Решение тригонометрических уравнений и их систем презентация

Презентация по математике «Решение тригонометрических уравнений и их систем»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение тригонометрических уравнений и их систем учитель математики Мордвинова Наталья Валентиновна МБОУ «Инженерный лицей НГТУ» г. Новосибирск

Решение тригонометрических уравнений в большинстве случаев проводится либо с помощью замены переменной, либо разложения на множители, но тот и другой способ применяются в разных вариантах в зависимости от вида конкретного уравнения. Поэтому вам предлагается более подробная классификация типов тригонометрических уравнений и методов их решения

1. Замены с использованием основного тригонометрического тождества и формул косинуса двойного угла

3. Метод дополнительного угла

4.Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

5.Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

8.Уравнения,содержащие тангенс и котангенс

10. Иррациональные тригонометрические уравнения При решении таких уравнений используются те же приемы, что и при решении алгебраических иррациональных уравнений. Особое внимание требуется обращать на дополнительные ограничения на допустимые значения переменной (самая распространённая ошибка в задачах такого типа-включение в ответ посторонних корней)

10. Иррациональные тригонометрические уравнения

11. Тригонометрические уравнения с модулем

12. Тригонометрические системы уравнений Вновь перед нами комбинированные задачи, в которых применяются известные из алгебры методы решения систем и способы решения тригонометрических уравнений. Важно помнить, что при решении системы ответ каждого простейшего уравнения должен записываться с новым целочисленным параметром, который может принимать возможное значение независимо от ранее введенных параметров.

12. Тригонометрические системы уравнений

Краткое описание документа:

Умение решать уравнения вырабатывается, если решаются задачи разной степени сложности и разнообразного содержания, а также различными приемами и методами, это может пригодиться на вузовских олимпиадах и дополнительных вступительных экзаменах по математике.

Данная презентация подготовлена для учащихся, осваивающих математику на профильном уровне и посвящен сложным тригонометрическим уравнениям, которые (на сегодняшний день) превосходят по сложности задачу С1.

В презентации рассматриваются типы уравнений, которые выбраны из разнообразных сборников, различных вариантов вступительных экзаменов, открытого банка заданий ЕГЭ.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 454 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)», Мордкович А.Г., Семенов П.В.

Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

12.05.2020
122
2

06.05.2020
216
3

06.05.2020
161
0

29.03.2020
166
1

27.03.2020
1072
27

08.01.2020
299
2

07.11.2019
323
3

27.02.2019
182
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

12.05.2020 671
PPTX 1.3 мбайт
81 скачивание
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Мордвинова Наталья Валентиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 5 лет и 1 месяц
Подписчики: 0
Всего просмотров: 836
Всего материалов: 1

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Тригонометрические уравнения и методы их решений. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемФёдор Кавелин

Презентация на тему: » Тригонометрические уравнения и методы их решений.» — Транскрипт:

1 Тригонометрические уравнения и методы их решений

2 Тригонометрические уравнения — уравнения, содержащие неизвестное под знаком тригонометрической функции. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Рассмотрим десять основных методов решения тригонометрических уравнений.

3 Содержание: 1. Алгебраический метод Алгебраический метод 2. Метод разложения на множители Метод разложения на множители 3. Метод вспомогательного угла Метод вспомогательного угла 4. Однородные уравнения Однородные уравнения 5. Универсальная подстановка Универсальная подстановка 6. Метод оценки Метод оценки 7. Метод понижения степени Метод понижения степени 8. Метод сравнения множеств Метод сравнения множеств 9. Переход к половинному углу Переход к половинному углу 10. Преобразование произведения в сумму Преобразование произведения в сумму

4 Алгебраический метод Этот метод нам хорошо известен из курса алгебры как метод замены переменной и подстановки.

5 Пример. Решить уравнение: 2cos 2 x-sinx+1=0 Решение. 2(1-sin 2 x)-sinx+1=0 -2sin 2 x-sinx+3=0 2sin 2 x+sinx-3=0 Пусть sinx=y, -1y1 2y 2 +y-3=0 y 1 =-1,5- не подходит по условию y 2 =1 Возвращаемся к старой переменной: sinx=1 x=/2+2k, k є Z

6 Метод разложения на множители Пример. Решить уравнение: sinx — sin2x = 0 Решение. sinx – 2sinx · cosx = 0 sinx(1- cosx) = 0 1. sinx=0 x=k, k є Z 2. 1-cosx=0 cosx=1 x=2n, n є Z Ответ: x=k, k є Z

7 Метод вспомогательного угла Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=5 Решение =25 25=5 5(3sinx/5-4cosx/5)=5 3sinx/5-4cosx/5=1 Т.к. (3/5) 2 +(4/5) 2 =1, то 3/5=cosφ φ=arccos(3/5) 4/5=sinφ φ=arcsin(4/5) sinxcosφ-cosxsinφ=1 sin(x-φ)=1 x-φ= /2+2k, k є Z x=/2+φ+2k, k є Z x=/2+arcsin(4/5)+2k, k є Z

8 Однородные уравнения Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо: а) перенести все его члены в левую часть; б) вынести все общие множители за скобки; в) приравнять все множители и скобки нулю; г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg.

9 Пример. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4sinx · cosx + 5cos 2 x = 2. Решение. 3sin 2 x + 4sinx · cosx + 5cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x sin 2 x + 4sinx · cosx + 3cos 2 x = 0 tg 2 x + 4tgx + 3 = 0, отсюда y 2 + 4y +3 = 0, корни этого уравнения: y 1 = -1, y 2 = -3, отсюда 1) tg x = –1, x=-/4+k, k є Z 2) tg x = –3, x=-arctg3+n, n є Z

10 Универсальная подстановка Универсальная подстановка применяется для тригонометрических уравнений, содержащих 2 и более тригонометрические функции. Пусть tg(x/2)=t, тогда sinx=2t/(1+t 2 ) (1) cosx=(1-t 2 )/(1+t 2 ) (2) tgx=2t/(1-t 2 ) В конце решения следует обязательно сделать проверку!

0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=» title=»Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=3 Решение. При помощи формул (1) и (2) произведем замену sinx и cosx и приведем выражение к общему знаменателю: (6t-4+4t 2 )/(1+t 2 )=3 Т.к. 1+t 2 >0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=» > 11 Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=3 Решение. При помощи формул (1) и (2) произведем замену sinx и cosx и приведем выражение к общему знаменателю: (6t-4+4t 2 )/(1+t 2 )=3 Т.к. 1+t 2 >0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=2arctg(-7)+2k, k є Z tg(x/2)=1 x=/2+2n, n є Z 0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=»> 0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=2arctg(-7)+2k, k є Z tg(x/2)=1 x=/2+2n, n є Z»> 0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=» title=»Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=3 Решение. При помощи формул (1) и (2) произведем замену sinx и cosx и приведем выражение к общему знаменателю: (6t-4+4t 2 )/(1+t 2 )=3 Т.к. 1+t 2 >0, то 4t 2 +6t-4=3+3t 2 t 2 +6t-7=0 t 1 =-7 t 2 =1 tg(x/2)=-7 x=»>

12 Метод оценки При решении некоторых тригонометрических уравнений иногда бывает полезно оценить значения тригонометрических функций, входящих в уравнение.

13 Пример. Решить уравнение: sinxsin5x=1 sinx=1 x=/2+2m, m є Z sin5x=1 — ? sin5(/2+2n)=1 sin(5/2+52n)=1 sin(5/2)=1 sin(/2)=1 — верно Ответ:x= /2+k, k є Z sinx=-1 x=-/2+2n, n є Z sin5x=-1 — ? sin5(-/2+2n)=-1 sin(-5/2+52n)=-1 sin(-5/2)=-1 sin(-/2)=-1 — sin(/2)=-1 — верно

14 Метод понижения степени Для решения уравнений данным методом применяются формулы понижения степени: 2sin 2 x=1-cos2x 2cos 2 x=1+cos2x

15 Пример. Решить уравнение: sin 4 x+cos 4 x= ½ sin 2 2x Решение. (sin 2 x) 2 +(cos 2 x) 2 = ½ sin 2 2x ¼ (1-2cos2x+cos 2 2x+1+2cos2x+cos 2 2x)= ½ (1-cos 2 2x) ½ (2+2cos 2 2x)=1-cos 2 2x 1+cos 2 2x= 1-cos 2 2x 2cos 2 2x=0 cos2x=0 2x=/2+k, k є Z x= /4+k/2, k є Z

16 Метод сравнения множеств Уравнения вида f(x)=φ(x) решаются методом сравнения множеств. Если Е(f) E(φ) – пустое множество, то уравнение не имеет решений Если Е(f) E(φ) состоит только из одной общей точки, то уравнение решается системой 2-х уравнений, левые части которых равны f и φ, а правые части равны значению общей точки.

17 Пример. Решить уравнение: 6cos 2 5x-5cosx+5,1=0 (1) Решение. 6cos 2 5x+5,1=5cosx (2) Пусть f(x)=6cos 2 5x+5,1 и φ(x)=5cosx. Е(f)=[5,1;11,1]-область значений функции f(x), Е(φ)=[-5;5]-область значений функции φ(x). Так как Е(f) E(φ) является пустое множество, то равенство (2) невозможно. Уравнение (2) решений не имеет, а, значит, и равносильное ему уравнение (1) тоже решений не имеет.

18 Переход к половинному углу При решении уравнений данным методом используются формулы двойного аргумента: sin2x=2sinxcosx cos2x=cos 2 x-sin 2 x В конце решения следует обязательно сделать проверку!

19 Пример. Решить уравнение: 2sinx–cosx=2. Решение. 4sin(x/2)·cos(x/2)-cos²(x/2)+sin²(x/2)= =2sin²(x/2)+2cos²(x/2) sin²(x/2)–4sin(x/2)·cos(x/2)+3cos²(x/2)=0 tg²(x/2)–4tg(x/2)+3=0 tg 1 (x/2)=1 x=/2+2k, k є Z tg 2 (x/2)=3 x=2arctg3+2k, k є Z

20 Преобразование произведения в сумму Данным методом решаются уравнения вида: 1. singxsingx=sinγxsinδx, если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ 2. cosαxcosβx=cosγxcosδx, если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ 3. singxsingx=cosγxcosδx, если α-β=±(γ+δ) 4. cosαxcosβx=sinγxsinδx, если α+β=γ±δ или α-β=γ±δ

21 Этот метод включает в себя применение формул: преобразования произведения в сумму: 2singsing=cos(α-β)-cos(α+β) 2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β) 2singcosβ=sin(α+β)+sin(α-β) 2cosαsing=sin(α+β)-sin(α-β) преобразования суммы в произведение: sing+sing=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2) sing-sing=2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2) cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2) cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)

22 Пример. Решить уравнение: sinxsin5x=cos4x Решение. Преобразуем левую часть в сумму: ½ cos4x – ½ cos6x = cos4x ½ cos6x+ ½ cos4x= 0 cos6x+cos4x=0 Преобразуем левую часть в произведение: 2cos5xcosx=0 cos5xcosx=0 cos5x=0, x=/10+2k/5, k є Z cosx=0, x=/2+2n, n є Z. Ответ:x=/10+2k/5, k є Z

23 Презентацию подготовила ученица 11 «А» класса Мозжухина Софья

Презентация «Методы решения тригонометрических уравнений» часть I

Данная презентация предназначега для проведения первой части цикла лекций по подготовке к ЕГЭ «Методы решения тригонометрических уравнений». Здесь рассматриваются на примерах общие методы решения уравнений и специальные приёмы, предназначенные для тригонометрических уравнений. Презентация подготовлена для дистанционного обучения с применением интерактивной доски.

Просмотр содержимого документа
«Презентация «Методы решения тригонометрических уравнений» часть I »

Для тригонометрических уравнений применяются общие методы решения:

равносильные преобразования,
разложение на множители,
замена переменной,
применение свойств функций,

а так же сочетание нескольких приёмов.

Основная идея решения тригонометрического уравнения – сведение его к одному или нескольким простейшим уравнениям, т.е. уравнениям вида sin x = a, cos x = a,

tg x = a, ctg x = a.

— Применение основного тригонометрического тождества

— Применение формул удвоенного аргумента

sin2x = 2 sinx cosx cos2x = cos 2 x – sin 2 x

— Преобразование суммы (разности) в произведение и обратное преобразование

1. Замена переменной и сведение к квадратному

2. Разложение на множители

3. Однородные уравнения

Уравнение вида a sinx + b cosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени ;

уравнение вида a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Уравнения вида a sin m x + b cos m x = 0 также называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.

Для однородных уравнений существует стандартный приём решения – деление обеих его частей на cosx ≠ 0 или cos 2 x ≠ 0.

Предположим, что cosx = 0 . Тогда в силу уравнения и sinx = 0 , что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение этого уравнения удовлетворяет условию cosx ≠ 0 , и мы можем поделить обе его части на cosx (cos 2 x).