Решение тригонометрических уравнений дидактический материал

методический материал «Система заданий по теме решние тригонометрических уравнений», 10 класс
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Дидактический материал «Система заданий по теме «решение тригонометрических уравнений» составлен по 3-м урвням.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей курса элементарной математики. Она представляет собой раздел математики, посвященный изучению особого класса функций, называемых тригонометрическими.

Основной моделью, позволяющей наглядно проиллюстрировать понятие тригонометрической функции, является единичная окружность на плоскости с фиксированной системой координат, начало которой совпадает с центром окружности. Она же представляет некий инструмент для решения простейших тригонометрических уравнений, неравенств и их систем. С помощью единичной окружности можно корректно записать ответ при решении тригонометрических уравнений, неравенств и их систем, учтя область определения уравнения (неравенства), а также исключив повторяющиеся решения. Так, если в результате решения уравнения мы получим две серии решений: x=π4k,k∈Ζ,

x=πn,n∈Ζ, то легко видеть, что числа x=πn,n∈Ζ, содержатся среди множества чисел x=π4k,k∈Ζ. Поэтому ответом будет x=π4k,k∈Ζ.

Единичная окружность позволяет проанализировать тригонометрические формулы, сравнив области определений функций, стоящих в левой и правой частях каждой из них, и выделить «опасные формулы». Назовем формулу «опасной», если области определений функций, стоящих в левой и правой ее частях, не совпадают. Бездумное применение такими формулами может привести к потере корней (или приобретению посторонних корней) уравнения.

Рассмотрим, например, формулу: tg 2 x = 2tgx1-tg2x. Найдем область определения функции у = tg 2 x : 2x≠π2+πk,k∈Ζ. Отметим точки, соответствующие недопустимым значениям х , на единичной окружности (рис 1).

1. Область определения функции у=2tgx1-tg2x : tg 2 x ≠ 0, x≠π4+π2m,m∈Z,

Решим уравнение ctg x + tg 2 x = 0 (1). В лучшем случае ученик решает так: ОЗД x≠πn,n∈Z,

x≠π4+π2k,k∈Z. Переходим к уравнению (2): 1tgx+2tgx1-tg2x=0.

Далее: 1-tg2x+2tg2x1-tg2x∙tgx=0; 1+ tg 2 x = 0. Ответ: действительных корней нет.

Да, действительно, действительных корней у уравнения (2) нет, но не у данного уравнения (1). Легко видеть, что числа вида x=π2+πk,k∈Z , удовлетворяют уравнению (1). Дело в том, что при замене tg 2 x выражением 2tgx1-tg2x происходит сужение области определения функции у = tg 2 x на множество π2+πk,k∈Z .

Пользоваться «опасными» формулами, конечно, можно, но каждый раз следить за изменением области допустимых значений уравнения (неравенства) при этом.

Учащиеся нередко сталкиваются и с такой проблемой, когда полученный ими ответ при решении тригонометрического уравнения не совпадает с ответом учебника или других учеников класса.

Кто прав в этой ситуации? И здесь нам поможет единичная окружность.

В качестве примера рассмотрим различные способы записи чисел, соответствующих точкам А, В, С окружности (рис. 4) B

1) x=π3+2π3k,k∈Z 5) x=π+2πn,n∈Z x

2) x = π+2 π l , l ∈Z x=π3+2πm,m∈Z C

x=±π3+2πm,m∈Z x=- π3+2πr,r∈Z Рис.4

3) x=-π3+2π3t,t∈Z 6) x=-π+2πn,n∈Z 4) x= π+2π3r,r∈Z x=±π3+2πm,m∈Z

Можно спорить, какой из перечисленных способов лучше, но ясно одно, что все они правильно указывают числа, соответствующие трем заданным точкам единичной окружности.

Опыт показывает, что учащиеся часто пренебрегают единичной окружностью, делая упор на заучивание формул для решения простейших тригонометрических уравнений, а потому решают фактически вслепую. В результате допускают ошибки.

Непреодолимым барьером для значительной части учащихся являются задачи с параметром, в том числе тригонометрические уравнения и их системы с параметром. При решении просто необходимо использовать не только единичную окружность, но и координатную прямую.

ТАБЛИЦА «ОПАСНЫХ» ФОРМУЛ.

Известны различные типы и методы решения тригонометрических уравнений: простейшие; решаемые разложением левой части на множители; приводимые к одной функции одного аргумента; однородные относительно sin x , cos x ; решаемые введением вспомогательного аргумента; используя свойство ограниченности выражения А sin x +В cos x и т.д. При решении любого уравнения я рекомендую учащимся использовать единичную окружность, а при необходимости и координатную прямую. Найдя область допустимых значений уравнения, желательно исключить на единичной окружности те точки (если такие есть), числа соответствующие которым не могут являться корнями данного уравнения. Затем надо постараться привести данное уравнение к одному или нескольким простейшим уравнениям. Решение полученных уравнений отметить на единичной окружности соответствующими точками. Окончательный ответ записывается наиболее рационально.

Особенно важно применение единичной окружности при решении уравнений:

1. с переменной в знаменателе;
2. содержащих функции тангенс и котангенс;
3. корни которых должны удовлетворять определенным условиям;
4. методом оценок.

Но при решении других типов не стоит игнорировать окружность, т.к. на заключительном этапе она поможет при отборе корней, при записи ответа. Решая уравнение, необходимо следить за изменением области допустимых значений уравнения. Она может меняться в результате тождественных преобразований, возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, при применении тригонометрических тождеств и т.д. При применении одних тригонометрических тождеств область допустимых значений уравнения может остаться неизменной, а при других – может расшириться или сузиться. Использование предлагаемой таблицы «опасных» формул, на мой взгляд, может помочь решить вопрос о потере или приобретении посторонних корней при применении различных тригонометрических тождеств.

Область допустимых значений левой части тождества

Область допустимых значений правой части тождества

Дидактический раздаточный материал по теме «Тригонометрические уравнения»

Представлен дидактический раздаточный материал по теме «Тригонометрические уравнения», 10 класс. Задания составлены для двух и более вариантов и проверяют умение находить арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс числа, решать простейшие тригонометрические уравнения, уметь делать отбор корней уравнения, решать уравнения. сводящиеся к квадратным и однородные уравнения.

Просмотр содержимого документа
«Дидактический раздаточный материал по теме «Тригонометрические уравнения» »

Дидактический раздаточный материал

Тема: «Тригонометрические уравнения»

Учащиеся должны знать: а)формулы корней простейших уравнений ; б)методы решения тригонометрических уравнений; в)тригонометрические формулы; г)определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа.

Учащиеся должны уметь: а)находить арксинус, арккосинус и арктангенс числа; б)решать простейшие тригонометрические уравнения; в)уметь делать отбор корней уравнения; г)решать уравнения, сводящиеся к квадратным, однородные уравнения,

Учащиеся должны использовать полученные знания в практической деятельности.

Блок 1 «Простейшие уравнения» 3 часа

Блок 2 «Способы решения тригонометрических уравнений» 8 часов

Планируемые проверочные и контрольные работы

Тема :определение арксинус, арккосинус и арктангенс числа

Верно ли равенство.

Верно ли равенство.

Тема: простейшие квадратные уравнения

Для фронтальной работы

Зачет «Простейшие тригонометрический уравнения»

Карта – задание на урок «Способы решения уравнений»

Решение уравнений, которые с помощью тригонометрических формул сводятся к простейшим.

Гл.8№87, 97, 116, 135, 150, 167(нечетные)

Решение уравнений, которые с помощью тригонометрических формул сводятся к простейшим.

Гл.8№87, 97, 116, 135, 150, 167(нечетные)

Решение уравнений, левая часть которых произведение нескольких сомножителей, а в правой части ноль.

Решение уравнений, левая часть которых произведение нескольких сомножителей, а в правой части ноль.

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим (квадратным).

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим (квадратным).

1. Решите уравнение:

2. Найдите решение уравнения на отрезке .

3. Решите уравнение:

.

4. Решите уравнение:

1. Решите уравнение:

2. Найдите решение уравнения на отрезке .

ГДЗ по Алгебре 10 класс Дидактические материалы Шабунин, Ткачева, Федорова (Просвещение) к учебнику Алимова

Дидактические материалы дополняют теоретические сведения, полученные в процессе изучения алгебры. Они способствуют формированию умения применять теоретические знания на практике, развитию познавательных способностей и самостоятельности в приобретении необходимых знаний, развивают интерес к предмету, помогают сделать процесс обучения более увлекательным, а так же способствуют повышению уровня знаний, умений и навыков ученика. С их помощью у десятиклассника развивается способность к осуществлению контроля и самоконтроля своей учебной деятельности, в частности умение находить, сравнивать, оценивать ответы по заданному критерию. Повысить эффективность учебного процесса, и приобрести требуемые знания поможет использования во время учебы ГДЗ по алгебре и начала математического анализа 10 класс дидактические материалы автор Шабунин М.И. (к учебнику Алимова). Он соответствует всем требованиям федерального государственного общеобразовательного стандарта и учебной программы среднего полного образования.

Математика является одним из таких предметов, который способствует развитию логического мышления, умение действовать по алгоритму, самостоятельно находить решения. Алгебра является важнейшим разделом математики. Своё начало она получила ещё в глубокой древности. Как самостоятельное научное направление она сформировалась во второй половине XVIII века, а её основным понятием стало понятие линейного отображения. В истории алгебры выделяют два периода это «до алгебраического» и «алгебраический». «До алгебраического» периоду соответствует эра «пальцевых» вычислений, когда вычислительные навыки были доведены до автоматизма. Алгебраический же период начался с использования аналитических преобразований наряду с арифметическими действиями. Изучение этой науки требует глубокого понимания основных идей и понятий, связанных с операциями над числами. И чем прочнее усвоены эти понятия, тем выше готовность к восприятию новых знаний. Это позволяет говорить о том, что развитие школьника идет не только за счет увеличения объема изучаемого материала, но и за счет расширения принципов его изучения. Дидактические материалы в усвоении алгебры имеют большое значение. Они играют роль связующего звена в этой дисциплине, которая является базовой для других дисциплин. Без такой помощи невозможно будет усвоение других разделов школьной программы. Дидактические материалы по алгебре – это своеобразный помощник ученику в решении любых задач. Как только он начинает осваивать школьную программу, тут же ставят определенные задачи в решении того или иного задания, вот тут и приходят на помощь дидактические материалы. Они ориентированы на то, чтобы дать возможность каждому школьнику усвоить курс на уровне требования школьной программы, овладеть системой математических знаний и умений для применения в практической деятельности, изучению смежных дисциплин продолжение образования, научиться использовать математические методы и решения для исследования простейших практически задач. Дидактические материалы оказывают существенную помощь в изучении алгебры и начала математического анализа, так как они позволяют наиболее шире использовать различные средства обучения, такие как учебные плакаты, таблицы, схемы, модели. Систематическое использование наглядных пособий позволяет создать у десятиклассника правильное представление об изучаемых понятиях и законах, помогает им осознать, почему при обучении материала используют те или иные средства обучения, а так же их целесообразность. При изучении темы «Степень с рациональным показателем» дидактический материал помогает освоить понятия корни, степень, показатель степени, квадрат и куб числа, логарифм, тригонометрические функции. Дидактические материалы включают в себя различные варианты тестовых заданий, которые можно использовать при изучении и закреплении тем учебника.

ГДз по алгебре 10 класс Дидактические материалы Шабунин, к учебнику Алимова

Решебник к дидактическим материалам по алгебре и начала математического анализа 10 класс автора Шабунина дополняет систему упражнений, как на базовом уровне, так и при углубленном изучении этого предмета. В нем приведены примеры с решениями на следующие темы:

• делимость чисел,
• многочлены и алгебраические уравнения,
• степень с действительным показателем,
• степенная, показательная и логарифмическая функции,
• тригонометрические формулы и уравнения.

Эти темы довольно – таки трудные и уходит много времени на подготовку, поэтому помощь решебника будет как никогда кстати. Решебник включает в себя все, необходимые для изучения материалы, кроме того их можно скачать. По своему уровню они не уступают многим справочникам, поэтому если хотите хорошо освоить изучаемый материал и меть только высокий оценки, то в этом деле ГДЗ по алгебре и начала математического анализа 10 класс Шабунина будет незаменимым помощником. Он выступает в качестве справочника, а так же и шпаргалки для десятиклассника, а так же является одним из сборников, который поможет проверить правильность решения задач и упражнений. Ответы на вопросы и уравнения, содержащиеся в решебнике, помогут в решении и других задач учебника. С его помощью можно:

• повторить пройденный материал,
• правильно выполнить домашнее задание,
• успешно подготовиться к любой проверочной и экзаменационной работе,
• ликвидировать пробелы в знании и повысить успеваемость.

Пользоваться онлайн – решебником можно в любое время и в любом месте, где имеется Интернет, как с компьютера, так и с любых других мобильных устройств. Материал решебника разбит на главы, в которых содержаться большое количество задач и упражнений. Весь материал представлен в удобном для восприятия виде. Решебник позволяет и родителям проконтролировать не только правильность выполненного домашнего задания, но и процесс обучения. В целом представленные в решебнике задачи позволяют учителю осуществлять проверку знаний, как на этапе усвоения новых знаний, так и на этапе проверки степени их понимания пройденного материала и закрепления изученного в ходе решения задач.