное уравнение, получаем t1 = 5, t2 = -1.
1) sin x + cos x = 5
Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1 , ¦cos x¦ 1.
2) sin x + cos x = — 1
Применим способ введения вспомогательной переменной.
Разделим почленно данное уравнение на .
cos / 4 * sin x + sin / 4 * cos x = — / 2;
sin (x + / 4) = — / 2.
Решая тригонометрическое уравнение, получаем:
x + / 4 = — / 4 + 2n или x + / 4= 5/ 4 + 2 n, где n Z.
Ответ: /2 + 2 n; + 2n, где n Z.
Закрепление уравнений данного типа (у доски — учащийся):
№ 2. 2 cos x – sin 2x = 2 +2 sinx.
2 (sinx – cosx) + 2 sinx + 2 = 0
Введем обозначение: sin x — cos x = t, тогда 2sin x cos x = 1 — t 2 .
Решая квадратное уравнение, получаем: t1= 3 , t2 = -1.
1) sin x + cos x = 3. Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1 , ¦cos x¦ 1.
2) sin x — cos x = — 1.
Применим способ введения вспомогательной переменной.
Разделим почленно данное уравнение на .
cos / 4 * sin x — sin / 4 * cos x = — / 2.
sin ( x — / 4 ) = — / 2.
Решая тригонометрическое уравнение, получаем :
x — / 4 = — / 4 + 2 n или x — / 4 = 5 / 4 + 2 n , где n Z.
Ответ: 2 n ; 3 / 2 + 2 n , где n Z.
№ 3. sin 2x + 3(sin x-cos x ) =5.
Уравнение решается самостоятельно с последующей проверкой.
Применяя данную подстановку, получаем: t 2 — 3t +4 = 0.
t1 = 2 , t2 =
sin x + cos x =2.
Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1, ¦cos x¦ 1.
2) sin x — cos x = .
Применим способ введения вспомогательной переменной .
Разделим почленно данное уравнение на .
sin ( x — / 4 ) = 1.
x — / 4 = / 2 + 2 n или x = 3/ 4 + 2 n, где n Z .
Ответ: 3/ 4 + 2 n, где n Z .
№ 4. Применим еще одну подстановку.
4tg 2 x+ctg 2 x +6tgx-3 ctg x-8 =0.
4tg 2 x+ctg 2 x – 4 = t 2 , получаем:
2tg x- ctg x = — 4.
2tg x- 1/tg x = — 4
2 tg 2 x+ 4tg x — 1 =0.
t1 = (-2 + )/2, t 2 = (-2 — )/2.
х= arc tg (-2 + )/2 + n или х= arc tg (-2 — )/2 + n , где n Z .
Ответ: arctg (-2 + )/2 + n , arctg (-2 — )/2 + n , где n Z .
№ 5. Закрепление темы:
tg 2 x+ctg 2 x -3(tgx+ ctg x) + 4=0.
tg x + ctg x = t, получаем:
Решая квадратное уравнение , получаем: t1 = — 2 , t2 = — 1.
tg 2 x- 2tg x + 1 =0,
x = /4 + n, где n Z .
tg x + ctg x = -1 не имеет решения.
Ответ: / 4 + n, где n Z .
№ 6.Решим уравнение (учащиеся решают самостоятельно с последующей проверкой):
2(tgx+ ctg x)= (tg 2 x+ctg 2 x) — 2=0.
Проверка по этапам:
Квадратное уравнение относительно t: t 2 — 2 t = 0.
Корни уравнения: t=0 или t= 2/,
Ответ: n; arc tg(3)/2 + n, где n Z .
Далее рассматриваются более сложные уравнения, содержащие модули.
¦ sin x + cos x¦ = 1+2 sin x.
Применяя подстановку: sin x + cos x = t, получаем: ¦ t¦= t 2 .
Решая уравнения с модулем, получаем:
t = 0 или t= 1 , t = -1.
Далее решаем уже рассмотренные уравнения:
sin x + cos x = 0,
Объединяя решения, получаем ответ:
Ответ: — /4+ n ; /2 n, где n Z .
Далее предлагается учащимся уравнения для самостоятельной проработки:
1) 3 (sin x + cos x ) = 2 sin2 x,
2) 1 + sin2 x = sin x + cos x,
3) sin x + cos x — sin 2x + cos2 x – cos3 x = 1,
4) sin2 x — 5sin x + 5 cos x + 5 = 0,
5) tgx+ ctg x = 3 — sin2 x,
6) 2(sin2 x – cos2 x) = tgx+ ctg x.
Решение данных уравнений разбирается на следующих занятиях.
http://ya-znau.ru/znaniya/zn/280
http://urok.1sept.ru/articles/658341